Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

CIĄGI sposoby określania ciągów (,,,,, ) ( x, b, y, d, c, z ) (,,,,,, )

Ciągi można opisać na różne sposoby: 1)opisać słownie 2)podać kolejne wyrazy ciągu 3)przedstawić w tabeli 4)naszkicować wykres 5)podać wzór ogólny ciągu 6)określić rekurencyjnie (-3,-2,-1,0,1,2,3) a n = 7n - 9 a 1 = 3 a n+1 = 4a n - 2 n1234 anan 042

Przedstawmy dowolny ciąg liczbowy na różne sposoby. Najpierw ciąg opiszmy słownie: KAŻDEJ LICZBIE NATURALNEJ PRZYPORZĄDKUJMY LICZBĘ O 4 MNIEJSZĄ (bierzemy pod uwagę liczby naturalne określające miejsca w ciągu, zaczynając od liczby 1) MIEJSCA W CIĄGU LICZBY, KTÓRE KOLEJNO WYPISZEMY W CIĄGU 12345…12345… …… liczbie 1 przyporządkujemy liczbę o 4 mniejszą czyli liczbę -3 liczbie 4 przyporządkujemy liczbę o 4 mniejszą czyli liczbę 0 liczbie 2 przyporządkujemy liczbę o 4 mniejszą czyli liczbę -2

( -3, -2, -1, 0, 1, …. ) - ciąg nieskończony, w którym: a 1 = -3 a 2 = -2 a 3 = -1 a 4 = 0 a 5 = 1 Wypiszmy teraz kolejne wyrazy ciągu: Narysujmy tabelkę dla tego ciągu – tabelka podobna do tabelki dla funkcji liniowej, tylko miejsce x zajmuje n (dziedzina); miejsce y zajmuje a n (zbiór wartości). n12345…n anan …n-4 Przypomnijmy: n - miejsce w ciągu a n – n-ty wyraz ciągu tutaj powstaje wzór ciągu: a n = n - 4 dowolnej liczbie n przyporządkujemy liczbę o 4 mniejszą czyli n - 4

Mając tabelkę rysujemy wykres funkcji. Potrzebny będzie układ współrzędnych: oś pozioma (odciętych) będzie oznaczona literką n; oś pionowa (rzędnych) oznaczona a n. Poza tym jednostki się nie zmienią. Z tabelki: odczytujemy współrzędne punktów są to: (1,-3) (2,-2) (3,-1) (4, 0) (5, 1) …… n12345…n anan …n-4 a n n ·

Wykresem ciągu zawsze są punkty!! Nawet jeśli punkty tworzą prostą, to punkty nie można połączyć, ponieważ dziedziną ciągu są liczby naturalne. Ciągi mogą być zapisane w postaci rekurencyjnej – aby wyznaczyć dowolny wyraz ciągu za pomocą podanego wzoru, trzeba obliczyć wyrazy poprzednie; np.: Wypiszmy wyrazy ciągu zapisanego powyższym wzorem. Pierwszy wyraz jest już podany, kolejne wyrazy obliczymy wykorzystując drugi wzór w układzie. Tak obliczane wyrazy tworzą ciąg: (4, 7, 13, 25, ……..) itd……

ĆWICZENIA Ćwiczenie 1. Mając podane trzy wzory ciągów wypisz cztery początkowe ich wyrazy.

Ćwiczenie 2. Każdej liczbie całkowitej, której wartość bezwzględna jest mniejsza od 4 przyporządkuj jej kwadrat zmniejszony o 3 Otrzymane w ten sposób liczby ustaw w ciąg i przedstaw go na różne sposoby. Bierzemy pod uwagę liczby: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ponieważ są to liczby całkowite i wartość bezwzględna z każdej liczby jest mniejsza od 4. Liczbie -3 przyporządkujemy liczbę 6 (bo kwadrat tej liczby zmniejszony o 3 wynosi: (-3) 2 - 3=6); liczbie -2 przyporządkujemy liczbę 1; liczbie -1 liczbę -2; itd… Otrzymane liczby ustawmy w ciąg: (6, 1, -2, -3, -2, 1, 6) Narysujmy tabelkę: Zapiszmy wzór tego ciągu: a n = n 2 -3 n anan

Ćwiczenie 3. Wypisz cztery kolejne wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie: a 1 =10 a 2 =½ a = ½ · = 9 a 3 = ½ a = 8,5 a 4 = ½ a = 8,25 (10; 9; 8,5; 8,25; …)

Ćwiczenie 4. Dla ciągu: a n = n 3 - 4n oblicz wyrazy: a 2 ; a 4 ; a 10. a 2 = 2 3 – 4 · = -7 a 4 = 4 3 – 4 · = 1 a 10 = 10 3 – 4 · = 601 Ćwiczenie 5. Czy w ciągu: a n = 4n – 2 istnieje wyraz równy 4 ? Musimy zapisać równanie : a n = 4 4n – 2 = 4 4n = n = 6 /:4 n = 1,5 Otrzymana liczba nie jest liczbą naturalną, więc nie może być miejscem ciągu. Zatem w ciągu a n = 4n – 2 wyraz równy 4 nie istnieje.