Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

WIELOMIANY

Sumę dwóch jednomianów różnych stopni nazywamy dwumianem. I. Jednomian to funkcja postaci: y=axn określona na zbiorze liczb rzeczywistych. Liczbę a (a≠0) nazywamy współczynnikiem jednomianu, n nazywamy stopniem jednomianu. PRZYKŁADY JEDNOMIANÓW: f(x)=6x2 g(x)=-2x3 h(x)=-x f(x)=4x8 p(x)=7x2 g(x)=-2 Sumę dwóch jednomianów różnych stopni nazywamy dwumianem. PRZYKŁADY DWUMIANÓW: w(x)=6x2+5x3 h(x)=-x-20 f(x)=4x8-x2 p(x)=7x6-x2 g(x)=-2+x4 w(x)=x+8x9

Sumę trzech jednomianów różnych stopni nazywamy trójmianem. PRZYKŁADY TRÓJMIANÓW: w(x)=5x2+5x3+3x h(x)=x4-x-20 f(x)=4x8-x2+5x p(x)=4x7+x6-x2 g(x)=-2+x4-x w(x)=8x9-x7+x2 II. Wielomian to funkcja postaci: w(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0 określona na zbiorze liczb rzeczywistych. Liczby an, an-1,….a1,a0 nazywamy współczynnikami wielomianu, a0 jest wyrazem wolnym. PRZYKŁADY WIELOMIANÓW: f(x)=6x7-2x4+x2-8 g(x)=-2x3-x+12 f(x)=x8+4x6-x2+3 p(x)=7x3+x2-6x-2 w(x)≡0 – wielomian zerowy

u(x)+w(x)=-x3+x2-6x+8+4x3+6x-7=3x3+x2+1 Ćw1: Napisz wzór wielomianu w o podanych współczynnikach: a0=2 a1=-4 a3=10 w(x)=10x3-4x+2 a1=-2 a4=10 a5=2 w(x)=2x5+10x4-2x c) a0=-4 a1=-8 a4=6 a7=2 w(x)=2x7+6x4-8x-4 Ćw2: Mając dane wielomiany u(x) oraz w(x) wykonaj działania: u(x)=-x3+x2-6x+8 w(x)=4x3+6x-7 u(x)+w(x)=-x3+x2-6x+8+4x3+6x-7=3x3+x2+1

2u(x)+4w(x)=2(-x3+x2-6x+8)+4(4x3+6x-7)= w(x)-u(x)=4x3+6x-7-(-x3+x2-6x+8)= =4x3+6x-7+x3-x2+6x-8=5x3-x2+12x-15 x·w(x)+(x-2)+u(x)=x·(4x3+6x-7)+x-2-x3+x2-6x+8= =4x4+6x2-7x+x-2-x3+x2-6x+8=4x4-x3+7x2-12x+6 e) 3u(x)+2w(x)=3(-x3+x2-6x+8)+2(4x3+6x-7)= =-3x3+3x2-18x+24+8x3+12x-14= =5x3+3x2-6x+10 f) 2u(x)-w(x)=2(-x3+x2-6x+8)-(4x3+6x-7)= =-2x3+2x2-12x+16-4x3-6x+7= =-6x3+2x2-18x+23

dla x=-2 w(-2)=(-2)3-2·(-2)2+6·(-2)+1 w(-2)=-8-8-12+1=-27 dla x=-1 Ćw3: Oblicz wartość wielomianu w(x)=x3-2x2+6x+1 dla podanego x. dla x=-2 w(-2)=(-2)3-2·(-2)2+6·(-2)+1 w(-2)=-8-8-12+1=-27 dla x=-1 w(-1)=(-1)3-2· (-1)2+6·(-1)+1 w(-1)=-1-2-6+1=-8 c) dla x=0 w(0)=03-2·02+6·0+1 w(0)=1 dla x=4 w(4)=43-2·42+6·4+1 w(4)=64-32+24+1=57

a) w(x)=x3-ax2+6x-2 w(2)=2 w(2)=23-a·22+6·2-2 w(2)=8-4a+12-2 Ćw4: Wyznacz współczynnik a jeżeli: a) w(x)=x3-ax2+6x-2 w(2)=2 w(2)=23-a·22+6·2-2 w(2)=8-4a+12-2 w(2)=18-4a 2=18-4a 4a=16 a=4 w(x)=x3-4x2+6x-2 b) w(x)=ax3-6x2+x-10 w(1)=-7 w(1)=a·13-6·12+1-10 w(1)=a-6+1-10 w(1)=a-15 -7=a-15 -a=-8 a=8 w(x)=8x3-6x2+x-10

c) w(x)=x4+6x2-2x+a w(-1)=10 w(-1)=(-1)4+6·(-1)2-2·(-1)+a w(-1)=1+6+2+a w(-1)=9+a 10=9+a a=1 w(x)=x4+6x2-2x+1 d) w(x)=2x3-(a-8)x2+3x-1 w(-3)=-10 w(-3)=2·(-3)3-(a-8)·(-3)2+3·(-3)-1 w(-3)=2·(-27)-(a-8)·9-9-1 w(-3)=-54-9a+72-10 w(-3)=8-9a -10=8-9a 9a=8+10 9a=18 a=2 w(x)=2x3-(2-8)x2+3x-1 w(x)=2x3+6x2+3x-1

w(-1)=2·(-1)3+6·(-1)-8 w(-1)=-2-6-8=-16 w(1)=2·13+6·1-8 w(1)=2+6-8=0 Ćw5: Która z podanych liczb w zbiorze X={-1,1,2} jest miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu w(x)=2x3+6x-8? Liczba jest pierwiastkiem wielomianu jeżeli wartość wielomianu dla tej liczby wynosi zero. Obliczamy wartość wielomianu dla podanych liczb w zbiorze X. w(-1)=2·(-1)3+6·(-1)-8 w(-1)=-2-6-8=-16 w(1)=2·13+6·1-8 w(1)=2+6-8=0 w(2)=2·23+6·2-8 w(2)=16+12-8=20 Z podanych liczb w zbiorze X pierwiastkiem wielomianu jest liczba 1.

a) w(x)=2x4-bx3+ax2-5 w(1)=3 w(-2)=0 w(1)=2·14-b·13+a·12-5 Ćw6: Wyznacz współczynniki a i b wielomianu w(x) jeżeli: a) w(x)=2x4-bx3+ax2-5 w(1)=3 w(-2)=0 w(1)=2·14-b·13+a·12-5 w(1)=2-b+a-5 w(1)=-3-b+a 3=-3-b+a a-b=6 a=b+6 w(-2)=2·(-2)4-b·(-2)3+a·(-2)2-5 w(-2)=32+8b+4a-5 w(-2)=27+8b+4a 0=27+8b+4a 4a+8b=-27 4(b+6)+8b=-27 4b+24+8b=-27 12b=-51 b=-4,25 a=b+6=-4,25+6=1,75 w(x)=2x4+4,25x3+1,75x2-5

b) w(x)=ax5+4x3-bx+10 w(1)=14 w(-2)=2 w(1)=a·15+4·13-b·1+10 w(1)=a+4-b+10 w(1)=14+a-b 14=14+a-b a-b=0 a=b w(-2)=a·(-2)5+4·(-2)3-b·(-2)+10 w(-2)=-32a-32+2b+10 w(-2)=-22-32a+2b 2=-22-32a+2b 32a-2b=-24 32b-2b=-24 30b=-24 b=-0,8 a=-0,8 w(x)=-0,8x5+4x3+0,8x+10

w(-2)=2·(-2)3-4·(-2)2+6·(-2)+a0 w(-2)=-16-16-12+a0 w(-2)=-44 +a0 Ćw7: Wyznacz wyraz wolny wielomianu w(x)=2x3-4x2+6x+a0 jeżeli: a) w(1)=4 w(1)=2·13-4·12+6·1+a0 w(1)=2-4+6+a0 w(1)=4+a0 4=4+a0 a0=0 w(x)=2x3-4x2+6x b) w(-2)=0 w(-2)=2·(-2)3-4·(-2)2+6·(-2)+a0 w(-2)=-16-16-12+a0 w(-2)=-44 +a0 0=-44+a0 a0=44 w(x)= 2x3-4x2+6x+44

c) w(0)=4 w(0)=2·03-4·02+6·0+a0 w(0)=0-0+0+a0 w(0)=a0 4=a0 a0=4 w(x)=2x3-4x2+6x+4 d) w(-4)=-3 w(-4)=2·(-4)3-4·(-4)2+6·(-4)+a0 w(-4)=-128-64-24+a0 w(-4)=-216 +a0 -3=-216+a0 a0=213 w(x)= 2x3-4x2+6x+213

a) v(x)=w(x)+u(x) v(x)=x3+6x2-4+4x-5 v(x)=x3+6x2+4x-9 Ćw8: Dane są wielomiany: w(x)=x3+6x2-4 u(x)=4x-5. Wyznacz wielomian: a) v(x)=w(x)+u(x) v(x)=x3+6x2-4+4x-5 v(x)=x3+6x2+4x-9 b) v(x)=w(x)-u(x) v(x)=x3+6x2-4-(4x-5) v(x)=x3+6x2-4-4x+5 v(x)=x3+6x2-4x+1 c) v(x)=u(x)-w(x) v(x)=4x-5-(x3+6x2-4) v(x)=4x-5-x3-6x2+4 v(x)=-x3-6x2+4x-1

Obw=(x+3)+4+2x+(x-1)+(3x+3-1)+(x-1)+1+4 Obw=x+3+4+2x+x-1+3x+2+x-1+5 Ćw9: Oblicz obwód figury przedstawionej na rysunku: a) Obw=(x+3)+4+2x+(x-1)+(3x+3-1)+(x-1)+1+4 Obw=x+3+4+2x+x-1+3x+2+x-1+5 Obw=8x+12 b) Obw=4x+3+(2x+1)+3+(2x+1)+3+4x+9 Obw=4x+3+2x+1+3+2x+1+3+4x+9 Obw=12x+20 x+3 4 1 2x x-1 4x 3 2x+1 9