Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

CIĄG ARYTMETYCZNY

Zapiszmy kilka różnych ciągów: (b) ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, .…) (c) ( -5, 0, 5, 11, 12, 40, ….) (d) ( 105, 100, 95, 90, 85, ….) O każdym ciągu niewątpliwie powiemy, że jest nieskończony. Zauważmy, że w ciągu (b) każdy następny wyraz wzrasta o 2, czyli różnica ( którą będziemy oznaczać literką r ) pomiędzy kolejnymi wyrazami jest taka sama ( r = 2 ).

( 2, 4, 6, 8, 10, 12, .…) matematycznie zapiszemy: r = a2 – a1 = 4 – 2 = 2 r = a3 – a2 = 6 – 4 = 2 r = a6 – a5 = 12 – 10 = 2 r = const W ciągu (d) pomiędzy kolejnymi liczbami różnica jest taka sama; ciąg jest malejący więc różnica r = -5. ( 105, 100, 95, 90, 85, ….) r = a2 – a1 = 100 – 105 = -5 r = a3 – a2 = 95 – 100 = -5 r = a4 – a3 = 90 – 95 = -5 r = const

go poprzedzającym jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym. DEFINICJA: Ciąg, w którym różnica pomiędzy dowolnym wyrazem, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym. (an ) jest ciągiem arytmetycznym jeżeli: r = an+1 – an = const

Obliczmy kolejne wyrazy powyższego ciągu: a1 = 10 · 1 + 2 = 12 Zadanie.1 Sprawdź czy ciąg an = 10n + 2 jest ciągiem arytmetycznym. Obliczmy kolejne wyrazy powyższego ciągu: a1 = 10 · 1 + 2 = 12 a2 = 10 · 2 + 2 = 22 a3 = 10 · 3 + 2 = 32 a4 = 10 · 4 + 2 = 42 r = a2 – a1 = 22 – 12 = 10 r = a3 – a2 = 32 – 22 = 10 r = 10 r = a4 – a3 = 42 – 32 = 10 r = const Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.

otrzymaliśmy stałą wartość, więc wykorzystując warunek Zadanie.2 Sprawdź wykorzystując definicję, czy ciąg bn = -11n + 4 jest ciągiem arytmetycznym. bn = –11n + 4 bn+1 = –11(n+1) + 4 = – 11n – 11 + 4 = – 11n – 7 wyznaczamy różnicę r: r = bn+1 – bn = = -11n – 7 – [– 11n + 4] = = -11n – 7 + 11n – 4 = – 11 otrzymaliśmy stałą wartość, więc wykorzystując warunek definicji możemy zapisać że ciąg (bn) jest arytmetyczny.

cn+1 = (n+1)2 + 2 = n2 + 2n + 1 + 2 = n2 + 2n + 3 Zadanie.3 Sprawdź wykorzystując definicję, czy ciąg cn = n2 + 2 jest ciągiem arytmetycznym. cn = n2 + 2 cn+1 = (n+1)2 + 2 = n2 + 2n + 1 + 2 = n2 + 2n + 3 wyznaczamy różnicę r: r = cn+1 – cn = = n2 + 2n + 3 – [n2 + 2] = = n2 + 2n + 3 – n2 – 2 = 2n + 1 Otrzymaliśmy wartość, która zależy od n. Wyrażenie to może się zmieniać bo n jest liczbą naturalną. Dlatego ciąg (cn) nie jest arytmetyczny.

Wykorzystując definicję otrzymujemy: r = a2 – a1 = x – 5 Zadanie.4 Pomiędzy liczby 5 i 72 wstaw taką liczbę, aby otrzymany w ten sposób ciąg był arytmetyczny. Liczby, o których mowa ustawmy ciąg: ( 5, x, 72 ) gdzie x jest szukaną liczbą. Wykorzystując definicję otrzymujemy: r = a2 – a1 = x – 5 r = a3 – a2 = 72 – x W ciągu arytmetycznym różnica r musi być stała, więc możemy zapisać równanie: x – 5 = 72 – x x + x = 72 + 5 2x = 77 x = 38,5 Ciąg: ( 5; 38,5; 72 ) jest ciągiem arytmetycznym.

W ciągu arytmetycznym pomiędzy jego wyrazami zachodzą zależności; dzięki temu możemy zapisać wzór na ogólny wyraz ciągu: an = a1 + ( n - 1 ) · r a1 – pierwszy wyraz ciągu n – liczba wyrazów n ∈ N1 r – różnica pomiędzy dowolnym wyrazem, a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym an – dowolny wyraz w ciągu

Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru: an = a1 + ( n – 1 ) · r Zadanie.5 Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego w którym: a1 = 4; r = -5. Oblicz wyrazy a10, a100. Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru: an = a1 + ( n – 1 ) · r an = 4 + ( n – 1 ) · (-5) an = 4 – 5n + 5 an = 9 – 5n - wzór ciągu arytmetycznego a10 = 9 – 5 · 10 = 9 – 50 = - 41 a100 = 9 – 5 · 100 = 9 – 500 = - 491

Zapiszmy wzór na ogólny wyraz ciągu: an = a1 + ( n – 1 ) · r Zadanie.6 Pomiędzy wyrazy 2 i 101 wstaw dwie liczby x i y tak, aby powstały ciąg ( 2, x, y, 101) był ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania: a1 = 2 a4 = 101 Zapiszmy wzór na ogólny wyraz ciągu: an = a1 + ( n – 1 ) · r a4 = a1 + ( 4 – 1 ) · r a4 = a1 + 3r 101 = 2 + 3r 3r = 101 – 2 3r = 99 r = 33 Mając różnicę wypiszemy liczby w ciągu: (2, 35, 68, 101) Szukanymi liczbami są: 35 i 68.

Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru: an = a1 + ( n – 1 ) · r Zadanie.7 Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego w którym: a1 = 4; a5 +a7 = 68. Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru: an = a1 + ( n – 1 ) · r a5 = 4 + ( 5 – 1 ) · r a7 = 4 + ( 7 – 1 ) · r a5 = 4 + 4r a7 = 4 + 6r z treści zadania: a5 + a7 = 68 4 + 4r + 4 + 6r = 68 10r + 8 = 68 10r = 68 – 8 10r = 60 r = 6 an = 4 + ( n – 1 ) · 6 an = 6n - 2 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Z ciągiem arytmetycznym związać można ważne pojęcie sumy początkowych wyrazów ciągu, wyrażonej wzorem: Sn – suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a1 – pierwszy wyraz ciągu an – n-ty wyraz ciągu n – liczba wyrazów ciągu

Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru na sumę: Zadanie.8 Wyznacz sumę 50 – początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego przedstawionego wzorem: an = 4n – 7 Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru na sumę: Suma 50 początkowych wyrazów wynosi 4750.

a1 = 52 – pieniądze odłożone pierwszego tygodnia Zadanie.9 Karol oszczędza na zakup roweru, który kosztuje 638zł. Pierwszego tygodnia odłożył 52zł, drugiego o 20 zł więcej i tak każdego następnego tygodnia. Ile tygodni musi oszczędzać Karol? Jaka jest wielkość pieniędzy zaoszczędzonych w ostatnim tygodniu? Sytuację w zadaniu zapiszmy za pomocą wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, w którym: (52, 72,………….) a1 = 52 – pieniądze odłożone pierwszego tygodnia a2 = 52 + 20 = 72 – pieniądze odłożone w drugim tygodniu r = 20 - różnica Sn = 638

SZUKAMY: n – liczbę tygodni przez które musi oszczędzać Karol an – wielkość oszczędności w ostatnim tygodniu an = 52 + ( n – 1 ) · 20 an = 52 + 20n – 20 = 20n + 32

rozwiązanie ujemne odpada (52, 72, 92, 112, 132, 152,….) Oszczędzając 6 tygodni Karol uskłada 612 złotych. W ostatnim tygodniu musi dołożyć 26zł, aby kupić rower.