Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

Heinrich Rudolph Hertz „Nie można oprzeć się wrażeniu, że formuły matematyczne mają niezależny od nas byt i inteligencję, że są mądrzejsze niż my sami, nawet mądrzejsze niż ich odkrywcy, i że możemy wywnioskować z nich więcej niż poprzednio w nich zawarto.” Heinrich Rudolph Hertz

WYKORZYSTANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH Układy równań służą nam do rozwiązywania praktycznych problemów, a te najczęściej formułuje się w postaci tzw. zadań tekstowych. W tej lekcji przedstawiliśmy kilka przykładów rozwiązywania zadań tekstowych z użyciem układów równań.

CO NALEŻY ZROBIĆ ABY ROZWIĄZAĆ ZADANIE TEKSTOWE. Przeczytaj uważnie treść zadania Oznacz niewiadome w zadaniu Przeanalizuj treść zadania Ułóż równania Rozwiąż układ równań Sprawdź poprawność rozwiązania i jego zgodność z treścią zadania Sformułuj odpowiedź

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 12. Gdybyśmy przestawili cyfry tej liczby, to otrzymalibyśmy liczbę o 18 większą. O jakiej liczbie mowa? Analiza zadania: a – cyfra dziesiątek szukanej liczby b – cyfra jedności szukanej liczby 10a + b – szukana liczba 10b + a – liczba otrzymana po przestawieniu cyfr szukanej liczby a + b = 12 – „ Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 12”

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. 10b + a = 10a + b + 18 – „ Gdybyśmy przestawili cyfry tej liczby, to otrzymalibyśmy liczbę o 18 większą” Układ równań i jego rozwiązanie: Niewiadome w drugim równaniu przenosimy na lewą stronę i porządkujemy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. 18b = 126 |: 18 b = 7 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: a = 5, b = 7. Szukana liczba to 57. Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Sprawdzenie rozwiązania z treścią zadania. 5 + 7 = 12 75 – 57 = 18 Odpowiedź: Szukana liczba to 57.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Jacek i Paweł zbierają znaczki. Jacek ma o 30 znaczków więcej niż Paweł. Razem mają 350 znaczków. Ile znaczków ma Paweł? Analiza zadania: J – ilość znaczków Jacka P – ilość znaczków Pawła J = P + 30 – „ Jacek ma o 30 znaczków więcej niż Paweł” J + P = 350 – „ Razem mają 350 znaczków” Układ Równań i jego rozwiązanie:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. P + 30 + P = 350 2P = 350 – 30 2P = 320 |: 2 P = 160 J = 160 + 30 = 190 Sprawdzenie wyniku z treścią zadania: 160 + 190 = 350 190 – 160 = 30 Odpowiedź: Paweł ma 160 znaczków. Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania Ilość znaczków Pawła Ilość znaczków Janka

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 3. Woda królewska powstaje przez zmieszanie kwasu solnego i kwasu azotowego w stosunku 3 : 1. Jest to bardzo silnie żrąca substancja potrafiąca rozpuścić nawet metale szlachetne. Ile kwasu azotowego a ile solnego znajduje się w 20 litrach wody królewskiej? Analiza zadania: s – ilość kwasu solnego w 20 l wody królewskiej a - ilość kwasu azotowego w 20 l wody królewskiej s + a = 20 – po zmieszaniu mamy 20 l wody królewskiej s : a = 3 – stosunek zawartości kwasu solnego do zawartości kwasu azotowego wynosi 3 : 1 (co daje nam liczbę 3)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Układ równań i jego rozwiązanie: 3a + a = 20 4a = 20 | : 4 a = 5 s + 5 = 20 s = 20 – 5 = 15 Układ równań rozwiązujemy metodą podstawiania. Zaczynamy od wyznaczenia s z drugiego równania. Założenie a ≠ 0 wynika z treści zadania.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: s = 15, a = 5. Sprawdzenie wyniku z treścią zadania: 15 + 5 = 20 Odpowiedź: W 20 litrach wody królewskiej jest 15 litrów kwasu solnego i 5 litrów kwasu azotowego.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Pan Jan ulokował na giełdzie 1000 zł, kupując aukcje firm Zysk i Super zysk. Po roku ta inwestycja przyniosła 10% zysku przy czym wartość akcji firmy Zysk wzrosła o 20%, a wartość akcji firmy Super Zysk spadła o 20%. Ile pieniędzy pan Jan ulokował w akcjach firmy Super Zysk? x – wartość akcji firmy Zysk w momencie zakupu 1,2x – wartość akcji firmy Zysk po roku (100% z x + 20% z x to 120% z x, czyli 1,2x) y - wartość akcji firmy Super Zysk w momencie zakupu 0,8y - wartość akcji firmy Super Zysk po roku

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. 1000 + 0,1 ∙ 1000 = 1000 + 100 = 1100 – wartość wszystkich akcji po roku x + y = 1000 – wartość akcji przy zakupie 1,2x + 0,8y = 1100 – wartość akcji po roku Układ równań i jego rozwiązanie: -0,4y = -100 |: (-0,4y) Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. y = 250 x + 250 = 1000 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x = 750, y = 250. Sprawdzenie wyniku z treścią zadania: 750 + 250 = 1000 250 – 0,2 ∙ 250 = 250 – 50 = 200 750 + 0,2 ∙ 750 = 750 + 150 = 900 900 + 200 = 1100 Odpowiedź: Akcje firmy Super Zysk kosztowały 250 zł.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 5. Ile należy wziąć trzydziestoprocentowego roztworu kwasu, a ile sześćdziesięcioprocentowego, aby po zmieszaniu otrzymać 200 g roztworu czterdziestoprocentowego. Analiza zadania: x – ilość (w gramach) roztworu o stężeniu 30% y – ilość (w gramach) roztworu o stężeniu 60% x + y = 200 0,4 ∙ 200 = 80 – ilość substancji rozpuszczonej w roztworze o stężeniu 40%

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 5 – ciąg dalszy. 0,3x – ilość substancji rozpuszczonej w roztworze o stężeniu 30% 0,6y – ilość substancji rozpuszczonej w roztworze o stężeniu 60% 0,3x + 0,6y = 80 Układ równań i jego rozwiązanie: 0,3y = 20 | : 0,3

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 5 – ciąg dalszy. y = ≈ 67 x + = 200 Odpowiedź: Aby otrzymać 200 g roztworu czterdziestoprocentowego, należy zmieszać około 133 g roztworu trzydziestoprocentowego i około 67 g roztworu sześćdziesięcioprocentowego.