Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Matematyka wyposaża nas w coś jakby nowy zmysł.” Charles Robert Darwin

LICZBY SPEŁNIAJĄCE RÓWNANIA Liczby spełniające równanie to po prostu rozwiązania tego równania. Każde równanie ma określoną liczbę rozwiązań, czasem tą liczbą jest 0, czasem jest to nieskończona ilość.

LICZBY SPEŁNIAJĄCE RÓWNANIA. Liczba spełnia równanie (jest rozwiązaniem równania; pierwiastkiem równania) jeśli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej otrzymujemy równość prawdziwą. PRZYKŁAD: Liczbą spełniającą równanie 3x + 5 = 32 jest 9 ponieważ po podstawieniu 9 za x otrzymamy równość prawdziwą: 3 ∙ 9 + 5 = 32 Prawa i lewa strona równania są równe 32.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. 4x – 6 = 14 Liczbą spełniającą to równanie jest 5 ponieważ 4 ∙ 5 – 6 = 14 PRZYKŁAD 2. x2 = 16 Liczbami spełniającymi to równanie są 4 i -4 ponieważ 42 = 16; (-4)2 = 16 PRZYKŁAD 3. x(x - 2)(x + 1) = 0 Liczbami spełniającymi to równanie są 0, 2 i -1 ponieważ 0(0 – 2)(0 + 1) = 0; 2(2 – 2)(2 + 1) = 0; -1((-1) – 2)((-1) + 1) = 0

PRZYKŁADY PRZYKŁAD 4. 5x = 3x + 2x Każda liczba spełnia to równanie, inaczej mówiąc ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. PRZYKŁAD 5. x = x -1 Tego równania nie spełnia żadna liczba czyli nie ma ono rozwiązań.

RÓWNANIA TOŻSAMOŚCIOWE I RÓWNANIA SPRZECZNE. Równaniem sprzecznym nazywamy równanie, którego nie spełnia żadna liczba (które nie ma rozwiązań). PRZYKŁADY RÓWNAŃ SPRZECZNYCH: x = 2x; x2 = -4; |x| = -2; 2x +2 = 2x + 3 Równaniem tożsamościowym nazywamy równanie, które spełnia każda liczba (które ma nieskończenie wiele rozwiązań). PRZYKŁADY RÓWNAŃ TOŻSAMOŚCIOWYCH: x + x = 2x; 3(x + 1) = 3x + 3; 0 ∙ x = 0; x + 1 = 1 + x

ZBIÓR ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA. Zbiorem rozwiązań równania nazywamy zbiór wszystkich liczb spełniających to równanie. PRZYKŁADY: x + 5 = 12 Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór jedno elementowy {6}; x2 = 25 Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór dwuelementowy {-5; 5}; x2 = -1 Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór pusty Ø.

RÓWNANIA RÓWNOWAŻNE. Równania nazywamy równaniami równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań. PRZYKŁADY: Równania: x – 2 = 3; 6x = 30; 2x + 4 = 14 są równaniami równoważnymi, ponieważ ich zbiór rozwiązań to {5}. Równania: x = 2x; x2 = -4; |x| = -2; są równaniami równoważnymi, ponieważ są to równania sprzeczne (ich zbiór rozwiązań jest pusty). Równania: x + x = 2x; 3(x + 1) = 3x + 3; 0 ∙ x = 0; są równaniami równoważnymi, ponieważ są to równania tożsamościowe (spełnia je każda liczba)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE1. Sprawdź, czy któraś z liczb -2 lub 3 jest rozwiązaniem podanego równania. 5(x + 1) – 10 = 3x + 1 Rozważamy osobno lewą (L) i prawą (P) stronę równania. Podstawiamy kolejno sprawdzane liczby. Dla x = -2 mamy: L = 5(-2 + 1) – 10 = 5 ∙ (-1) – 10 = -5 – 10 = -15 P = 3 ∙ (-2) + 1 = -6 + 1 = -5 L ≠ P, a więc -2 nie spełnia naszego równania

PRZYKŁADOWE ZADANIA. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. Dla x = 3 mamy: L = 5(3 + 1) – 10 = 5 ∙ 4 – 10 = 20 – 10 = 10 P = 3 ∙ 3 + 1 = 9 + 1 = 10 L = P, a więc 3 spełnia nasze równanie.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Jaką liczbę należy wstawić zamiast litery a, aby otrzymać równanie, którego rozwiązaniem jest liczba 10? 3x – 6 = x + a Rozpiszmy obie strony równania dla x = 10 L = 3 ∙ 10 – 6 = 30 – 6 = 24 P = 10 + a Aby rozwiązaniem równania była liczba 10, dla x = 10 obie strony równania muszą być sobie równe (L = P). Żeby P = 24 zamiast litery a należy wstawić 14. 3x – 6 = x + 14

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Zastąp literę a w równaniu takim wyrażeniem, aby otrzymać równanie: sprzeczne tożsamościowe 2x + 3 = x + a Aby otrzymać równanie sprzeczne, po prawej stronie musi stać 2x i liczba inna niż 3. Np. a = x, mamy wtedy: 2x + 3 = x + x Aby otrzymać równanie tożsamościowe, prawa i lewa strona równania muszą być takie same. Np. a = x + 3, mamy wtedy 2x + 3 = x + x + 3

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Do podanego równania dopisz dwa równania równoważne. x – 3 = 5 Rozwiązaniem tego równania jest liczba 8. Równania równoważne danemu to takie, których rozwiązaniem jest również liczba 8. Np. 2x = 16 3x – 5 = 19