Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
„Matematyka jest językiem.” Josiah Willard Gibbs
SKALA, MAPA, PLAN. Mapy i plany są odbiciem rzeczywistego świata na papierze. Każda mapa oprócz legendy niezbędnej do jej odczytania opisana jest także skalą, która informuje nas w jak wielkim pomniejszeniu przedstawia dany teren. Nie bez powodu skala na mapie i skala w podobieństwie noszą tę samą nazwę…
SKALA. Skala informuje nas ile razy dany przedmiot został pomniejszony (w przypadku dużych obiektów) lub też powiększony(w przypadku bardzo małych obiektów), aby można go było przedstawić na mapie lub planie. Istnieje kilka standardów zapisu skali na mapach i planach, najpopularniejsza jest skala liczbowa. Np. zapis 1 : 25000 oznacza, że odległości przedstawione na rysunku wykonanym w tej skali są 25000 razy mniejsze niż w rzeczywistości, czyli, że 1 cm na mapie odpowiada 25000 cm w rzeczywistości.
SKALA. Zapis 5 : 1 oznacza, że przedmiot przedstawiony na rysunku jest 5 razy większy niż w rzeczywistości. Zapis 1 : 1 oznacza, że dany przedmiot został przedstawiony w rzeczywistych rozmiarach. Często stosuje się także: Skalę mianowaną, np. 1 cm – 1 km lub 1 cm → 1 km Podziałkę liniową
PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Dany jest prostokąt o wymiarach 28 cm na 36 cm. Jakie wymiary ma ten prostokąt w poszczególnych skalach? Skala Wymiary prostokąta 1 : 1 28 cm 36 cm 1 : 2 28 cm : 2 = 14 cm 36 cm : 2 = 18 cm 1 : 4 28 cm : 4 = 7 cm 36 cm : 4 = 9 cm 2 : 1 28 cm ∙ 2 = 56 cm 36 cm ∙ 2 = 72 cm 3 : 1 28 cm ∙ 3 = 84 cm 36 cm ∙ 3 = 108 cm
PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Okrąg o promieniu r = 2 cm narysuj w skali 1 : 2 oraz w skali 2 : 1. W skali 1 : 2 promień jest dwa razy mniejszy, a w skali 2 : 1 dwa razy większy. 1 : 1 1 : 2 2 : 1
PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Jakiej skali liczbowej odpowiadają podane skale mianowane? 1 cm – 20 km ; 1 cm – 350 km; 1cm – 2,5 km 1 km to 1000 m a więc 100000 cm, stąd: skali 1 cm – 20 km odpowiada skala 1 : 2000000 (20 ∙ 100000 cm = 2000000 cm) skali 1 cm – 350 km odpowiada skala 1 : 35000000 (350 ∙ 100000 cm = 35000000 cm) skali 1cm – 2,5 km odpowiada skala 1 : 250000 (2,5 ∙ 100000 cm = 250000 cm)
PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Na mapie wykonanej w skali 1 : 500000 odległość między Ciepielowem a Baranowem wynosi 4 cm, jaka to odległość w terenie? Od Ciepielowa do Kąkolewa w linii prostej jest 35 km, jaka to odległość na mapie? Skala 1 : 500000 oznacza, że jednemu centymetrowi na mapie odpowiada 500000 cm = 5000 m = 5 km w terenie, stąd: 4 cm na mapie to 4 ∙ 5 km = 20 km w terenie 35 km w terenie to 35 : 5 = 7 cm na mapie
PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4 – ciąg dalszy. Jeżeli przeliczanie jednostek sprawia Ci trudność i nie możesz zapamiętać, kiedy należy mnożyć a kiedy dzielić odległości, korzystaj z proporcji: x = 4 ∙ 500000 cm = 2000000 cm = 20 km 500000y = 3500000 cm |: 500000 y = 7 cm mapa teren skala 1 cm 500000 cm dane 4 cm x mapa teren skala 1 cm 500000 cm dane y 3500000 cm
PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Podaj w jakiej skali wykonano mapę, jeżeli odległość między dwoma miejscowościami na mapie wynosi 6 cm, a w rzeczywistości 180 km. 180 km = 180 ∙ 100000 cm = 18000000 cm Posłużymy się proporcją: 6x = 18000000 | : 6 x = 3000000 Odpowiedź: Mapę wykonano w skali 1 : 3000000. mapa teren skala 1 cm x dane 6 cm 18000000 cm
PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Świnoujście i Ustrzyki Górne to najbardziej oddalone od siebie miejscowości w Polsce. Odległość między nimi mierzona w linii prostej wynosi ok. 800 km. Jaka będzie odległość między nimi na mapie wykonanej w skali 1 : 16000000? 800 km = 80000000 cm 16000000x = 80000000 cm | : 16000000 x = 5 cm Odpowiedź: Na takiej mapie odległość ta będzie wynosić 5 cm mapa teren skala 1 cm 16000000 cm dane x 80000000 cm
PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Odległość między Brukselą a Sofią na mapie o skali 1 : 40000000 wynosi 4,25 cm. Ile wynosi ta odległość na mapie o skali 1 : 20000000? Wbrew pozorom nie musimy liczyć odległości w terenie żeby rozwiązać to zadanie. Zauważmy, że druga mapa jest wykonana w skali dwa razy większej niż pierwsza (druga mapa pomniejsza 20000000 razy a pierwsza 40000000 razy), a więc odległości na niej są dwa razy większe niż na pierwszej. 2 ∙ 4,25 cm = 8,5 cm Odpowiedź: Na mapie o skali 1 : 20000000 ta odległość wynosi 8,5 cm.
PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Jaka jest skala mapy, na której jednemu hektarowi odpowiada kwadrat o boku 2 cm? Uwaga: mamy tu do czynienia z polami powierzchni, należy więc pamiętać, że stosunek pól jest równy kwadratowi skali (patrz lekcja „Pola figur podobnych”). 1 ha = 10 000 m2 = 100 000 000 cm2 4 cm2 (mapa) = 100 000 000 cm2 (teren) | : 4 1 cm2 (mapa) = 250 000 000 cm2 (teren) Po wyciągnięciu pierwiastka dostajemy: 1 cm (mapa) = 5 000 cm (teren) Odpowiedź: Skala tej mapy wynosi 1 : 5000.
PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Podłoga pokoju ma powierzchnię 25 m2. Jaką powierzchnię zajmuje ta podłoga na planie wykonanym w skali 1 : 500? Pamiętajmy, że działamy na polach powierzchni, podobnie jak w poprzednim zadaniu. 25 m2 = 250 000 cm2 1 cm (plan) = 500 cm (teren) Po podniesieniu do kwadratu mamy: 1 cm2 (plan) = 250 000 cm2 (teren) 250 000 cm2 : 250 000 = 1 cm2 Odpowiedź: Na planie ten pokój zajmuje 1 cm2.
PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 5. Pewien układ scalony mieści się na prostokątnej płytce o powierzchni 6 cm2. W jakiej skali wykonano plan na którym płytka ta ma wymiary 8 cm na 12 cm? Obliczmy pole tej płytki na planie: 8 cm ∙ 12 cm = 96 cm2 Zauważmy, że plan został wykonany w powiększeniu. 96 cm2 (plan) = 6 cm2 (w rzeczywistości) |: 6 16 cm2 (plan) = 1 cm2 (w rzeczywistości) Wyciągamy pierwiastek: 4 cm (plan) = 1 cm (w rzeczywistości) Odpowiedź: Plan ten wykonano w skali 4 : 1.