Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

Wzory Viète’a

Jeżeli w równaniu kwadratowym wyróżnik delta jest większy od zera (>0) to równanie ma dwa pierwiastki x1 oraz x2, których można wyznaczyć sumę i iloczyn.

Jeżeli w równaniu kwadratowym wyróżnik delta jest równy zero (=0) to równanie ma jeden pierwiastek x0, wtedy możemy wyznaczyć sumę i iloczyn.

Wzory Viète’a Równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki x1 oraz x2 albo jeden pierwiastek x0 – wtedy prawdziwe są następujące wzory:

TABELA ZNAKÓW PIERWIASTKÓW, ICH SUMY I ILOCZYNU iloczyn suma pierwiastków pierwiastków pierwiastki są jednakowych znaków pierwiastki są różnych Z tabelki wnioskujemy, że jeżeli: - iloczyn jest dodatni to pierwiastki są jednakowych znaków (obydwa dodatnie albo obydwa ujemne) - iloczyn jest ujemny to pierwiastki są różnych znaków (jeden dodatni drugi ujemny) - iloczyn dodatni i suma dodatnia to pierwiastki są dodatnie - iloczyn dodatni i suma ujemna to pierwiastki są ujemne x1 x2 x1 x2 x1+x2 + - + -

ZASTOSOWANIE WZORÓW: I. Obliczanie sumy i iloczynu pierwiastków bez obliczania samych pierwiastków 4x2+10x+2=0 b) -x2+x+6=0 =b2-4ac =b2-4ac =100-32=68 =1+24=25

c) 2x2+10x+6=0 d) -x2+7x+8=0 =b2-4ac =b2-4ac =100-48=52 =49+32=81

II. Określanie znaków miejsc zerowych równania kwadratowego bez ich obliczania -2x2+3x+1=0 b) x2+6x+5=0 =b2-4ac =b2-4ac =9+8=17 =36-20=16 Iloczyn ujemny, więc pierwiastki są różnych znaków. Iloczyn pierwiastków dodatni, a suma ujemna, więc pierwiastki są ujemne.

c) 3x2+6x-12=0 d) x2-6x+1=0 =b2-4ac =b2-4ac =36+144=180 =36-4=32 =36+144=180 =36-4=32 Iloczyn i suma pierwiastków są ujemne, więc pierwiastki są różnych znaków. Iloczyn pierwiastków dodatni i suma dodatnia, więc pierwiastki są dodatnie.

e) x2-25=0 f) x2+5x+4=0 =b2-4ac =b2-4ac =100 =25-16=9 =100 =25-16=9 Iloczyn pierwiastków jest ujemny, więc pierwiastki są różnych znaków. Iloczyn pierwiastków dodatni, suma ujemna, więc pierwiastki są ujemne.

III. Wykorzystanie wzorów do obliczania wartości wyrażeń np.: x2+5x+4=0 =b2-4ac =25-16=9 a) wykorzystujemy wzory skróconego mnożenia, odpowiednio je przekształcamy: c)

d) e)

np.: 2x2-6x+1=0 a=2 b=-6 c=1 =b2-4ac =36-8=28 a) b) c) d)

IV. Wykorzystanie wzorów do rozwiązywania zadań dotyczących funkcji kwadratowych z parametrem np.: Dla jakiej wartości parametru m funkcja kwadratowa f(x)=x2+6x+(m+5) ma dwa miejsca zerowe różnych znaków? a=1 b=6 c=m+5 =b2-4ac =36-4(m+5)=36-4m-20=16-4m Aby funkcja kwadratowa miała dwa miejsca zerowe różnych znaków muszą być spełnione warunki: (które trzeba rozwiązać) 1) >0 2) x1·x2<0 Ad 1) >0 ⇔ 16-4m>0 -4m>-16 m<4 mϵ(-∞,4)

Ad 2) x1·x2<0 m+5<0 m<-5 mϵ(-∞,-5) Biorąc pod uwagę jeden i drugi warunek wyznaczamy część wspólną: Odp.: Częścią wspólną warunków jest zbiór (-∞,-5). Dla parametru mϵ (-∞,-5) funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe różnych znaków. m ϵ (-∞,4) ∧ m ϵ (-∞,-5) ⇒ m ϵ (-∞,-5)