1

DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Nazwa szkoły: Zespół Szkół Politechnicznych we Wrześni i Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych w Trzebiatowie……………………… ID grupy: 97/86_MF_G1, 97/72_MF_G1…………….. Opiekun: Irena Kaczmarek, Adam Kupczyk Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Liczby Fibonacciego Semestr/rok szkolny: I / 2011 ……………………………………………………. 2

Syn poczciwca Leonardo Fibonacci (ok. 1170- ok. 1240 ) był Pizańczykiem, któremu można zawdzięczyć rozwój matematyki na przełomie XII i XIII wieku. Pierwsze lekcje matematyki pobierał Fibonacci w kolonii włoskiej na północy Afryki, w portowym mieście, której szefem był pizański kupiec- ojciec Leonarda. 12- wieczny student szybko pojmował wiedzę od swojego arabskiego nauczyciela, dlatego nauka zawiodła go w takie miejsce jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W 1202 roku napisał on swoje głośne dzieło Liber Abaci, co znaczy Księga Rachunków. Było to dzieło napisane po łacinie zawierające dorobek arytmetyki i algebry. Była to jedna z pierwszych książek opierająca się na dziesiątkowym systemie liczenia. W tej też książce pojawiły się w pierwszym rozdziale arabskie (a raczej hinduskie cyfry). W jego Liber Abaci można znaleźć wiele ciekawych matematycznych problemów- zagadka o dwóch ptakach, o kupcu z Pizy, o zawartościach czterech sakiewek, znalazły się tam nawet równania diofantyńskie, czyli równanie z dwoma niewiadomymi.

Syn szefa kolonii Fibonacci był znawcą związków pomiędzy liczbami. W 1225 roku otrzymał na turnieju zadanie: znaleźć liczbę, która jest zupełnym kwadratem i pozostanie nim również wówczas, gdy ją zwiększymy o pięć oraz gdy ją zmniejszymy o pięć (liczba jest zupełnym kwadratem, gdy jest kwadratem pewnej liczby wymiernej). Fibonacci po krótkim namyśle podał 1681/144. Nie wiadomo jak do tego doszedł

Liber Abaci W dziele Leonarda Fibonacciego z Pizy pojawiły się także zadania i problemy związane z Ciągiem Fibonacciego. Chociaż nie wiadomo, kto go wymyślił, to jednak Pizańczykowi przypisuje się jego odkrycie.

Liczby Fibonacciego – historia i własności Podstawowe informacje Złota liczba Liczby Lucasa Tożsamości Interpretacje Trójkąt Pascala System pozycyjny 7

Podstawowe informacje Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg (Fn) określony następująco: F1=F2=1 , Fn+2=Fn+1+Fn dla n=1,2,3............ Jest to najstarsza znana ludzkości rekurencja (z ok. 1202 roku). Wzór ogólny ciagu określa się wzorem, nazywanym inaczej wzorem Bineta.

Jawny wzór na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego możemy otrzymać np Jawny wzór na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego możemy otrzymać np. korzystając z metody funkcji tworzących. Zdefiniujmy ciąg i dla tego ciągu fn obliczmy wzór na jego n-ty wyraz. Funkcja tworząca dla tego ciągu ma postać: Podstawiając otrzymujemy:

tak więc: Wyrażenie możemy przedstawić w prostszej postaci, a mianowicie: gdzie wówczas tak więc Podstawiając otrzymujemy ostatecznie tzw. wzór Bineta :

Można też wyrazić wartości kolejnych elementów ciągu za pomocą symbolu Newtona: Zachodzą równości:

Twierdzenia Kilka mniej znanych twierdzeń na temat ciągu Fibonacciego: Z wyjątkiem jednocyfrowych liczb Fibonacciego (liczb występujących w ciągu Fibonacciego), zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym. Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 1 i 144. Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer n dzieli się przez k, to liczba Fn dzieli się przez Fk. Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb:

Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego. Istnieje nieskończenie wiele liczb n dla których zachodzi podzielność n | Fn . W szczególności można pokazać, że jeśli to .

Trójkąt Pascala Jednym z najbardziej interesujących układów liczbowych jest trójkąt Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego matematyka filozofa).

  Aby zbudować trójkąt, zacznij od „1” na wierzchołku, następnie kontynuuj układanie liczb poniżej w układzie trójkąta. Każda cyfra stanowi sumę dwóch wyżej położonych liczb, np. 1 + 3 = 4.

Ciąg można otrzymać, idąc w górę i na bok i dodając liczby, tak jak pokazano to na ilustracji… otrzymamy ciąg Fibonacciego przez dodanie do siebie dwóch poprzednich liczb.

System pozycyjny System Fibonacciego to binarny, pozycyjny system liczbowy, w którym poszczególnym pozycjom odpowiadają kolejne liczby Fibonacciego. W zapisie liczby nie używa się pierwszych dwóch liczb z ciągu Fibonacciego. Zaczynającemu się od 1 ciągowi cyfr 0 i 1 (tylko takich się używa) anan-1...a2 odpowiada liczba an⋅Fn+an-1⋅Fn-1 + ... + a2⋅F2. Na przykład liczba zapisana w systemie Fibonacciego jako 1000F oznacza piątą liczbę w ciągu Fibonacciego czyli 5, 1000101F=F8+F4+F2=21+3+1=25 10010010F=F9+F6+F3=34+8+2=44 Taki sposób zapisu liczb nie byłby jednoznaczny (np. 100F=11F), więc dodaje się wymaganie, by kolejne dwie liczby nie były jednocześnie jedynkami (dwie jedynki zastępujemy jedną na wcześniejszym miejscu). W ten sposób otrzymujemy jednoznaczny zapis każdej liczby naturalnej.

Kompresja W systemie Fibonacciego jedynkę zawsze poprzedza zero (za wyjątkiem pierwszego wyrazu) możemy zatem dopisać na początku zero i zastąpić pary cyfr 01 przez 1. Skracamy w ten sposób zapis liczby o tyle cyfr ile było jedynek poza pierwszą w standardowym kodzie. Kod Fibonacciego W systemie Fibonacciego nigdy dwie jedynki nie występują na kolejnych miejscach. możemy zatem kolejne dwie jedynki uznać za dodatkowy symbol końca liczby. Daje nam to sposób zapisu ciągu liczb. W kodzie Fibonacciego liczby zapisujemy w porządku odwrotnym niż w systemie Fibonacciego i każdą z liczb kończymy jedynką. Przy odczytywaniu drugą z jedynek w parze traktujemy jako znak końca liczby.

Przykład 1000F=5 1000101F=25 10010010F=44 "Odwracamy liczby" i otrzymujemy: 0001 1010001 01001001 Dopisujemy jedynki: 00011 10100011 010010011 Łączymy i otrzymujemy binarny ciąg 0001110100011010010011 kodujący ciąg liczb 5,25,44

Liczby Fibonacciego – związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa Dodatni pierwiastek tego równania zwany jest złotą liczbą. Zachodzi interesujący związek pomiędzy złotą liczbą a ciągiem Fibonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .... Okazuje się, że ilorazy kolejnych wyrazów ciągu przybliżają coraz lepiej złotą liczbę. 20

Liczby Fibonacciego – związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa Porównajmy: 21

Liczby Fibonacciego – związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa Złota liczba pojawia się też w interesującym wzorze na n-tą liczbę Fibonacciego: Zaokrąglając tę liczbę do najbliższej naturalnej, otrzymamy dokładną wartość Fn . 22

Liczby Fibonacciego – związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa Ciąg Lucasa jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego, definiujemy go: 23

Liczby Fibonacciego – związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa Zachodzą równości: 24

Liczby Fibonacciego – wybrane tożsamości 25

Liczby Fibonacciego – interpretacja geometryczna Ciąg Fibonacciego możemy przedstawić też geometrycznie, jako prostokąt złożony z kwadratów i narysować na nim spiralę. 26

Liczby Fibonacciego – interpretacja geometryczna Złota proporcja według ciągu Fibonacciego: figura geometryczna złożona z kwadratów, których boki to wartości kolejnych liczb z ciągu. Spiralę Fibonacciego opisujemy na niej w ten sposób, że każdy łuk ma promień o tej samej wartości co kwadrat w który jest wpisany 27

Liczby Fibonacciego – interpretacja geometryczna Liczbę φ znajdujemy w pentagramie. Gdyby spojrzeć na ten symbol jak na zbiór odcinków i podzielić dowolny odcinek przez bezpośrednio krótszy, wynik okaże się liczbą φ. 28

Zadania Czyli co Leonardo Fibonacci rozpatruje w Liber Abaci

Zadanie I Przyjmijmy, że króliki żyją nieskończenie długo i że każdego miesiąca każda para rodzi nową parę, a ta może mieć młode, gdy ma dwa miesiące. Zaczynamy hodowlą od jednej, właśnie narodzonej pary. Ile par królików mamy w kolejnych miesiącach? Czyli: Nowa para staje się płodna po miesiącu życia Każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików w miesiącu Króliki nigdy nie umierają Podręcznik klasa III, strona 223 30

II miesiąc Jedna para niezdolna jeszcze do rozmnażania 32

V miesiąc

Itd… Miesiąc Pary dorosłe Pary młode Całkowita l. par styczeń 1 2 luty 3 marzec 5 kwiecień 8 maj 13 czerwiec 21 lipiec 34 sierpień 55 wrzesień 89 październik 144 listopad 233

Zadanie II Gałęzie niektórych drzew rozrastają się w bardzo regularny sposób. Co rok każda gałąź przyrasta o pewną długość, a gałęzie mające co najmniej dwa lata, nie tylko wydłużają się, ale wypuszczają też odrosty, czyli rozdwajają się. Ile gałęzi ma drzewo w kolejnych latach po osadzeniu?

Dwa różne zadania a jednak podobne Zadanie o królikach i o gałęziach tego drzewa jest bardzo podobne i opiera się na tym samym ciągu liczb. Zatem liczba gałęzi w kolejnych latach opisana jest liczbami Fibonacciego. Zadanie o gałęziach jest jednak bardziej realistyczne. Biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak właśnie się rozrastają.

…a wracając do roślin Nie tylko drzewa wypuszczają gałęzie pod komendę liczb Fibonacciego, także liczba płatków wielu kwiatów, w tym popularnej stokrotki jest na ogół liczbą Fibonacciego i wynosi 3, 5, 8 lub 13. Skąd komórki wiedzą, że liczba kwiatów ma być liczbą Fibonacciego i jak ta informacja rozchodzi się po milionach komórek, nawet tej samej rośliny. Zjawisko to w botanice nazywa się filotaksją, dosłownie „układem liści”. Zjawiskiem tym interesował się Alan Turing, który wsławił się złamaniem szyfrów niemieckiej maszyny Enigma.

Jeszcze bardziej zadziwiający wynik dają obserwacje rozkładu liści na gałązkach i gałązek na łodydze dębu. Od razu zauważymy, że nie wszystkie liście leżą jeden na drugim, podobnie gałązki. Przeciwnie, zamiast wzdłuż linii prostej, układają się one wzdłuż spirali, która okrąża łodygę. Krzywa ta nazywa się helisą. Cyklem tej krzywej nazywa się odległość liści osadzonych dokładnie jeden na drugim, wzdłuż gałęzi lub łodygi. Helisę danej rośliny można scharakteryzować dwiema liczbami: liczbą obrotów cyklu helisy wokół gałązki lub łodygi, oraz liczbą odstępów między kolejnymi liśćmi leżącymi nad sobą. Okazuje się, że dla bardzo wielu roślin te dwie liczby są Liczbami Fibonacciego. Na przykład drzewo bukowe ma cykl złożony z trzech liści i wykonuje on jeden obrót, a wierzba amerykańska ma cykl złożony z 13 liści i wykonuje on pięć obrotów.

Taki rozkład liści i gałązek roślin można uzasadnić ich naturalnymi potrzebami zdobywania jak największej ilości światła i wilgoci.. Można więc argumentować, że liście nie rosną bezpośrednio nad sobą, gdyż zasłaniałyby sobie światło słoneczne padające z góry. Ponadto ich położenie względem siebie powoduje spadanie kropli rosy lub deszczu z jednego liścia na inny, leżący pod nim. Nie wiadomo jednak dlaczego wzorem do odstępów i układu liści są akurat Liczby Fibonacciego.

Szyszki i słoneczniki Najbardziej znanym przykładem występowania liczb w przyrodzie są zapewne układy łusek na szyszkach i układy pestek w tarczach słoneczników Spirale na szyszce tworzone przez jej łuski są prawoskrętne i lewoskrętne. Nie zawsze szyszki, nawet tego samego gatunku, mają identyczną liczbę spiral. Jednak z wyjątkiem kilku procent badanych szyszek, łuski układają się wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego. Fenomenem jest fakt, że matematyka wywiera tak duży wpływ na naturę, czy też przyroda na królową nauk. Być może nigdy nie odkryjemy, dlaczego przyroda wykorzystuje Liczby Fibonacciego.

Liczba Φ(fi) Liczba φ to kolejna tak ważna liczba niewymierna, jak choćby liczba π. Liczba φ jest np. stosunkiem boków w prostokącie złotym Występuje w sztuce. Ma bardzo wiele wspólnego z Liczbami Fibonacciego. Kolejne ilorazy Liczb Fibonacciego są coraz doskonalszymi przybliżeniami liczby φ. 2/1=2 3/2=1,5 5/3=1,666 8/5=1,6 13/8=1,625 21/13=1,615 34/21=1,619

Złoty prostokąt Z tego, że stosunek dwu kolejnych Liczb Fibonacciego jest bliski złotej liczbie φ, wynika, że pokazany obok prostokąt jest w przybliżeniu złotym prostokątem.

Złota proporcja Złota proporcja to klasyczny element matematyki. Pochodzi już ze starożytności, związany jest ze złotym podziałem. Okazuje się, że Liczby Fibonacciego są ściśle z nią związane. Od czasów starożytności znany jest termin boska proporcja (łac. divina proportio) nazywana częściej złotą proporcją lub też złotym stosunkiem. Podział odcinka a na dwie części oraz a-x jest złotym podziałem tego odcinka, jeśli cały odcinek a tak ma się do swojej większej części, jak większa część ma się do mniejszej części a-x. Boską proporcją jest stosunek a/x.

Ciekawostki Liczby Fibonacciego tworzą system liczbowy. KAŻDA liczba całkowita może być przedstawiona jako suma liczb Fibonacciego 1 000 000= 832 040 +121 393+46 368+144+55 -są tylko dwie liczby Fibonacciego. , które są kwadratami: 1 i 144 -są dokładnie dwie liczby Fibonacciego, które są sześcianami: 1 i 8 Występują w molekułach DNA, strukturze kryształu, orbitach planet i galaktyk, wirach wodnych, huraganach.

Dziękujemy za uwagę

57