Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

RÓWNANIA KWADRATOWE

Aby rozwiązać równanie z niewiadomą x należy wyznaczyć zbiór tych wartości x, dla których równanie jest spełnione. Rozwiązania równania kwadratowego to miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Rozwiązując równanie kwadratowe: musimy wyznaczyć współczynniki a, b, c, obliczyć deltę (wyróżnik funkcji kwadratowej), w zależności od delty wyznaczyć miejsca zerowe. Możemy stosować wzory skróconego mnożenia, wyłączyć wspólny czynnik przed nawias rozkładając równanie na czynniki. Stosując różne metody rozwiążemy równania kwadratowe.

x2-4x-5 = 0 a=1 b=-4 c=-5 Δ = b2- 4ac Δ = (-4)2 - 4·1·(-5) = 16 + 20 = 36 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe

-6x2+x+1 = 0 a=-6 b=1 c=1 Δ = b2- 4ac Δ = 12 - 4·(-6)·1 = 1 + 24 = 25 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe

4x2+8x = 0 6x2-6 = 0 4x · (x+2) = 0 4x=0 ∨ x+2 = 0 x=0 ∨ x=-2 6x2 = 6

x2-4x+4 = 0 a=1 b=-4 c=4 Δ = b2- 4ac Δ = (-4)2 - 4·1·4 Δ = 16 - 16 Δ = 0 - wyznaczamy jedno miejsce zerowe

-x2-x-4 = 0 6x2+x+2 = 0 a=-1 b=-1 c=-4 Δ = b2- 4ac Δ = (-1)2 - 4·(-1)·(-4) = 1 - 16 = -15 Δ < 0 - równanie nie posiada rozwiązań 6x2+x+2 = 0 a=6 b=1 c=2 Δ = b2- 4ac Δ = 12 – 4·6·2 = 1 – 48 = -47 Δ < 0 - równanie nie posiada rozwiązań

-x2+6x = 9 -x2+6x-9 = 0 a=-1 b=6 c=-9 Δ = b2- 4ac Δ = 62 - 4·(-1)·(-9) Δ = 36 - 36 Δ = 0 - wyznaczamy jedno miejsce zerowe

x(x-5)=2x(x-1) x2-5x = 2x2-2x x2-2x2+2x-5x=0 -x2-3x=0 a=-1 b=-3 c=0 Δ = b2- 4ac Δ = (-3)2 - 4·(-1)·0 Δ = 9 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe

-2(x+5)(x-2)=-2(3x-10) -2(x2-2x+5x-10)=-6x+20 -2x2-6x+20 = -6x+20

2(x-5)=2x(x-1) 2x-10 = 2x2-2x 2x-2x2+2x-10=0 -2x2+4x-10=0 a=-2 b=4 c=-10 Δ = b2- 4ac Δ = 42 - 4·(-2)·(-10) Δ = 16-80 Δ < -64 - równanie nie posiada rozwiązań

(x+1)2+(2-x)2=(2+x)2 x2+2x+1+4-4x+x2=4+4x+x2 2x2-2x+5=4+4x+x2 a=1 b=-6 c=1 Δ = b2- 4ac Δ = (-6)2 – 4·1·1 Δ = 36-4 Δ = 32 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe

4(x+2)-6x=(1-x)2-2 4x+8-6x=1-2x+x2-2 -2x+8=-1-2x+x2 -x2-2x+2x+8+1=0

(2x+1)2+(x-3)2=10 4x2+4x+1+x2-6x+9=10 5x2-2x+10=10 5x2-2x=0 x(5x-2)=0

a=-4 b=-2 c=0 Δ = b2- 4ac Δ = (-2)2 – 4·(-4)·0 Δ = 4 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe

a=2 b=5 c=3 Δ = b2- 4ac Δ = 52 – 4·2·3 Δ = 25-24 Δ = 1 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe