Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE

Aby rozwiązać nierówność z niewiadomą x należy wyznaczyć zbiór tych wartości x, dla których nierówność jest spełniona. Kolejne kroki rozwiązywania nierówności kwadratowej: musimy wyznaczyć współczynniki a, b, c dla funkcji kwadratowej, obliczyć deltę (wyróżnik funkcji kwadratowej), w zależności od delty wyznaczyć miejsca zerowe, narysować wykres funkcji kwadratowej – nie musi być dokładny, wystarczą miejsca zerowe i informacja o tym, czy ramiona skierowane są do góry czy na dół, zaznaczyć na osi liczbowej kółeczka zamalowane lub nie w zależności od nierówności, z wykresu odczytać zbiór wartości x, dla których nierówność jest spełniona. Wykonując powyższe kroki rozwiążemy nierówności kwadratowe.

x2+5x+4 > 0 o + + - a=1 b=5 c=4 Δ = b2- 4ac Δ = 52 - 4·1·4 Δ = 25 -16 Δ = 9 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe + + o -4 o -1 - x

-x2-2x+3 > 0 o + - - a=-1 b=-2 c=3 Δ = b2- 4ac Δ = (-2)2 - 4·(-1)·3 Δ = 4+12 Δ = 16 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe + o -3 o 1 - - x

2x2+2x ≥ 0 · · + + - a=2 b=2 c=0 Δ = b2- 4ac Δ = 22 - 4·2·0 Δ = 4 -0 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe · · + + - x -1

-3x2-12x+15 ≤ 0 · · + - - a=-3 b=-12 c=15 Δ = b2- 4ac Δ = (-12)2 - 4·(-3)·15 Δ = 144 + 180 Δ = 324 Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe · · + - - x -5 1

2x2+8x+8 > 0 + + a=2 b=8 c=8 Δ = b2- 4ac Δ = 82 - 4·2·8 Δ = 64 -64 Δ = 0 - wyznaczamy jedno miejsce zerowe + + o -2 x

3x2-18x+27 ≥ 0 · + + a=3 b=-18 c=27 Δ = b2- 4ac Δ = (-18)2 - 4·3·27 Δ = 324 - 324 Δ = 0 - wyznaczamy jedno miejsce zerowe · + + x 3

-4x2+8x-4 > 0 - - a=-4 b=8 c=-4 Δ = b2- 4ac Δ = 82 - 4·(-4)·(-4) Δ = 64 -64 Δ = 0 - wyznaczamy jedno miejsce zerowe o 1 x - -

· -2x2-12x-18 ≤ 0 - - a=-2 b=-12 c=-18 Δ = b2- 4ac Δ = (-12)2 - 4·(-2)·(-18) Δ = 144 - 144 Δ = 0 - wyznaczamy jedno miejsce zerowe · x -3 - -

2x2+x+3 > 0 + + + a=2 b=1 c=3 Δ = b2- 4ac Δ = 12 - 4·2·3 Δ = 1 - 24 Δ = -23 – funkcja kwadratowa nie ma miejsca zerowego + + + x

-x2+2x-6 ≤ 0 - - - a=-1 b=2 c=-6 Δ = b2- 4ac Δ = 22 - 4·(-1)·(-6) Δ = 4 - 24 Δ = -20 – funkcja kwadratowa nie ma miejsca zerowego x - - -

-3x2-x-6 ≥ 0 - - - a=-3 b=-1 c=-6 Δ = b2- 4ac Δ = (-1)2 - 4·(-3)·(-6) Δ = 1 - 72 Δ = -71 – funkcja kwadratowa nie ma miejsca zerowego x - - -

2x2+8 < 0 + + + a=2 b=0 c=8 Δ = b2- 4ac Δ = 02 - 4·2·8 Δ = 0 - 64 Δ = -64 – funkcja kwadratowa nie ma miejsca zerowego + + + x

-(x+1)2+2(x-3)2 < 17 -(x2+2x+1)+2(x2-6x+9) < 17 a=1 b=-14 c=0 Δ = b2- 4ac Δ = (-14)2 – 4·1·0 Δ = 196-0 Δ = 196 – wyznaczamy dwa miejsca zerowe

+ + o o 14 - x

(x+2)2-2(x+3)2 < -14 o o + - - x2+4x+4-2(x2+6x+9) < -14 -8 o - - x

- - - a=-10 b=5 c=-1 Δ = b2- 4ac Δ = 52 – 4·(-10)·(-1) Δ = 25-40 x - - - a=-10 b=5 c=-1 Δ = b2- 4ac Δ = 52 – 4·(-10)·(-1) Δ = 25-40 Δ = -15

· · + - - a=-8 b=5 c=2 Δ = b2- 4ac Δ = 52 – 4·(-8)·2 Δ = 25+64 Δ = 89 – wyznaczamy dwa miejsca zerowe · · + - - x x2 x1