Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

CIĄGI monotoniczność ciągów

Spotkaliśmy się z ciągami: rosnącymi, malejącymi. Spróbujmy się im przyjrzeć i zapisać matematyczne warunki. ( 4, 26, 34, 57, 67,……..) - ciąg rosnący ( ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ………) - ciąg stały ( 7, -2, -23, -33, -47, -89, ……….) - ciąg malejący ( 3, 3, 3, 0, -2, -7, -7, -10, ……) - ciąg nierosnący (2, 4, 7, 7, 7, 13, 15, 15, …….) - ciąg niemalejący

( a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < < an < an+1 ) CIĄG ROSNĄCY Ustawmy dowolne elementy w ciąg rosnący; w ciągu liczbowym wstawmy znaki pomiędzy wyrazami. (, , , , , , …….) ( 0, 7, 11, 12, 23, ………………………….. ) ( a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < < an < an+1 )

Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy ogólnie zapisać: an < an+1 i przekształcić nierówność an+1 > an an+1 - an > 0 Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (an ) był rosnący: an+1 - an > 0 „Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem an+1 a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym an jest dodatnia”

Ćw. Sprawdź z definicji, czy ciąg jest rosnący: an = 10n + 2 wyznaczmy wyraz an+1 oraz różnicę an+1 - an an+1 = 10(n+1) + 2 an+1 – an = = 10(n+1) + 2 – [10n + 2] = = 10n + 10 + 2 – 10n – 2 = 10 otrzymana liczba jest dodatnia, co możemy zapisać: an+1 – an > 0 ciąg (an) jest rosnący

b) bn = n2 + 3n + 6 wyznaczmy wyraz bn+1 bn+1 = (n+1)2 + 3(n+1) + 6 = n2 + 2n + 1 + 3n + 3 + 6 = n2 + 5n + 10 obliczmy różnicę: bn+1 - bn bn+1 – bn = = [n2 + 5n + 10] – [n2 + 3n + 6 ] = = n2 + 5n + 10 – n2 – 3n – 6 = 2n + 4 otrzymane wyrażenie jest dodatnie ( n jest liczbą dodatnią, 2n jest liczbą dodatnią więc 2n + 4 również dodatnie); dlatego możemy zapisać: bn+1 – bn > 0 ciąg (bn) jest rosnący

CIĄG MALEJĄCY (, , , , , …….) ( 10, 7, 1, -5, -6, ………………………….. ) wstawmy odpowiednie znaki pomiędzy wyrazami w ciągu: ( a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > > an > an+1 )

Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy ogólnie zapisać: an > an+1 i przekształcić nierówność an+1 < an an+1 - an < 0 Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (an ) był malejący: an+1 - an < 0 „Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym jest ujemna”

Ćw. Sprawdź czy ciąg jest malejący an = 20 – n wyznaczmy wyraz an+1 oraz różnicę an+1 - an an+1 = 20 – (n+1) an+1 – an = = 20 – (n+1) – [20 – n ] = = 20 – n – 1 – 20 + n = -1 otrzymana liczba jest ujemna, co możemy zapisać: an+1 – an < 0 ciąg (an) jest malejący

CIĄG STAŁY ( 6, 6, 6, 6, 6, …………..) a2 – a1 = 6 – 6 = 0 a3 – a2 = 6 – 6 = 0 a4 – a3 = 6 – 6 = 0 Widzimy, że różnica pomiędzy wyrazami jest stała, równa 0 Matematycznie zapiszemy: an+1 - an = 0 Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (an ) był stały

Zbiór punktów dla tego ciągu przedstawia wykres. CIĄG NIEMALEJĄCY Zbiór punktów dla tego ciągu przedstawia wykres. Z wykresu widzimy, że ciąg wzrasta lub jest stały. Matematyczny warunek dla ciągu niemalejącego: an+1 - an ≥ 0 an 3 2 1 -1 · · · · · · · · 1 2 3 n

Narysujmy wykres do tego rodzaju ciągu: CIĄG NIEROSNĄCY Narysujmy wykres do tego rodzaju ciągu: Z wykresu widzimy, że ciąg maleje lub jest stały. Matematyczny warunek dla ciągu nierosnącego: an+1 - an ≤ 0 an 3 2 1 · · · · · · · · 1 2 3 n

Ćwiczenia. Określ rodzaj ciągu: (1) an = n3 + 7n + 8 wyznaczmy wyraz an+1 an+1 = (n+1)3 + 7(n+1) + 8 = n3 + 3n2 + 3n + 1 + 7n + 7 + 8 = n3 + 3n2 + 10n + 16 obliczmy różnicę: an+1 – an = = [n3 + 3n2 + 10n + 16] – [n3 + 7n + 8 ] = = n3 + 3n2 + 10n + 16 – n3 – 7n – 8 = 3n2 + 3n + 8 otrzymane wyrażenie jest dodatnie an+1 – an > 0 ciąg (an) jest rosnący

(2) bn = – n3 – 4 wyznaczmy wyraz bn+1 bn+1 = – (n+1)3 – 4 = – ( n3 + 3n2 + 3n + 1 ) – 4 = – n3 – 3n2 – 3n – 1 – 4 = – n3 – 3n2 – 3n – 5 obliczmy różnicę: bn+1 – bn = = [– n3 – 3n2 – 3n – 5 ] – [– n3 – 4 ] = = – n3 – 3n2 – 3n – 5 + n3 + 4 = – 3n2 – 3n – 1 otrzymane wyrażenie jest ujemne bn+1 – bn < 0 ciąg (bn) jest malejący

(3) cn = 102 wyznaczmy wyraz cn+1 cn+1 = 102 obliczmy różnicę: cn+1 – cn = 102 – 102 = 0 cn+1 – cn = 0 ciąg (cn) jest stały

(4) wyznaczmy wyraz dn+1 obliczmy różnicę: otrzymane wyrażenie jest dodatnie dn+1 – dn > 0 ciąg (dn) jest rosnący

(5) wyznaczmy wyraz en+1 obliczmy różnicę: en+1 – en < 0 ciąg (en) jest malejący