Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

Galileo Galilei (Galileusz) „Wszechświata nie da się poznać dopóki nie nauczymy się języka i nie poznamy znaków, za pomocą których został napisany. Został on napisany językiem matematyki a literami są trójkąty, okręgi i inne figury geometryczne, co oznacza, że po ludzku nie można zrozumieć ani jednego słowa. ” Galileo Galilei (Galileusz)

POLA FIGUR PODOBNYCH. Między figurami podobnymi istnieje zawszę silny związek. Dotyczy on nie tylko długości odpowiednich odcinków w tych figurach ale także pól tych figur.

POLA FIGUR PODOBNYCH. Przyjrzyj się poniższym prostokątom. W każdym z nich większy prostokąt jest podobny do prostokąta zamalowanego a pod rysunkiem podana jest skala podobieństwa. Co zauważasz? k = 2 k = 3 k = 4

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. POLA FIGUR PODOBNYCH. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. P – pole figury F P’ – pole figury F’ podobnej do F k – skala podobieństwa figury F’ do figury F

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Trójkąt DEF jest podobny trójkąta ABC w skali k = 2, a więc stosunek pola trójkąta DEF do pola trójkąta ABC jest równy k2 czyli 4.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Trapez II jest podobny do trapezu I w skali k = 0,5, a więc stosunek pola trapezu II do pola trapezu I jest równy 0,25.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Prostokąt F2 jest podobny do prostokąta F1 w skali k. Stosunek pól tych prostokątów wynosi k2.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Trójkąt F2 jest podobny do trójkąta F1 w skali k. Stosunek pól tych trójkątów wynosi k2.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 5. Koło F2 jest podobne do koła F1 w skali k. Stosunek pól tych kół wynosi k2.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Romb A’B’C’D’ jest podobny do rombu ABCD w skali k = 3. Pole rombu ABCD jest równe 13 cm2. Jakie jest pole rombu A’B’C’D’? Pole rombu A’B’C’D’ możemy obliczyć mnożąc pole rombu ABCD przez kwadrat skali podobieństwa: PA’B’C’D’ = 32 ∙ 13 cm2 = 9 ∙ 13 cm2 = 117 cm2. Odpowiedź: Pole rombu A’B’C’D’ jest równe 117 cm2.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Figury F i F’ są podobne. Pole figury F jest równe 20 cm2. Jakie jest pole figury F’ jeśli figura F jest podobna figury F’ w skali k = 0,4? Skoro figura F jest podobna do figury F’ w skali k = 0,4, to figura F’ jest podobna do figury F w skali odwrotnej do k, czyli s = 2,5. Aby obliczyć pole figury F’ mnożymy pole figury F przez s2: PF’ = 20 ∙ 2,52 = 20 ∙ 6,25 = 125 (cm2). Odpowiedź: Pole figury F’ wynosi 125 cm2.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Dwie figury o polach 95 cm2 i 3,8 cm2 są do siebie podobne. Jaka jest skala podobieństwa większej z tych figur do mniejszej? Aby obliczyć kwadrat skali podobieństwa dzielimy pole większej figury przez pole mniejszej. Po wyciągnięciu pierwiastka otrzymamy skalę podobieństwa. Odpowiedź: Skala podobieństwa większej figury do mniejszej jest równa 5.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Jakie długości mają przekątne rąbu o polu 320 mm2, który jest podobny do rombu przekątnych długości 5 mm i 8 mm? Aby znaleźć długości przekątnych tego rombu musimy znaleźć skalę podobieństwa tych rąbów. Obliczamy pole drugiego rąbu, a następnie postępujemy jak w zadaniu 3:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. Obliczamy długości przekątnych: d1 = 4 ∙ 5 mm = 20 mm d2 = 4 ∙ 8 mm = 32 mm Odpowiedź: Przekątne tego rąb mają długość 20 mm i 32 mm.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 5. Ściany pokoju są prostokątami podobnymi w skali k = 2. Na pomalowanie większej ściany zużyto 22 litry farby. Ile litrów farby należy kupić aby pomalować mniejszą ścianę? Farba pokrywa całą ścianę a więc rozpatrujemy tutaj pola figur podobnych. Aby obliczyć ile farby potrzeba na pomalowanie mniejszej ściany, wystarczy podzielić ilość farby zżytej na większą ścianę przez kwadrat skali podobieństwa. 22 l : 4 = 5,5 l Odpowiedź: Na pomalowanie mniejszej ściany potrzeba 5,5 litra farby.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 6. Skala podobieństwa dwóch kół wynosi 5. Oblicz długość promienia każdego z tych kół, jeżeli różnica ich pól jest równa 384π cm2. Korzystając z faktu, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa możemy ułożyć układ równań. Oznaczmy: P1 – pole większego koła r1 – promień większego koła P2 – pole mniejszego koła r2 – promień mniejszego koła

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 6 – ciąg dalszy. 25P2 – P2 = 384π Rozwiązujemy układ metodą podstawiania.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 6 – ciąg dalszy. Mamy zatem: Promienie możemy teraz wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru na pole koła.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 6 – ciąg dalszy. Odpowiedź: Promień większego koła jest równy 20 cm, a promień mniejszego koła jest równy 4cm.