Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

POSTAĆ ILOCZYNOWA FUNKCJI KWADRATOWEJ

f(x)=-4x2+16x+20 - postać ogólna funkcji b) f(x)=2(x-8)x f(x)=2(x2-8x) Dany jest wzór funkcji f, przekształćmy go do postaci ogólnej: f(x)=-4(x+1)(x-5) f(x)=-4(x2-5x+x-5) f(x)=-4(x2-4x-5) f(x)=-4x2+16x+20 - postać ogólna funkcji kwadratowej b) f(x)=2(x-8)x f(x)=2(x2-8x) f(x)=2x2-16x - postać ogólna funkcji kwadratowej Funkcje zapisane w postaci iloczynowej przekształciliśmy do postaci ogólnej.

y=ax2+bx+c y=a(x-x1)(x-x2) Funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej y=ax2+bx+c może być zapisana w postaci iloczynowej: 1)) Jeżeli Δ>0 to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: wtedy postać iloczynowa wyraża się wzorem: y=a(x-x1)(x-x2)

y=a(x-x0)(x-x0) y=a(x-x0)2 2)) Jeżeli Δ=0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe: wtedy postać iloczynowa wyraża się wzorem: y=a(x-x0)(x-x0) y=a(x-x0)2 3)) Jeżeli Δ<0 to funkcja nie ma miejsc zerowych, nie można funkcji przedstawić w postaci iloczynowej.

a) f(x)=4x2-6x+2 Zadanie1: Przedstaw funkcję w postaci iloczynowej: a=4 b=-6 c=2 Δ = b2- 4ac Δ = (-6)2 - 4·4·2 = 36 - 32 = 4 Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe - postać iloczynowa

b) h(x)=-3x2+x+2 a=-3 b=1 c=2 Δ = b2- 4ac Δ = 12 - 4·(-3)·2 = 1 + 24 = 25 Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

c) g(x)=x2+6x+10 d) y=x2-3x+3 a=1 b=6 c=10 Δ = b2- 4ac Δ = 62 - 4·1·10 = 36 - 40 = -4 Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych; nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej d) y=x2-3x+3 a=1 b=-3 c=3 Δ = (-3)2 - 4·1·3 = 9 - 12 = -3

e) h(x)=x2-4x+4 a=1 b=-4 c=4 Δ = b2- 4ac Δ = (-4)2 - 4·1·4 = 16 - 16 = 0 Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

f) y=-2x2+12x-18 a=-2 b=12 c=-18 Δ = b2- 4ac Δ = 122 - 4·(-2)·(-18) = 144 - 144 = 0 Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

a) y=(x+3)(x-30) b) y=-2(x+0,4)(x-3,2) c) y=-4x(x-8) Zadanie2: Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego: a) y=(x+3)(x-30) Miejscami zerowymi (pierwiastkami) są liczby: -3 oraz 30. b) y=-2(x+0,4)(x-3,2) Miejscami zerowymi (pierwiastkami) są liczby: -0,4 oraz 3,2. c) y=-4x(x-8) Miejscami zerowymi (pierwiastkami) są liczby: 0 oraz 8.

Zadanie3: Oblicz współczynniki b i c funkcji kwadratowej y=-2x2+bx+c o podanych pierwiastkach: 3 i 5 Przedstawimy najpierw funkcję w postaci iloczynowej: y=-2(x-3)(x-5) y=-2(x2-5x-3x+15) y=-2(x2-8x+15) y=-2x2+16x-30 porównując wzory odczytamy że b=16, c=-30 b) 2 i -8 y=-2(x-2)(x+8) y=-2(x2+8x-2x-16) y=-2(x2+6x-16) y=-2x2-12x+32 porównując wzory odczytamy że b=-12, c=32

Zadanie4: Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są liczby 5 i 10 Zadanie4: Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są liczby 5 i 10. Napisz wzór funkcji, wiedząc że punkt P=(2,24) należy do jej wykresu. Przedstawimy najpierw funkcję w postaci iloczynowej: y=a(x-x1)(x-x2) y=a(x-5)(x-10) Punkt P należy do wykresu funkcji 24=a(2-5)·(2-10) 24=a(-3)·(-8) 24=a·24 a=1 y=(x-5)(x-10) – postać iloczynowa y=x2-15x+50 – postać ogólna funkcji kwadratowej

Zadanie5: Wyznacz równanie osi symetrii wykresu funkcji f, której miejscami zerowymi są liczby -2 oraz 8. Wierzchołek paraboli ma współrzędne W=(3,50). Napisz wzór funkcji f. Oś symetrii wykresu funkcji to prosta przechodząca przez wierzchołek paraboli, dlatego szukana prosta ma równanie: x=3. Przedstawimy najpierw funkcję w postaci iloczynowej: y=a(x-x1)(x-x2) y=a(x+2)(x-8) Wierzchołek W należy do wykresu funkcji y=a(3+2)(3-8) 50=a·5·(-5) 50=a·(-25) a=-2 y=-2(x+2)(x-8) – postać iloczynowa y=-2x2+12x+32 – postać ogólna funkcji kwadratowej

Zadanie6: Mając wzór funkcji kwadratowej f(x)=-2x2+8 przedstaw ją w postaci iloczynowej napisz równanie osi symetrii wykresu oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia wykresu z osią x oraz wierzchołek W. Ad.a) Obliczamy miejsca zerowe funkcji: a=-2 b=0 c=8 Δ = b2- 4ac Δ = 02 - 4·(-2)·8 = 0 + 64 = 64 Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe f(x)=-2(x-2)(x+2)

Ad.b) Obliczamy współrzędne wierzchołka W paraboli: W=(p,q) W=(0,8) Osią symetrii wykresu jest prosta o równaniu x=0 Ad.c) Szukamy punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. Z OSIĄ X: f(x)=0 -2(x-2)(x+2)=0 x=2 lub x=-2 PUNKTY PRZECIĘCIA: A=(2,0) oraz B=(-2,0)

PUNKT PRZECIĘCIA: C=(0,8) Wierzchołki trójkąta to punkty A, B, C. Z OSIĄ Y: f(0) = -2 · 0 + 8 = 8 PUNKT PRZECIĘCIA: C=(0,8) Wierzchołki trójkąta to punkty A, B, C. PΔ= ½ ·a ·h PΔ= ½ ·|AB| ·h PΔ= ½ ·4 ·8 PΔ= 16 j2 C B A

Zadanie7: Dana jest funkcja g(x)=- ½x2-x+4 przedstaw ją w postaci iloczynowej napisz równanie osi symetrii wykresu oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych. Ad.a) Obliczamy miejsca zerowe funkcji: a=-½ b=-1 c=4 Δ = b2- 4ac Δ = (-1)2 - 4·(-½)·4 = 1 + 8 = 9 Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe g(x)=-½(x-2)(x+4)

Ad.b) Obliczamy współrzędne wierzchołka W paraboli: W=(p,q) W=(-1,4½) Osią symetrii wykresu jest prosta o równaniu x=-1 Ad.c) Szukamy punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. Z OSIĄ X: g(x)=0 - ½ (x-2)(x+4)=0 x=2 lub x=-4 PUNKTY PRZECIĘCIA: A=(-4,0) oraz B=(2,0)

PUNKT PRZECIĘCIA: C=(0,4) Wierzchołki trójkąta to punkty A, B, C. Z OSIĄ Y: g(0) = - ½ · 0 - 0 + 4 = 4 PUNKT PRZECIĘCIA: C=(0,4) Wierzchołki trójkąta to punkty A, B, C. PΔ= ½ ·a ·h PΔ= ½ ·|AB| ·h PΔ= ½ ·6 ·4 PΔ= 12 j2 C A B