Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

RÓWNANIA WIELOMIANOWE

Równanie postaci W(x)=0 gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n nazywamy równaniem wielomianowym stopnia n. Liczba, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego to pierwiastek (miejsce zerowe) wielomianu W(x). Aby rozwiązać równanie wielomianowe należy rozłożyć na czynniki wielomian i skorzystać z faktu, że iloczyn jest równy zero wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero. a · b = 0 ⇔ a = 0 v ∨ b = 0 Rozwiązując równania wykorzystujemy metodę grupowania wyrazów, wzory skróconego mnożenia, wzory na rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki w zależności od delty.

Zadanie: Rozwiąż równania: 1) 16x+32=0 16x=-32 x=-2 ZR={-2} 2) (x-3)(3x+9)=0 x-3=0 ∨ 3x+9=0 x=3 ∨ 3x=-9 x=3 ∨ x=-3 ZR={-3,3} 3) (4-x)(x+7)(5x+15)=0 4-x=0 ∨ x+7=0 ∨ 5x+15=0 -x=-4 ∨ x=-7 ∨ 5x=-15 x=4 ∨ x=-7 ∨ x=-3 ZR={-7,-3,4}

4) 16x(x-3)(x+9)=0 16x=0 ∨ x-3=0 ∨ x+9=0 x=0 ∨ x=3 ∨ x=-9 ZR={-9,0,3} 5) (x-3)(3x+9)=0 x-3=0 ∨ 3x+9=0 x=3 ∨ 3x=-9 x=3 ∨ x=-3 ZR={-3,3} 6) (4-x)(x2+6x)(5x+5)=0 4-x=0 ∨ x2+6x=0 ∨ 5x+5=0 -x=-4 ∨ x(x+6)=0 ∨ 5x=-5 x=4 ∨ x=0 ∨ x+6=0 ∨ x=-1 x=4 ∨ x=0 ∨ x=-6 ∨ x=-1 ZR={-6,-1,0,4}

7) (x+4)(2x-10)(x2-4)=0 x+4=0 ∨ 2x-10=0 ∨ x2-4=0 x=-4 ∨ 2x=10 ∨ x2=4 x=-4 ∨ x=5 ∨ x=-2 ∨ x=2 ZR={-4,-2,2,5} 8) (x2-9)(x2-6x)=0 x2-9=0 ∨ x2-6x=0 x2=9 ∨ x(x-6)=0 x=-3 ∨ x=3 ∨ x=0 ∨ x-6=0 x=-3 ∨ x=3 ∨ x=0 ∨ x=6 ZR={-3,0,3,6} 9) x2(x2-8x)(x+10)=0 x2=0 ∨ x2-8x=0 ∨ x+10=0 x=0 ∨ x(x-8)=0 ∨ x=-10 x=0 ∨ x=0 ∨ x=8 ∨ x=-10 ZR={-10,0,8}

10) x2+x+4=0 a=1 b=1 c=4 =1-16=-15  < 0 xØ ZR= Ø 11) x2+6x+5=0 a=1 b=6 c=5 =36-20=16 x1=-5 x2=-1 ZR={-5,-1} 12) x3+5x2+4x=0 x(x2+5x+4)=0 x=0 ∨ x2+5x+4=0 a=1 b=5 c=4 =25-16=9 x1=-4 x2=-1 ZR={-4,-1,0}

13) x3+3x2+6x+18=0 (x3+3x2)+(6x+18)=0 x2(x+3)+6(x+3)=0 (x+3)(x2+6)=0 x+3=0 ∨ x2+6=0 x=-3 a=1 b=0 c=6 =0-24=-24  < 0 xØ ZR={-3} 14) x3-8x2+x-8=0 (x3-8x2)+(x-8)=0 x2(x-8)+1(x-8)=0 (x-8)(x2+1)=0 x-8=0 ∨ x2+1=0 x=8 a=1 b=0 c=1 =0-4=-4 ZR={8}

15) x3-9x=0 x(x2-9)=0 x=0 ∨ x2-9=0 x2=9 x=-3 ∨ x=3 ZR={-3,0,3} 16) x3-x=0 x(x2-1)=0 x=0 ∨ x2-1=0 x2=1 x=-1 ∨ x=1 ZR={-1,0,1} 17) x4-1=0 (x2)2-12=0 (x2-1)(x2+1)=0 x2-1=0 ∨ x2+1=0 x2=1 ∨ x2=-1 x=-1 ∨ x=1 xØ ZR={-1,1}

18) 3x3-x2-21x+7=0 (3x3-x2)+(-21x+7)=0 x2(3x-1)-7(3x-1)=0 (3x-1)(x2-7)=0 3x-1=0 ∨ x2-7=0 3x=1 ∨ x2=7 x=⅓ ∨ x=- ∨ x= ZR={- ,⅓, } 19) -2x3-5x2+8x+20=0 (-2x3-5x2)+(8x+20)=0 -x2(2x+5)+4(2x+5)=0 (2x+5)(-x2+4)=0 2x+5=0 ∨ -x2+4=0 2x=-5 ∨ x2=4 x=-2½ ∨ x=-2 ∨ x=2 ZR={-2½,-2,2}

20) 2x4+x3+3x2+x+1=0 (2x4+x3+x2)+(2x2+x+1)=0 x2(2x2+x+1)+1(2x2+x+1)=0 (x2+1)(2x2+x+1)=0 x2+1=0 ∨ 2x2+x+1=0 x2=-1 2x2+x+1=0 xØ a=2 b=1 c=1 =1-8=-7  < 0 xØ ZR=Ø 21) 9x3-18x2+2x-4=0 (9x3-18x2)+(2x-4)=0 9x2(x-2)+2(x-2)=0 (x-2)(9x2+2)=0 x-2=0 ∨ 9x2+2=0 x=2 a=9 b=0 c=2 =0-72=-72 ZR={2}

22) x3-9x2+x-9=0 (x3-9x2)+(x-9)=0 x2(x-9)+1(x-9)=0 (x-9)(x2+1)=0 x-9=0 ∨ x2+1=0 x=9 ∨ x2=-1 xØ ZR={9} 23) 3x4+6x3+3x2+6x=0 (3x4+6x3)+(3x2+6x)=0 x3(3x+6)+x(3x+6)=0 (x3+x)(3x+6)=0 x3+x=0 ∨ 3x+6=0 x(x2+1)=0 ∨ 3x=-6 x=0 ∨ x2+1=0 ∨ x=-2 ZR={-2,0}

24) –x5-4x3-x2-4=0 (–x5-4x3)+(-x2-4)=0 -x3(x2+4)-1(x2+4)=0 ZR={-1} 25) -x4-5x2-4=0 -(x2)2-5x2-4=0 podstawiamy: x2=t -t2-5t-4=0 a=-1 b=-5 c=-4 =25-16=9 t1=-1 t2=-4 wracamy do podstawienia: x2=-1 ∨ x2=-4 xØ xØ ZR=Ø

26) x8-3x4-4=0 (x4)2-3x4-4=0 podstawiamy: x4=t t2-3t-4=0 a=1 b=-3 c=-4 =9+16=25 wracamy do podstawienia: x4=-1 ∨ x4=4 xØ x= x=- ZR={- , }