Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

TWIERDZENIE BÉZOUTA 2

TWIERDZENIE BÉZOUTA Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy gdy W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian x-p. Jeżeli r jest resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-p to reszta jest równa W(p).

Ćw.1. Sprawdź, czy wielomian W(x)=2x3-3x2+3x-1 jest podzielny przez dwumian (x-1). Rozwiązanie: Nie musimy wykonywać dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-1) – wystarczy, że sprawdzimy czy liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x). W(1)=2∙13-3∙12+3∙1-1=2-3+3-1=1 W(1)≠0 Liczba 1 nie jest pierwiastkiem wielomianu W. Z twierdzenia Bézouta widzimy, że W(x) nie będzie podzielny przez dwumian (x-1).

Ćw.2. Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumian (x-2) daje resztę 5, a przy dzieleniu przez (x-3) daje resztę 17. Oblicz resztę z dzielenia W(x) przez trójmian (x-2)(x-3). Rozwiązanie: Jeżeli wielomian W(x) jest podzielny przez (x-2) i daje resztę 5 to W(2)=5. Ten sam wielomian jest podzielny przez (x-3) i daje resztę 17, wtedy możemy zapisać W(3)=17 Dzieląc wielomian W(x) przez trójmian (x-2)(x-3) otrzymujemy resztę, która jest wielomianem co najwyżej stopnia pierwszego. Możemy to zapisać: W(x)=(x-2)(x-3)∙Q(x)+R(x) R(x)=ax+b - reszta

R(x)=ax+b W(2)=5 to R(2)=5 a∙2+b=5 W(3)=17 to R(3)=17 a∙3+b=17 R(x)=12x-19

Ćw.3. Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian P(x). a) W(x)=x3-2x2+1 P(x)=x-2 R(2)=W(2)=23-2∙22+1=8-8+1=1 b) W(x)=x5-2x+4 P(x)=x-1 R(1)=W(1)=15-2∙1+4=1-2+4=3 c) W(x)=x2-2 P(x)=x-4 R(4)=W(4)=42-2=16-2=14

Ćw.4. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x)=x3003-1 przez dwumian Q(x)=x2-1. Wielomian Q(x) można zapisać: Q(x)=(x-1)(x+1) W(1)=13003-1=0 W(-1)=(-1)3003-1=-2 Wielomian W(x) zapiszemy w postaci: W(x)=(x2-1)∙P(x)+R(x) x3003-1=(x2-1)∙P(x)+R(x) Reszta R(x) to wielomian stopnia zerowego lub stopnia pierwszego. R(x)=ax+b R(1)=a+b R(-1)=-a+b R(1)=W(1)=0 R(-1)=W(-1)=-2

a+b=0 -a+b=-2 R(x)=x-1 – reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q

Ćw.5. Wyznacz niewiadome a i b wiedząc, że wielomian W(x)=x3+ax2-4x+b jest podzielny przez dwumiany: (x+3) oraz (x-2). Oblicz trzeci pierwiastek wielomianu W(x). Wielomian W(x) jest podzielny przez (x+3) dlatego W(-3)=0; jest podzielny przez (x-2) dlatego W(2)=0. Zapiszemy odpowiednie warunki: W(-3)=(-3)3+a∙(-3)2-4∙(-3)+b 0=-27+9a+12+b 15=9a+b W(2)=23+a∙22-4∙2+b 0=8+4a-8+b 0=4a+b

W(x)=x3+3x2-4x-12

∙ Wielomian W(x) jest podzielny przez (x+3). Wykorzystując schemat Hornera wyznaczymy wielomian będący wynikiem dzielenia wielomianu W przez dwumian (x+3). W(x)=x3+3x2-4x-12 P=x2-4 W(x)=(x+3)∙(x2-4) W(x)=(x+3)∙(x-2)∙(x+2) Pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby: -3, -2, 2. Trzecim szukanym pierwiastkiem jest liczba -2. + 1 3 -4 -12 -3 ∙

Ćw.6. Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x)=x3-4m∙x2-11x+6 jest podzielny przez dwumian (x+1). Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W dla obliczonych wartości parametru m. Wielomian W(x) jest podzielny przez (x+1) dlatego W(-1)=0. W(-1)= (-1)3-4m∙(-1)2-11∙(-1)+6 0=-1-4m+11+6 0=-4m+16 4m=16 4m=42 m=2 W(x)= x3-16x2-11x+6

Pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby: -1, , W(x)= x3-16x2-11x+6 W(x):(x+1)=x2-17x+6 x2-17x+6=0 ∆=b2-4ac ∆=(-17)2-4∙1∙6 ∆=289-24 ∆=265 Pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby: -1, , 1 -16 -11 6 -1 -17

Ćw.7. Dla jakich wartości parametru m i n wielomian W(x)=3x3+mx2+nx-4 jest podzielny przez wielomian P(x)=x2-1. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x). P(x)=x2-1 P(x)=(x-1)(x+1) W(1)=3∙13+m∙12+n∙1-4=3+m+n-4=m+n-1 W(1)=0  m+n-1=0  m+n=1 W(-1)=3∙(-1)3+m∙(-1)2+n∙(-1)-4=-3+m-n-4=m-n-7 W(-1)=0  m-n-7=0  m-n=7

W(x)=3x3+4x2-3x-4 W(x)=x2∙(3x+4)-(3x+4) W(x)=(x2-1)(3x+4) W(x)=(x-1)(x+1)(3x+4) Pierwiastkami wielomianu są liczby: 1; -1; -0,75.

Ćw.8. Dla jakich wartości parametru a i b wielomian reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x3+2x2+ax+b przez wielomian P(x)=x2+x-2 jest równa 4x-3. P(x)=x2+x-2

P(x)=(x+2)(x-1) R(x)=4x-3 R(-2)=4∙(-2)-3=-8-3=-11 R(1)=4∙1-3=4-3=1 W(-2)=(-2)3+2∙(-2)2+a∙(-2)+b=-8+8-2a+b=-2a+b W(-2)=R(-2)=-11  -2a+b=-11 W(1)=13+2∙12+a∙1+b=1+2+a+b=3+a+b W(1)=R(1)=1  3+a+b=1

+ W(x)=x3+2x2+3x-5

Ćw.9. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez iloczyn (x-1)(x+2) wiedząc że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x-1) wynosi 1; przez dwumian (x+2) równa się 3. R(1)=1 R(-2)=3 R(x)=ax+b R(1)=a+b R(-2)=-2a+b R(1)=1  a+b=1 R(-2)=3  -2a+b=3

+