Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Dlaczego liczby są piękne „Dlaczego liczby są piękne? To jak pytać, dlaczego dziewiąta symfonia Beethovena jest piękna. Jeżeli nie rozumiesz dlaczego, nikt ci ni może powiedzieć. Ja wiem, że liczby są piękne. Jeśli one nie są, nic nie jest.” Pal Erdos

WIELKOŚCI ODWROTNIE PROPORCJONALNE. Nie wszystkie wielkości spotykane w codziennym życiu są wprost proporcjonalne, istnieje także proporcjonalność odwrotna. Jeśli nauczysz się odróżniać oba rodzaje proporcjonalności rozwiązywanie większości problemów z nimi związanych będzie bardzo proste.

WIELKOŚCI ODWROTNIE PROPORCJONALNE. O dwóch wielkościach mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne, jeśli wraz ze wzrostem jednej, druga maleje tyle samo razy. PRZYKŁADY. Cena benzyny i ilość benzyny, którą można kupić za 30 zł – im wyższa cena, tym proporcjonalnie mniej benzyny. Ilość kolegów i liczba chipsów przypadająca na osobę – im więcej osób tym każda z nich otrzyma proporcjonalnie mniej chipsów.

PRZYKŁADY WIELKOŚCI ODWROTNIE PROPORCJONALNYCH. Średnia prędkość skutera i czas potrzebny na przejechanie danego odcinka drogi – im większa prędkość tym mniej czasu potrzeba na przejechanie określonej trasy. Liczba osób na przyjęciu i wielkość kawałka tortu przypadającego na osobę – im więcej osób, tym proporcjonalnie mniejszy kawałek tortu otrzyma każda z nich. Grubość książki i ilość jednakowych książek na półce – im grubsza książka, tym mniej takich zmieści się na półce.

PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA. Zależność między dwiema wielkościami, których iloczyn jest stały nazywamy proporcjonalnością odwrotną. xy = a gdzie a ≠ 0. O wielkościach x i y mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. UWAGA. Z powyższej definicji wynika, że zależność między wielkościami wprost proporcjonalnymi możemy zapisać przy pomocy wzoru

WYKRES PROPORCJONALNOŚCI ODWROTNEJ. Wykres proporcjonalności odwrotnej to jedno z ramion hiperboli, dla a = 1 wygląda on następująco:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Sprawdź, czy wielkości podane w tabelce są odwrotnie proporcjonalne. Aby podane wielkości były odwrotnie proporcjonalne, ich iloczyn musi być stały, liczymy więc x · y 0,3 · 4 = 1,2 1 · 1,2 = 1,2 3 · 0,4 = 1,2 2 · 0,6 = 1,2 x 0,3 1 3 2 0,2 y 4 1,2 0,4 0,6 6

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. 0,2 · 6 = 1,2 Iloczyn jest stały więc podane wielkości są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik proporcjonalności dla podanych wielkości to a = 1,2 a wzór wygląda następująco: UWAGA. Gdybyśmy w chociaż jednym mnożeniu otrzymali inną liczbę, podane wielkości nie byłyby odwrotnie proporcjonalne.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Uzupełnij tabelkę tak, aby podane wielkości były odwrotnie proporcjonalne. Należy wstawić takie liczby, aby iloczyn był stały. Obliczamy x · y z kolumny, w której mamy podane obie wartości 0,1 · 36 = 3,6 Pozostałe komórki musimy uzupełnić tak, aby x · y = 3,6 x 3,6 0,1 144 y 0,6 36

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. 3,6 · y = 3,6 y = 1 x · 0,6 = 3,6 / : 0,6 x = 6 144 · y = 3,6 /: 144 y = 0,025 x 3,6 0,1 144 y 0,6 36 x 3,6 6 0,1 144 y 1 0,6 36 0,025 Uzupełniona tabela:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Robotnicy stawiali mur. Po wykonaniu pracy każdy z nich otrzymał 12 dukatów zapłaty. Gdyby robotników było o 4 mniej, to każdy z nich otrzymałby 3 razy większą zapłatę. Ilu robotników stawiało mur? Wielkości występujące w tym zadaniu są odwrotnie proporcjonalne, nie możemy więc skorzystać z proporcji do jego rozwiązania. Korzystamy z własności wielkości odwrotnie proporcjonalnych (ich iloczyn jest stały). Oznaczmy: x – ilość robotników

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. x – 4 – ilość robotników zmniejszona o 4 3 · 12 = 36 – zapłata, którą otrzymaliby robotnicy, gdyby było ich o 4 mniej 12x = 36(x – 4) – równanie wynikające z własności wielkości odwrotnie proporcjonalnych 12x = 36x – 144 144 = 36x – 12x 144 = 24x / ; 24 6 = x Mur stawiało sześciu robotników.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Koło zębate o 120 zębach napędza koło zębate o 48 zębach. Ile razy obróciło się małe koło, gdy duże w tym czasie obróciło się 40 razy? Im mniejsze koło tym proporcjonalnie więcej obrotów mamy więc do czynienia z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Oznaczmy: x – ilość obrotów małego kola Musimy rozwiązać równanie wynikające z własności wielkości odwrotnie proporcjonalnych.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. 120 · 40 = 48 · x – iloczyn ilości zębów i obrotów jest stały 4800 = 48x / : 48 100 = x Małe koło obróciło się 100 razy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 5. Kierowca pokonał pewną trasę jadąc ze średnią szybkością 90 km/h. O ile kilometrów na godzinę powinien zwiększyć szybkość, aby pokonać tę samą trasę w czasie o 25% krótszym? Oznaczmy: t – czas potrzebny na pokonanie trasy 0,75t – czas o 25% krótszy (100% - 25% = 75%) x – nowa szybkość Układamy i rozwiązujemy równanie zgodne z własnościami wielkości odwrotnie proporcjonalnych.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 5. 90t = 0,75t · x Zauważmy, że niewiadomej t możemy łatwo się pozbyć dzieląc przez nią obie strony równania (warunek t ≠ 0 wynika z zadania), jest to tzw. niewiadoma pomocnicza. 90 = 0,75x / : 0,75 120 = x 120 – 90 = 30 Kierowca powinien zwiększyć szybkość o 30 km/h

UWAGA. Zawszę zwracaj uwagę z jakimi wielkościami masz do czynienia – wprost, czy odwrotnie proporcjonalnymi. Proporcji możemy używać tylko do zadań, w których występują wielkości wprost proporcjonalne.