Liniowość - kryterium Kryterium Znane jako zasada superpozycji W istocie: dwa warunki:

Kryterium rozstrzygające Zjawisko, które nie spełnia kryterium liniowości jest nieliniowe

Przykład W elektrotechnice obwody RLC są nazywane liniowymi Rezystor R: tgα=1/R

Przykład Co mówi kryterium?

Przykład: cewka Cewka: Prawo znane jako reguła Lenza – rozłączanie i załączanie obwodów indukcyjnych jest ryzykowne (przepięcia)

Przykład: cewka Kryterium:

Ćwiczenie Czy kondensator jest też elementem liniowym? Kondensator:

Przykład To jest układ liniowy R=1/D

Przykład To też jest układ liniowy (zasada superpozycji)

Przykłady Nie są liniowe np. zjawiska na giełdzie papierów wartościowych: „jeśli w ciągu miesiąca te akcje przyniosły 3 tys. zł, to w ciągu roku przyniosą 36 tys. zł. zysku (rzucam pracę!)” – niestety, nie.

Dlaczego tak ważne, żeby rozróżniać? Nałożenie warunku na układ to stworzenie równania lub nierówności Np.: „Przez ten rezystor (1kΩ) nie może płynąć prąd większy niż 100mA”: (czyli przypadek graniczny:)

Dlaczego tak ważne ...? Rozwiązanie równania to wyznaczenie jakiegoś interesującego parametru: Jeżeli mamy kilka zmiennych niezależnych, i nałożymy na nie kilka warunków ograniczających i wiążących je ze sobą, to powstanie zbiór (układ) równań

Dlaczego tak ważne ...? Układ równań opisujących zjawiska liniowe będzie układem równań liniowych Jeśli choć jeden fragment systemu ma charakter nieliniowy – powstanie układ równań nieliniowych Na rozwiązywanie równań/układów równań liniowych jest dobra metoda, w przypadku równań/układów równań nieliniowych – jest dużo gorzej

Równania liniowe/nieliniowe Bez problemu można rozwiązać liniowe równanie: Niektóre równania nieliniowe można rozwiązać również dość łatwo:

Równania liniowe/nieliniowe Większość jednak równań nieliniowych dostarcza nam dużo większych kłopotów:

Układy równań liniowych Na rozwiązywanie układów równań liniowych są metody, których mają trzy ważne cechy: Algorytm zawsze kończy pracę w obrębie ściśle określonego limitu liczby kroków obliczeniowych Algorytm zawsze znajduje unikalne rozwiązanie lub potrafi stwierdzić, że takiego rozwiązania nie ma Dokładność wyznaczenia rozwiązania jest związana z dokładnością obliczeń maszyny liczącej a nie jest cechą algorytmu (można więc w pewnym sensie powiedzieć, że algorytm wyznacza rozwiązanie dokładne)

Układy równań liniowych Układ równań

Układy równań liniowych Zapis macierzowy:

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Zapis macierzowy: macierz o rozmiarach m x n (m równań/wierszy, n zmiennych/kolumn) wektor kolumnowy zmiennych o rozmiarach n x 1 (n wierszy/zmiennych) wektor kolumnowy wyrazów wolnych o rozmiarach m x 1 (m wierszy/wyrazów wolnych)

Układy równań liniowych Tylko układy, które mają tyle niezależnych równań ile zmiennych dają jednoznaczne rozwiązanie, Niekoniecznie jest to tożsame z m=n – niektóre równania mogą być liniowo zależne Zamiast m liczy się tzw. rząd macierzy r, mówiący o liczbie liniowo niezależnych równań

Układy równań liniowych To wydaje się układ 3 równań: ...ale w rzeczywistości to 2 równania – trzecie równanie to cztery razy pierwsze – równania są liniowo zależne

Układy równań liniowych Jeśli r < n to układ jest niedookreślony, ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od (n - r) parametrów Jeśli r=n to istnieje jedno unikalne rozwiązanie Jeśli m>n, to albo część równań jest linowo zależnych (dzięki czemu r<=n) albo układ jest nadokreślony – sprzeczny.

Układy równań liniowych Własciwości układu równań liniowych (np. istnienie rozwiązań, wrażliwość rozwiązania na fluktuacje wektora b) są określone właściwościami macierzy A (np. jej rzędem, jej spektrum) Równanie: jakie potrzebne x, żeby uzyskać b? wejście (x) wyjście (b) proces (A)

Układy równań liniowych Rozwiązanie układu równań można przeprowadzić za pomocą operacji macierzowych Rozwiązanie układu:

Rozwiązanie układu równań liniowych Rozwiązanie układu obejmuje wyznaczenie odwrotności macierzy A, z czego wynika, że musi to być macierz kwadratowa o pełnym rzędzie O dużej klasie algorytmów rozwiązujących układy równań liniowych można myśleć jako o algorytmach znajdujących odwrotność macierzy A Klasyczny algorytm to algorytm eliminacji Gaussa-Jordana

Algorytm Gaussa-Jordana Jordan – kartograf i geodeta. Zastosował metodę w wyznaczaniu błędów pomiarów kartograficzno-geodezyjnych Karl Friedriech Gauss (1777-1855) Wilhelm Jordan (1842 to 1899)

Algorytm Gaussa-Jordana Algorytm dąży do tego, aby skonstruować równanie Ux=d, przy czym U to macierz trójkątna górna:

Algorytm Gaussa-Jordana Na podstawie tej postaci łatwo wyznaczyć rozwiązania w procesie wstecznego podstawiania: z ostatniego równania wprost można wyznaczyć xn , znając xn z równania przedostatniego można wyznaczyć xn-1 ,itd.

Algorytm Gaussa Jordana

Algorytm Gaussa Jordana

Algorytm Gaussa Jordana

Algorytm Gaussa Jordana

Algorytm Gaussa-Jordana Doprowadzenie do postaci trójkątnej górnej rezlizuje się w pierwszej fazie algorytmu poprzez ciąg operacji polegających na dodawaniu (odejmowania) do jednego równania wielokrotności drugiego Bezpośrednim celem każdej takiej operacji jest wyzerować współczynnik przy kolejnej zmiennej W zapisie macierzowym operacja na równaniu polega na jednoczesnym poddawaniu tym samym przekształceniom wierszowym i macierzy A i wektora b

Algorytm Gaussa-Jordana Np. pierwsza operacja – odjąć od drugiego wiersza pierwszy pomnożony przez : Powtórzyć to samo, dla wierszy 3 do n, zapewniając, że w każdym wierszu pierwszy współczynnik zostanie wyzerowany W drugim kroku zacząć od trzeciego równania i odjąć drugie pomnożone przez: . Kontynuować dla wierszy 4 do n Powtarzać krok algorytmu polegający na wyzerowaniu (p-1)-tego współczynnika w równaniach p do n aż osiągnięta zostanie macierz trójkątna górna (p ma się zmieniać od 2 do n)

Algorytm Gaussa-Jordana for p := 2 to n do for k := p to n do begin m := a(k,p-1)/a(p-1,p-1) b(k) := b(k)-b(k-1)*m; for l := 1 to n do if (l < p) then a(k,l) := 0 else a(k,l) := a(k,l) – a(k-1,l)*m; end;

Algorytm Gaussa - Jordana Dodatkowy element algorytmu – w każdym kroku algorytmu równania są dzielone przez wartość Dobrze jest, aby było jak największe Dlatego algorytm nie jest realizowany zgodnie z sekwencją równań, ale w każdym kroku do odejmowania wybierane jest równanie z jak największym Zabieg ten nazywany jest piwotem