Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE

Ćw.1.Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji: - funkcji liniowej, - funkcji kwadratowej, - wielomianu. Wykresy odpowiednich funkcji będą nam potrzebne do rozwiązania różnych nierówności wielomianowych – do odczytania zbioru rozwiązań. y x

• • Ćw.2.Rozwiąż nierówności: 1) x2+10x+9 ≥ 0 a=1 b=10 c=9 =100-36=64 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST PARABOLA SKIEROWANA RAMIONAMI DO GÓRY PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA MIEJSCA ZEROWE. • • -9 -1 x

• • 2) -x2+7x ≤ 0 x(-x+7) ≤ 0 x1=0 x2=7 3) -x2+7x ≥ 0 7 x WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST PARABOLA SKIEROWANA RAMIONAMI W DÓŁ PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA MIEJSCA ZEROWE. • • 7 x

4) (x-3)(x+2)(x-5) < 0 x-3=0 ∨ x+2=0 ∨ x-5=0 x=3 ∨ x=-2 ∨ x=5 o o o Po wyznaczeniu miejsc zerowych szkicujemy wykres funkcji – zaczynamy rysować od prawej strony, od góry bo przy najwyższej potędze jest liczba dodatnia. Wykres przechodzi przez miejsca zerowe, z niego odczytujemy wartości ujemne, co daje rozwiązanie: WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE. + + o o o - -2 3 - 5 x

5) -x(x+5)(x+7) > 0 -x=0 ∨ x+5=0 ∨ x+7=0 x=0 ∨ x=-5 ∨ x=-7 o o o Po wyznaczeniu miejsc zerowych szkicujemy wykres funkcji – zaczynamy rysować od prawej strony, od dołu bo przy najwyższej potędze jest liczba ujemna. Wykres przechodzi przez miejsca zerowe, z niego odczytujemy wartości dodatnie, co daje rozwiązanie: WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE. + + o o o -7 - -5 - x

• • • 6) -(x2+x)(2x+2)(x-3) ≤ 0 x2+x=0 ∨ 2x+2=0 ∨ x-3=0 Szkicujemy wykres funkcji – zaczynamy rysować od prawej strony, od dołu bo przy najwyższej potędze jest liczba ujemna. Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem - wykres odbijamy. WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA JEDNOKROTNE I JEDNO DWUKROTNE MIEJSCE ZEROWE. • • • + -1 3 x - - -

7) -4(x2-1)(x2+5x+4) > 0 x2-1=0 ∨ x2+5x+4=0 x2=1 a=1 b=5 c=4 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA JEDNOKROTNE I JEDNO DWUKROTNE MIEJSCE ZEROWE. + + o o o -4 -1 1 x - -

8) x3+10x2+9x < 0 x(x2+10x+9) < 0 x=0 ∨ x2+10x+9=0 a=1 b=10 c=9 =100-36=64 x=0 ∨ x=-9 ∨ x=-1 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE. + + o o o - -9 -1 - x

9) -x3+3x2+x-3 < 0 (-x3+3x2)+(x-3) < 0 -x2(x-3)+1(x-3) < 0 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE. + + o o o -1 - 1 3 - x

• • • • 10) x(x3-4x2-4x+16) ≥ 0 x[(x3-4x2)+(-4x+16)] ≥ 0 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ CZTERY JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE. • • • • + + + -2 - 2 - 4 x

11) (x2-4x)(x+2)(x-7)(x2-16) < 0 x(x-4)=0 ∨ x+2=0 ∨ x-7=0 ∨ x2=16 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ CZTERY JEDNOKROTNE I JEDNO DWUKROTNE MIEJSCE ZEROWE. + + + o o o o o -4 - -2 - 4 - 7 x

• • • • 12) x(x2+6x)(x-6)(x+6)(x-3) ≤ 0 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA JEDNOKROTNE I DWA DWUKROTNE MIEJSCA ZEROWE. + + + • + • • • -6 3 6 x -

• • • 13) (2-x)2(-1-x)(x-4)3 ≤ 0 (2-x)(2-x)(-1-x)(x-4)(x-4)(x-4) ≤ 0 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ JEDNO JEDNOKROTNE, JEDNO DWUKROTNE I JEDN0 TRZYKROTNE MIEJSCE ZEROWE. LICZBA 4 JEST TRZYKROTNYM PIERWIASTKIEM – WYKRES PRZECHODZI Z JEDNEJ STRONY OSI X NA DRUGĄ. + + • • • -1 2 4 x - -

• • • • 14) x(x2-4)2(x-5) ≥ 0 x(x2-4)(x2-4)(x-5) ≥ 0 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA JEDNOKROTNE I DWA DWUKROTNE MIEJSCA ZEROWE. • • • • + + + -2 - 2 - 5 x

15) x(x2+4)(x2+1) > 0 x=0 ∨ x2+4=0 ∨ x2+1=0 x=0 ∨ x2=-4 ∨ x2=-1 WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ JEDNO JEDNOKROTNE MIEJSCE ZEROWE. + o - x

Ćw.3.Na podstawie wykresu rozwiąż nierówności: 1) y=f(x) -1 1 2 x

2) y=f(x) -1 1 x

3) y=f(x) 1 2 3 x

4) y=f(x) 3 x