Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Matematyka podobna jest do wieży, której fundamenty położono przed wiekami, a do której dobudowuje się coraz wyższe piętra. Aby zobaczyć postęp budowy, trzeba iść na piętro najwyższe, a schody są strome i składają się z licznych stopni.” Hugo Steinhaus.

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ – METODA WYZNACZNIKÓW. Z tej lekcji dowiesz się w jaki sposób rozwiązać układ równań metodą wyznaczników. Jest to materiał wykraczający po za podstawę programową gimnazjum, jednak opisana metoda nie jest wcale trudna. Opisaliśmy tu samą metodę, bez zagłębiania się w teorię, która już taka łatwa nie jest.

WYZNACZNIK STOPNIA 2. Oto wyznacznik stopnia 2: a, b, c, d – dowolne liczby. Przykłady:

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW? Przykład: Rozwiąż układ równań: Najpierw tworzymy i obliczamy tak zwany wyznacznik główny W, którego pierwszą kolumnę tworzą współczynniki stojące przy x, a drugą współczynniki stojące przy y.

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW? Teraz tworzymy wyznacznik Wx , wstawiając do W w miejsce współczynników przy x wyrazy wolne (oznaczone w układzie kolorem fioletowym).

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW? Następnie tworzymy wyznacznik Wy , wstawiając do W w miejsce współczynników przy y wyrazy wolne (oznaczone w układzie kolorem fioletowym).

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW? Mamy zatem: W = -80, Wx = -320, Wy = 160. Obliczamy niewiadome: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 4, y = -2.

WZORY.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Dla ułatwienia porządkujemy układ równań tak, żeby x stały pod x, y pod y a wyrazy wolne pod wyrazami wolnymi.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2-ciąg dalszy. Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2, y = 3.

WYZNACZNIK STOPNIA 3. Wyznacznik ten obliczamy tzw. metodą Sarrusa. Dopisujemy pod wyznacznikiem dwa pierwsze wersy i mnożymy po skosie. Iloczyny od lewej do prawej dodajemy, a od prawej do lewej odejmujemy.

WYZNACZNIK STOPNIA 3. Przykład: Oblicz wyznacznik + 3 ∙ 1 ∙ 3 = 9 + (-1) ∙ (-2) ∙ 1 = 2 + 4 ∙ 2 ∙ 2 = 16 - 1 ∙ 1 ∙ 4 = 4 - 2 ∙ (-2) ∙ 3 = -12 - 3 ∙ 2 ∙ (-1) = -6 = ========= 41 = 9 + 2 + 16 – 4 – (-12) – (-6) = 41

PRZYKŁAD. Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników. W pierwszym równaniu nie ma z, a więc współczynnik przy tej niewiadomej jest równy 0. = 3 + 0 + (-1) – 0 – 2 – (-3) = 3 = 0 + 0 + (-9) – 0 – 0 – (-12) = 3 = 12 + 0 + 0 – 9 – 0 – 0 = 3

PRZYKŁAD. = 9 + 0 + (-4) – 0 – 8 – (-9) = 6 Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb x = 1, y = 1, oraz z = 2.