Modele jedno-, wieloczynnikowe Model jednowskaźnikowy Sharpe’a Linia papierów wartościowych

Portfel wielu akcji. Model Sharpe’a Dla portfela składającego się z n akcji potrzebna jest znajomość: n stóp zysku n odchyleń standardowych n(n-1)/2 współczynników korelacji (dla 100 akcji – 4 950 współczynników korelacji) (dla 1000 akcji – 499 500 współczynników korelacji) William Sharpe zaproponował tzw. jednowskaźnikowy model oparty na jednoczynnikowej analizie zmienności poszczególnych akcji, prowadzącej do analizy mniejszej liczby danych

Model jednoczynnikowy W modelu jednoczynnikowym zmienna losowa y jest „wyjaśniana” zachowaniem się innej zmiennej losowej x y = a + bx + e a,b są współczynnikami obliczonymi w procedurze regresji liniowej, e jest zmienną losową o zerowej wartości oczekiwanej, ponadto zmienne x i e nie są skorelowane Z rozkładu t-Studenta wyznacza się przedziały ufności dla współczynników a,b

Model wieloczynnikowy W modelu wieloczynnikowym zmienna losowa y jest „wyjaśniana” zachowaniem się pewnej liczby innych zmiennych losowych x1, x2 ,…,xn. y = a + b1x1 + b2x2 +…+ bnxn + e Liczby a,b1,…,bn są współczynnikami obliczonymi w procedurze analizy wariancji, e jest zmienną losową o zerowej wartości oczekiwanej, nieskorelowaną z żadną ze zmiennych wyjaśniających W przypadku zmiennej y rozważanej jako stopa zwrotu akcji wybranej spółki, zmiennymi wyjaśniającymi jej zachowanie mogą być np. stopa zwrotu indeksu akcji, produkt narodowy brutto,stopa zwrotu indeksu branżowego, współczynnik C/Z akcji tej spółki (lub stopa dywidendy)

Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a Stopę zwrotu z akcji spółki A można wyznaczyć w oparciu o stopę zwrotu z rynku R (stopę zwrotu indeksu giełdowego lub portfela rynkowego) Model jednoczynnikowy daje równanie dla stopy zwrotu z akcji spółki A RA = a + β R + e w którym e jest składnikiem losowym (nieskorelowanym z rynkiem) o wartości oczekiwanej równej zero. Wówczas ERA = a + β ER + 0 Współczynniki β oraz a uzyskane są w procedurze regresji liniowej. Ponadto War RA = β2 War R + War e

Regresja liniowa Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a Ryzyko papieru wartościowego związane z wielkością β2 War R nosi nazwę ryzyka rynkowego (systematycznego) zaś ryzyko związane ze składnikiem losowym - War e, to ryzyko specyficzne Uwaga. Ryzyka rynkowego (systematycznego), nie da się uniknąć, natomiast ryzyko specyficzne, związane z akcją lub portfelem, można minimalizować odpowiednim wyborem akcji oraz składem portfela

Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a Rozważmy akcje n spółek, których stopy zwrotu oznaczymy przez Ri i=1,…,n. Ri = ai + βi R + ei , R oznacza stopę zwrotu indeksu giełdowego Założenia: (i) ei - losowy składnik o zerowej wartości oczekiwanej E(ei) = 0 (ii) ei nie jest skorelowany z R (dla każdego i) (iii) ei nie jest skorelowany z ej dla każdej pary różnych wskaźników (iv) Znane są wariancje War ei

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a (1) Ri = ai + βi R + ei (2) ERi = ai + βi ER (3) War Ri = (βi)2 War R + War ei (4) Cor (Ri, Rj) = (βi βj War R) / σi σj Równość (4) jest zależnością przybliżoną. Mówi ona, że współczynnik korelacji miedzy dwoma papierami można wyznaczyć dysponując współczynnikami β, ryzykiem (odchyl. std.) obu papierów oraz wariancją rynku

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a Liczba danych: n współczynników a, n beta, n wartości odchyleń std. składników losowych, średnia stopa rynkowa, wariancja rynku Czyli (3n+2) danych.

Portfel n spółek, parametry portfela Rozważmy portfel akcji n spółek, spełniających założenia modelu jednowskaźnikowego. Stopy zwrotu poszczególnych aktywów oznaczymy przez Ri i=1,…,n. Ri = ai + βi R + ei Stopa zwrotu z portfela r :

Składnik e jest średnią ważoną składników losowych poszczególnych akcji. Prawdziwe są równości

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a Przy przyjętych założeniach wariancja losowa portfela jest odwrotnie proporcjonalna do liczby aktywów w portfelu. Wariancja portfela może być przedstawiona jako suma dwóch składników Pierwszy z nich jest wiąże się z tzw. ryzykiem systematycznym, niedywersyfikowalnym, współczynnik beta jest średnią ważoną, nie ulega więc dużym wahaniom. Drugi zaś jest sumą przyczynków dywersyfikowalnych ryzyka (suma ta maleje wraz z liczbą akcji)

Linia papierów wartościowych Security Market Line SML Można szukać współzależności między stopą zwrotu z akcji A oraz stopą zwrotu portfela rynkowego RM (nie zaś indeksem rynku, jak poprzednio ) Z równania regresji RA= a + β R wynika, że ΔRA= β ΔR podstawiając ΔRA = RA - RF oraz ΔR = RM - RF do ostatniej równości otrzymujemy RA – RF = β (RM - RF ), czyli RA = RF + β (RM – RF ) gdzie β = COV(RA, RM ) / War RM Ostatnia równość nosi nazwę linii papierów wartościowych (SML) Pierwszy składnik RF jest zwany „ceną czasu” zaś drugi – „premią za ryzyko”

Linia papierów wartościowych Security Market Line SML SML w notacji wartości oczekiwanych

Linia papierów wartościowych Linia papierów wartościowych określa zależność stopy zwrotu akcji (portfela) od współczynnika beta tej akcji (portfela). Jest to zależność stopy zwrotu od ryzyka systematycznego reprezentowanego przez współczynnik beta

Linia papierów wartościowych. Układ (β,R)

Linia papierów wartościowych Równanie SML jest równaniem rynku w stanie równowagi, tzn. jest równaniem wyceny akcji (lub portfela). Stopę zwrotu z aktywu o danym współczynniku β można odczytać z wykresu. Portfel rynkowy jest punktem o pierwszej współrzędnej równej 1. Portfel pozbawiony ryzyka jest punktem przecięcia prostej SML z osią OY. Portfele leżące na SML są równie atrakcyjne ze względu na uzyskiwaną stopę zwrotu i ponoszone ryzyko

Linia papierów wartościowych

Model równowagi CAPM Parametry akcji (portfeli) mają tendencję do spełniania równania SML. (Punkty reprezentujące te portfele układają się na linii SML). Jeżeli akcja (portfel) znajduje się powyżej tej linii – ma większy zwrot - jest więc bardziej atrakcyjna (niedowartościowana), zwiększony popyt wywołuje zwiększoną cenę, co obniża jej stopę zwrotu (powrót na linię). Jeżeli akcja (portfel) znajduje się poniżej tej linii – ma mniejszy zwrot - jest więc mniej atrakcyjna (przewartościowana), zmniejszony popyt wywołuje spadek ceny, co zwiększa jej stopę zwrotu (powrót na linię).

Twierdzenie o dwóch portfelach efektywnych Dowolny portfel leżący na granicy efektywnej jest kombinacją dowolnych dwóch portfeli leżących na tej krzywej (D. Luenberger, „Teoria inwestycji finansowych”)

Współczynnik efektywności Sharpe’a Portfel rynkowy (σM , RM), to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std. czyli maksymalnym (E(RP) - RF)/σP