Granica efektywna zbioru możliwości inwestycyjnych Linia rynku kapitałowego Linia papierów wartościowych

Portfel 3 akcji Zbiór możliwości inwestycyjnych bez krótkiej sprzedaży

Portfel 3 akcji. Zbiór możliwości inwestycyjnych z krótką sprzedażą (kolor różowy)

Portfel minimalnego ryzyka Def 1. Portfel minimalnego ryzyka to portfel charakteryzujący się najmniejszą wartością odchylenia standardowego

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwu-akcyjnego Prostokąt odpowiada portfelowi minimalnego ryzyka

Relacja Markowitza UWAGA 1. Każdemu portfelowi (u1,u2,…,un) składającemu się z n- akcji (ui – udział i-tej akcji w portfelu) odpowiada para (σ , R); σ- odchyl. std. stopy zwrotu, R - oczekiwana stopa zwrotu portfela. Odwzorowanie to nie jest różnowartościowe (może istnieć kilka portfeli, którym przyporządkowana jest ta sama para (σ , R). DEF. 2. Dla dwóch par (σ1 , R1) , (σ2 , R2) zdefiniujemy relację oznaczoną symbolem „«” (σ1 , R1) « (σ2 , R2) <=> ( σ2 ≤ σ1 i R1 ≤ R2 ) Mówimy, że portfele odpowiadające drugiej parze są lepsze w sensie relacji Markowitza od portfeli korespondujących z pierwszą parą. Uwaga2. Będziemy w wyżej opisanej sytuacji mówili krótko, że portfel drugi jest lepszy niż pierwszy

Portfel efektywny. Granica efektywna (efficient frontier) Def. 3. Portfel nazywamy efektywnym jeżeli nie istnieje różny od niego portfel lepszy w sensie Markowitza Def.4. Zbiór portfeli efektywnych nazywamy granicą efektywną zbioru wszystkich możliwości inwestycyjnych

Portfel optymalny. Portfel rynkowy Def. 5. Portfel optymalny to portfel o maksymalnym zysku względnym przypadającym na jednostkę ryzyka (czyli o maksymalnym stosunku oczekiwanej stopy zwrotu do odchylenia std.) maks. (ER/σ ) Def. 6. Portfel rynkowy to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std. maks. (ER – RF ) / σ ( gdzie RF – stopa procentowa wolna od ryzyka ) Portfelowi rynkowemu odpowiada w układzie (σ,R) punkt, który oznaczymy przez (σM , RM )

Twierdzenie o dwóch portfelach efektywnych Twierdzenie. Dowolny portfel leżący na granicy efektywnej jest kombinacją dowolnych dwóch portfeli leżących na tej krzywej (D. Luenberger, „Teoria inwestycji finansowych”)

Var RP = Var (β RM)= β 2 Var (RM ) Portfel mieszany: rynkowy ze składnikami pozbawionymi ryzyka (risk free assets) Niech rozważany portfel ma udział α obligacji o stałej stopie zwrotu RF i zerowym ryzyku oraz udział β akcji o stopie zwrotu RM i ryzyku σM Stopa zwrotu portfela : RP = α RF + β RM gdzie α + β = 1, α, β > 0 ERP = α RF + β ERM , Var RP = Var (β RM)= β 2 Var (RM ) czyli σP = β σM

Portfel mieszany: rynkowy ze składnikami pozbawionymi ryzyka wyliczając stąd β i podstawiając do wzoru na ERP (ERP = α RF + β ERM ) otrzymujemy ERP = (1- σP/σM ) RF + σP/σM • ERM czyli ERP = RF + σP(ERM - RF )/σM

Linia rynku kapitałowego (Capital Market Line) Otrzymany związek ERP = RF + σP [(ERM - RF )/σM ] wskazuje na liniową zależność między oczekiwaną stopą zwrotu ERP dla portfela mieszanego a odchyleniem std. σP tego portfela. Def. 7. Wykres powyższej zależności w układzie (σ, R) nosi nazwę linii rynku kapitałowego Portfele mieszane (przy założeniu braku krótkiej sprzedaży) są zatem reprezentowane w układzie (σ, R) przez punkty odcinka o końcach (0, RF ), (σM , ERM )

Linia rynku kapitałowego Stopa wolna od ryzyka – 9%, portfel rynkowy (18,56%, 15,00%)

Linia rynku kapitałowego Pożyczka maksymalnie do 40% wartości portfela na dokupienie akcji (czerwony odcinek)

Dane są stopy zwrotu z akcji A oraz zmiany indeksu giełdy w kolejnych miesiącach

Regresja liniowa

Regresja liniowa Dla stóp zwrotu z akcji X oraz zmian indeksu Y znajdziemy linię regresji liniowej (model teoretycznej zależności liniowej miedzy dwiema zmiennymi, opartym na metodzie najmniejszych kwadratów Równania regresji liniowej Y względem X Y - EY = [ COV (X,Y) / WAR X] (X- EX). X względem Y X – EX = [ COV (X,Y) / WAR Y] (Y- EY). Gdzie X ,Y teoretyczne wartości zmiennych X, Y

Regresja liniowa. Przykład

Regresja liniowa Przykład

Y-EY= [COV(X,Y)/War X](X-EX) Regresja liniowa. Współczynnik β Powiązanie stopy zwrotu z akcji z indeksem rynku Y-EY= [COV(X,Y)/War X](X-EX) RA - teoretyczna stopa zwrotu z akcji A R - teoretyczna stopa zwrotu z indeksu RA - ERA = [COV(R, RA)/War R](R -ER) Oznaczmy β = COV(R, RA) / War R, wtedy RA = E RA - β ER + βR = (E RA - β ER) + βR Oznaczmy stałą ERA - β ER przez a, mamy wtedy RA = a + β R równanie regresji liniowej stopy zwrotu z akcji względem stopy zwrotu z indeksu

Regresja liniowa. Współczynnik β RA= a + β R Współczynnik β wskazuje, o ile procent hipotetycznie wzrasta stopa zwrotu z akcji A, gdy indeks giełdy wzrasta o 1 %, gdyż β = Δ RA / Δ R Def. 8. Jeżeli β > 1, to mówimy, że akcja A jest „agresywna” – akcja żywo reaguje na zachowanie rynku 0 < β < 1, to mówimy, że akcja A jest „defensywna”- stopa zwrotu z A w małym stopniu zależy od rynku β = 0,- akcja nie reaguje na zachowanie rynku

Regresja liniowa Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a Można przyjąć następujące modelowe równanie związku między stopą zwrotu z akcji A oraz stopą zwrotu indeksu giełdowego RA = a + β R + e w którym e jest składnikiem losowym (nieskorelowanym z rynkiem) o wartości oczekiwanej równej zero. Wówczas ERA = a + β ER Stopę zwrotu z papieru A można wyznaczyć w oparciu o stopę zwrotu z rynku oraz współczynniki β oraz a Ponadto War RA = β2 War R + War e Ryzyko papieru wartościowego można wyznaczyć w oparciu o ryzyko rynkowe (systematyczne), współczynnik β oraz wariancję składnika losowego (ryzyko specyficzne)

Regresja liniowa Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a Uwaga. Ryzyka rynkowego (systematycznego), nie da się uniknąć, natomiast ryzyko specyficzne, związane z akcją lub portfelem, można minimalizować odpowiednim wyborem akcji oraz składem portfela

Portfel wielu akcji. Model Sharpe’a Dla portfela składającego się z n akcji potrzebna jest znajomość: n stóp zysku n odchyleń standardowych n(n-1)/2 współczynników korelacji (dla 100 akcji – 4 950 współczynników korelacji) (dla 1000 akcji – 499 500 współczynników korelacji) William Sharpe zaproponował tzw. jednowskaźnikowy model oparty na jednoczynnikowej analizie zmienności poszczególnych akcji, prowadzącej do analizy mniejszej liczby danych

Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a Rozważmy akcje n spółek, których stopy zwrotu oznaczymy przez Ri i=1,…,n. Ri = ai + βi R + ei , R oznacza stopę zwrotu indeksu giełdowego Założenia: (i) ei - losowy składnik o zerowej wartości oczekiwanej E(ei) = 0 (ii) ei nie jest skorelowany z R (dla każdego i) (iii) ei nie jest skorelowany z ej dla każdej pary różnych wskaźników (iv) Znane są wariancje War ei

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a (1) Ri = ai + βi R + ei (2) ERi = ai + βi ER (3) War Ri = (βi)2 War R + War ei (4) Cor (Ri, Rj) = (βi βj War R) / σi σj Równość (4) jest zależnością przybliżoną. Mówi ona, że współczynnik korelacji miedzy dwoma papierami można wyznaczyć dysponując współczynnikami β, ryzykiem (odchyl. std.) obu papierów oraz wariancją rynku

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a Liczba danych: n współczynników a, n beta, n wartości odchyleń std. składników losowych, średnia stopa rynkowa, wariancja rynku Czyli (3n+2) danych.

Portfel n spółek, parametry portfela Rozważmy portfel akcji n spółek, spełniających założenia modelu jednowskaźnikowego. Stopy zwrotu poszczególnych aktywów oznaczymy przez Ri i=1,…,n. Ri = ai + βi R + ei Stopa zwrotu z portfela r :

Składnik e jest średnią ważoną składników losowych poszczególnych akcji. Prawdziwe są równości

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a Przy przyjętych założeniach wariancja (σe)2 jest odwrotnie proporcjonalna do liczby aktywów w portfelu. Wariancja portfela może być przedstawiona jako suma dwóch składników Pierwszy z nich jest wiąże się z tzw. ryzykiem systematycznym, niedywersyfikowalnym, współczynnik beta jest średnią ważoną, nie ulega więc dużym wahaniom. Drugi zaś jest sumą przyczynków dywersyfikowalnych ryzyka (suma ta maleje wraz z liczbą akcji)

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a - podsumowanie (1) RA = a + β R + e (2) ERA = a + β ER (3) War RA = β2 War R + War e (4) Cor (RA, RB) = (βA βB War R) / σA σB Równość (4) jest zależnością przybliżoną. Mówi ona, że współczynnik korelacji miedzy stopami zwrotu dwóch akcji można wyznaczyć dysponując współczynnikami β, ryzykiem (odchyl. std.) obu papierów oraz wariancją rynku

Linia papierów wartościowych Security Market Line SML Można szukać współzależności między stopą zwrotu z akcji A oraz stopą zwrotu portfela rynkowego RM (nie zaś indeksem rynku, jak poprzednio ) Prawdziwe jest twierdzenie (D. Luenberger, str 228) Tw. Jeśli (σM , RM ) oznaczają parametry portfela rynkowego, to oczekiwana stopa zwrotu z akcji A jest związana ze stopą zwrotu portfela rynkowego następującym równaniem RA = RF + β (RM - RF ), gdzie β = COV(RA, RM ) / (σM )2 RF stopa wolna od ryzyka Ostatnia równość nosi nazwę linii papierów wartościowych (SML) Pierwszy składnik RF jest zwany „ceną czasu” zaś drugi – „premią za ryzyko”

Linia papierów wartościowych Linia papierów wartościowych określa zależność stopy zwrotu akcji (portfela) od współczynnika beta tej akcji (portfela). Jest to zależność stopy zwrotu od ryzyka systematycznego reprezentowanego przez współczynnik beta

Linia papierów wartościowych. Układ (β,R)

Linia papierów wartościowych Równanie SML jest równaniem rynku w stanie równowagi, tzn. jest równaniem wyceny akcji (lub portfela). Stopę zwrotu z aktywu o danym współczynniku β można odczytać z wykresu. Portfel rynkowy jest punktem o pierwszej współrzędnej równej 1. Portfel pozbawiony ryzyka jest punktem przecięcia prostej SML z osią OY. Portfele leżące na SML są równie atrakcyjne ze względu na uzyskiwaną stopę zwrotu i ponoszone ryzyko

Linia papierów wartościowych

Model równowagi CAPM Parametry akcji (portfeli) mają tendencję do spełniania równania SML. (Punkty reprezentujące te portfele układają się na linii SML). Jeżeli akcja (portfel) znajduje się powyżej tej linii – ma większy zwrot - jest więc bardziej atrakcyjna (niedowartościowana), zwiększony popyt wywołuje zwiększoną cenę, co obniża jej stopę zwrotu (powrót na linię). Jeżeli akcja (portfel) znajduje się poniżej tej linii – ma mniejszy zwrot - jest więc mniej atrakcyjna (przewartościowana), zmniejszony popyt wywołuje spadek ceny, co zwiększa jej stopę zwrotu (powrót na linię).