Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

UKŁADY RÓWNAŃ WYŻSZYCH STOPNI UKŁADY NIERÓWNOŚCI

Ćw.1: Rozwiąż algebraicznie układy równań:  

b) Jedno równanie w układzie jest kwadratowe, dlatego obliczamy dla niego deltę i rozwiązania. Wyróżnik delta jest ujemny, równanie kwadratowe wtedy nie ma rozwiązania. Dlatego nie ma rozwiązania układ równań.

c)  

d) Pierwsze równanie w układzie jest kwadratowe, dlatego obliczamy dla niego deltę i rozwiązania. Wracamy do układu równań i otrzymujemy dwa rozwiązania: 

e) 

f) 

g) 

Ćw.2: Rozwiąż graficznie i algebraicznie układy równań:  

Aby graficznie rozwiązać układ równań należy naszkicować wykresy funkcji zapisanych w układzie równań: A • • Wykresem pierwszego równania jest prosta y=-4x. x -1 1 2 y 4 -4 -8 B Wykresem drugiego równania jest hiperbola. Prosta i hiperbola przecinają się w dwóch punktach A i B. Współrzędne tych punktów spełniają warunki zapisane w układzie. x -3 -2 -1 - 1 2 3 4 y

b)    

• • • Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie równań: C B A x Wykresem pierwszego równania jest prosta y=x. • A x -2 -1 1 y Prosta i hiperbola przecinają się w trzech punktach A, B i C. Współrzędne tych punktów spełniają warunki zapisane w układzie. Wykresem drugiego równania jest hiperbola o równaniu y=x3. x -3 -2 -1 1 2 3 y -27 -8 8 27

c)  

• • Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie równań: B S -2 A Wykresem pierwszego równania jest okrąg o środku S(0,0) i promieniu długości 2. A Prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach A i B. Współrzędne tych punktów spełniają warunki zapisane w układzie. Wykresem drugiego równania jest prosta o równaniu y=x-2.

d) Wracamy do układu równań i otrzymujemy dwa rozwiązania: 

• • Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie równań: A .S B x Wykresem pierwszego równania jest okrąg, wyznaczymy współrzędne środka i długość jego promienia. .S • B Prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach A i B. Współrzędne tych punktów spełniają warunki zapisane w układzie. S=(-1,-3) r=4 Wykresem drugiego równania jest prosta o równaniu y=-x. x -2 -1 1 y 2

e)

• Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie równań: A Wykresami warunków są parabole. Parabole przecinają się w punkcie A. Współrzędne punktu spełniają warunki zapisane w układzie.

a) Ćw.3: Rozwiąż graficznie układy nierówności: .S .O Szkicujemy wykresy warunków zapisanych w układzie. Rysujemy okrąg o środku w punkcie S(1,1) i promieniu długości 1 i zaznaczamy wnętrze okręgu (warunek pierwszy). Rysujemy okrąg o środku w punkcie O(2,1) i promieniu długości 3 – zaznaczamy wnętrze okręgu (warunek drugi) Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana część wspólna obszarów. Współrzędne punktów należących do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.

b) Szkicujemy wykresy warunków zapisanych w układzie. Rysujemy parabolę skierowaną ramionami do góry, argumenty -2 i 2 są miejscami zerowymi, a punkt W(0,-4) wierzchołkiem paraboli; zakreślamy obszar między ramionami. (warunek pierwszy). Rysujemy prostą o równaniu y=2x+1 i zaznaczamy odpowiednią półpłaszczyznę. (warunek drugi) .W Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana część wspólna obszarów: półpłaszczyzny i obszaru między ramionami paraboli. Współrzędne punktów należących do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.

c) S Szkicujemy wykresy warunków zapisanych w układzie. Rysujemy okrąg o środku w punkcie S(0,0) i promieniu długości 2 i zaznaczamy wnętrze okręgu (warunek pierwszy). Rysujemy prostą o równaniu y=1 i zaznaczamy odpowiednią półpłaszczyznę. (warunek drugi) Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana część wspólna obszarów. Współrzędne punktów należących do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.

d) Szkicujemy wykresy warunków zapisanych w układzie. Rysujemy prostą o równaniu x=2 i zaznaczamy odpowiednią półpłaszczyznę. (warunek pierwszy) Rysujemy parabolę skierowaną ramionami do góry, argument 1 jest miejscem zerowym, a punkt W(1,0) wierzchołkiem paraboli, zakreślamy obszar między ramionami. (warunek drugi). W Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana część wspólna obszarów. Współrzędne punktów należących do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.