Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

DZIAŁANIA NA ZDARZENIACH

Rzucamy raz kostką do gry. Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia to zbiór: 𝛀 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Opiszmy zdarzenia: A – otrzymano mniej niż 5 oczek B – otrzymano co najmniej 4 oczka C – otrzymano szóstkę

Wypiszmy wyniki sprzyjające tym zdarzeniom A, B, C i narysujmy odpowiednie zbiory. 𝛀𝛀 A B 5 4 1 6 C

Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie złożone z wyników, które sprzyjają zdarzeniu A i jednocześnie zdarzeniu B. A ∩ B – iloczyn zdarzeń A i B A ∩ B = {4} – wynik 4 sprzyja iloczynowi zdarzeń A ∩ C = ∅ - zdarzenie niemożliwe - to takie, któremu nie sprzyja żaden wynik B ∩ C = {6} = C

Sumą zdarzeń A i B jest zdarzenie złożone z wyników, które sprzyjają zdarzeniu A lub zdarzeniu B. A ∪ B – suma zdarzeń A i B A ∪ B = {1,2,3,4,5,6} = 𝛀 A ∪ C = {1,2,3,4,6} B ∪ C = {4,5,6} = B

Różnicą zdarzeń A i B jest zdarzenie złożone z wyników, które sprzyjają zdarzeniu A, ale nie sprzyjają zdarzeniu B. A \ B – różnica zdarzeń A i B A \ B = {1,2,3} A \ C = {1,2,3,4} = A B \ C = {4,5} 𝛀 \ A = {5,6} A’ – zdarzenie przeciwne do zdarzenia A (są to wszystkie wyniki, które sprzyjają 𝛀, ale nie sprzyjają zdarzeniu A) A’= 𝛀 \ A

Przykład 1: W pudełku są: 2 kule białe, 3 czarne, 2 zielone. Losujemy jednocześnie dwie kule. Opiszmy zdarzenia: A – otrzymano kule białe B – otrzymano kule różnego koloru C – otrzymano kule tego samego koloru D – nie otrzymano kuli białej 𝛀 = {(b,b),(b,c),(b,z),(c,c),(c,z),(z,z)} Wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom: A = {(b,b)} B = {(b,c),(b,z),(c,z)} C = {(b,b),(c,c),(z,z)} D = {(c,c),(c,z),(z,z)}

A’ = {(b,c),(b,z),(c,c),(c,z),(z,z)} B’ = {(b,b),(c,c),(z,z)} C’ = {(b,c),(b,z),(c,z)} D’ = {(b,b),(b,c),(b,z)} A ∩ B = ∅ B ∩ C = ∅ A ∩ C = {(b,b)} A ∪ B = {(b,b),(b,c),(b,z),(c,z)} A ∪ C = {(b,b),(c,c),(z,z)} A \ B = {(b,b)} D’ \ B = {(b,b)}

(1,r),(2,r),(3,r),(4,r),(5,r),(6,r)} Przykład 2: Rzucamy sześcienną kostką i monetą. A – otrzymano parzystą liczbę oczek B – otrzymano reszkę C – otrzymano liczbę pierwszą oczek i orła D – otrzymano co najmniej 5 oczek r - reszka o - orzeł 𝛀 = {(1,o),(2,o),(3,o),(4,o),(5,o),(6,o), (1,r),(2,r),(3,r),(4,r),(5,r),(6,r)} Wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom: A = {(2,o),(2,r),(4,o),(4,r),(6,o),(6,r)} B = {(1,r),(2,r),(3,r),(4,r),(5,r),(6,r)}

C = {(2,o),(3,o),(5,o)} D = {(5,r),(5,o),(6,r),(6,o)} A’ = {(1,o),(3,o),(5,o),(1,r),(3,r),(5,r)} D’ = {(1,o),(2,o),(3,o),(4,o),(1,r),(2,r),(3,r),(4,r)} A ∩ B = {(2,r),(4,r),(6,r)} A ∩ C = {(2,o)} C ∪ D = {(2,o),(3,o),(5,o),(6,o),(5,r),(6,r)} B \ D = {(1,r),(2,r),(3,r),(4,r)} D \ A = {(5,o),(5,r)}

𝛀 = {(1,o),(2,o),(3,o),(4,o),(5,o),(6,o),(1,r), Przykład 3: Doświadczenie polega na rzucie kostką i monetą. Wiedząc, że: A ∩ B = {(4,o)} A ∪ B = {(2,o),(3,o),(4,o),(6,o),(4,r)} A \ B = {(2,o),(6,o)} Określ zdarzenia A i B. Zaczniemy od wyznaczenia zbioru wszystkich możliwych wyników doświadczenia: 𝛀 = {(1,o),(2,o),(3,o),(4,o),(5,o),(6,o),(1,r), (2,r),(3,r),(4,r),(5,r),(6,r)}

B A Do zadania narysujmy zbiory i umieśćmy w nich odpowiednie wyniki: Z rysunku odczytamy wyniki sprzyjające zdarzeniom: A = {(2,o),(4,o),(6,o)} B = {(3,o),(4,o),(4,r)} B A (2,o) (4,o) (3,o) (6,o) (4,r)

𝛀 = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),...,(6,5),(6,6)} Przykład 4 Rzucamy dwa razy kostką do gry. A – wypadnie parzysta liczba oczek w I i II rzucie B – suma oczek jest liczbą mniejszą od 5 C – suma oczek jest liczbą podzielną przez 3 𝛀 = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),...,(6,5),(6,6)} Wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom: A = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)} B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}

C = {(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1), (5,4),(6,3),(6,6)} A ∩ B = {(2,2)} A ∩ C = {(2,4),(4,2),(6,6)} A \ B = {(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)} A \ C = {(2,2),(2,6),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4)} B ∩ C = {(1,2),(2,1)} B \ C = {(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)} C \ A = {(1,2),(1,5),(2,1),(3,3),(3,6),(4,5),(5,1),(5,4), (6,3)}

𝛀 ={(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b), (b,b,a),(b,b,b)} Przykład 5: Kręcimy trzy razy bączkiem w kształcie siedmiokąta foremnego z zaznaczonymi literkami: a, b A –za pierwszym razem otrzymano literkę a B – za drugim razem otrzymano literkę b Wypiszmy zbiór 𝛀 oraz wyniki sprzyjające zdarzeniom: 𝛀 ={(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b), (b,b,a),(b,b,b)}

A = {(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b)} B = {(a,b,a),(a,b,b),(b,b,a),(b,b,b)} A ∩ B = {(a,b,a),(a,b,b)} A ∪ B = {(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,b,a),(b,b,b)} A \ B = {(a,a,a),(a,a,b)} B \ A = {(b,b,a),(b,b,b)} A’ = {(b,a,a),(b,a,b),(b,b,a),(b,b,b)} B’ = {(a,a,a),(a,a,b),(b,a,a),(b,a,b)} A’ ∩ B’ = {(b,a,a),(b,a,b)}