Przykład: Dana jest linia długa o długości L 0 bez strat o stałych kilometrycznych L,C.Na początku linii zostaje załączona siła elektromotoryczna e(t), a koniec linii jest zwarty. Określić rozkład prądów i napięć w linii. Równania linii długiej bez strat są: Różniczkując pierwsze równanie po x, a drugie po t i eliminując prąd otrzymujemy równanie hiperboliczne (falowe) dla napięcia:

gdzie - prędkość propagacji fali w linii. Warunki brzegowe zapisane dla napięcia są: Warunki początkowe wynikają z założenia, że linia była rozładowana przed załączeniem, czyli:

Jeszcze raz stosujemy przekształcenie Laplacea i mamy: którego rozwiązanie jest: gdzie stałe A 1 i A 2 wyznaczamy z warunków brzegowych: gdzie E(s)=L[e(t)].

Otrzymujemy: Rozwiązanie dla transformaty napięcia jest: Korzystając jak poprzednio z twierdzenia o splocie znajdujemy transformatę odwrotną L -1 [E(s)]=e(t) i

którą obliczamy korzystając z twierdzenia Cauchy. Całka po linii zamkniętej z funkcji analitycznej równa się sumie residuów funkcji znajdujących się wewnątrz krzywej całkowania pomnożonej przez 2 i. Funkcja ma bieguny w punktach s k zerowania się mianownika, tj. gdzie k=0, 1, 2,..... Obliczając residuum mamy:

Rozdzielając sumę dla dodatnich i ujemnych k i zmieniając znak k otrzymujemy ostatecznie:

Rozkład napięcia w linii określa wzór: Prąd w linii można otrzymać wykorzystując równania linii np.: i mamy:

Jako ostatni przykład zastosowania metody rozdzielania zmiennych rozważmy: Dana jest cienka prostokątna axb membrana zamocowana na brzegu. Na powierzchnię membrany działa ciśnienie p(x,y,t). Wyznaczyć drgania membrany, jeżeli w chwili t=0 była ona nieodkształcona i nieruchoma. Grubość membrany wynosi h, jej masa właściwa. x y w a b dy dx w x N N

w x N N Bilansując siły na oś w otrzymujemy: Wykonując redukcję i dzieląc przez hdxdy otrzymujemy równanie opisujące odkształcenie membrany:

gdzie Warunki brzegowe wyrażające fakt umocowania brzegu mają postać: Warunki początkowe są:

Przyjmując rozwiązanie w postaci: otrzymujemy dla równania jednorodnego po podzieleniu przez XYT: Przyjmujemy: Rozwiązując powyższe równania mamy:

Na mocy warunków brzegowych: mamy: Natomiast stałe, określamy z warunków brzegowych: i mamy: gdzie n,k=0,1,2,...

Rozwiązanie spełniające warunki brzegowe: ma postać: Podstawiając do równania otrzymujemy:

Funkcje tworzą ortogonalny ciąg na prostokącie [0,a]x[0,b]. Mnożąc równanie: obustronnie przez i całkując po powierzchni prostokąta [0,a]x[0,b] otrzymujemy:

gdzie Biorąc pod uwagę warunki początkowe: rozwiązanie równania można zapisać w postaci:

Ugięcie membrany w pod wpływem ciśnienia p jest opisane wzorem: gdzie

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych Metoda różnic skończonych (siatek) Uwagi ogólne Dane równanie różniczkowe cząstkowe opisane operatorem L: w obszarze i warunki brzegowe:

XkXk W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości przybliżonych u h rozwiązania dokładnego u na zbiorze izolowanych punktów X k (k=1,2,...,N h ) zwanym siatką. Punkty X k są nazywane węzłami siatki. węzeł pomocniczy węzeł podstawowy Równania służące do wyznaczania wartości przybliżonych nazywamy równaniami różnicowymi. x y hxhx hyhy h=(h x,h y ) Parametr h charakteryzuje siatkę h

Dla równania różniczkowego: w obszarze z warunkami brzegowymi: otrzymujemy jego odpowiednik różnicowy: Zakładając, że problem opisany równaniem różniczkowym ma jednoznaczne rozwiązanie, to równania różnicowe będą jego odpowiednikiem jeżeli są spełnione następujące warunki:

1. Układ równań różnicowych posiada jednoznaczne rozwiązanie: dla każdego dopuszczalnego h. 2. Zbieżność do rozwiązania dokładnego u. Oznacza to, że rozwiązanie u h powinno przy h 0 dążyć do rozwiązania dokładnego u. Dla określenia zbieżności jest koniecznym wprowadzenie odpowiednich przestrzeni funkcyjnych i norm w nich.

Wprowadzamy przestrzeń funkcyjną U z normą || || U, do której należy rozwiązanie dokładne u. oraz przestrzeń N h - wymiarową U h z normą || || Uh, której elementami są układy N h liczb i do której należy rozwiązanie u h. Normy || || U i || || Uh winny być zgodne, tzn. ponieważ funkcja u(x) jest określona w węzłach podstawowych X k siatki, to mówimy, że normy są zgodne jeżeli zachodzi: dla każdego u U.

Przykłady norm zgodnych: - zbiór węzłów wewnętrznych.

Wielkość: nazywamy błędem rozwiązania przybliżonego u h. U h dąży do rozwiązania dokładnego u(x), jeżeli Jeżeli można znaleźć taką funkcję (h), że to mówimy, że zostało znalezione oszacowanie błędu.

3. Stabilność Różnicowe zagadnienie brzegowe jest stabilne, jeżeli istnieją takie liczby >0 i h 0 >0, że dla dowolnych h<h 0 i f h F h, takich, że || f h || Fh < zadanie brzegowe: posiada jedno jednoznaczne rozwiązanie i zachodzi: gdzie C stała niezależna od h.

Twierdzenie wiążące stabilność i zbieżność: Jeżeli zadanie różnicowe jest przybliżeniem różniczkowego problemu brzegowego: i rozwiązanie u h jest stabilne wtedy zachodzi i rząd zbieżności w funkcji h jest taki sam jak rząd aproksymacji.

Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi na siatce prostokątnej i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk

i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk Druga pochodna dodając stronami:

i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk Dla pochodnej mieszanej

Konstrukcja warunków brzegowych na siatce i k 1. Przeniesienie wartości: Przyjmujemy: r(i,k, ) lub

2. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta i,k i-1,k i+1,k h Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy: i dla x=x i + mamy:

3. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna. n i,k i-1,k i,k-1 hkhk hihi

Równania eliptyczne Dla uproszczenia rozważań będą analizowane przypadki dwuwymiarowe x=(x,y) Warunki brzegowe:

x(i) y(k) hyhy hxhx (0,0) jj+1 j-1 l p

Dla węzłów wewnętrznych będzie: jj+1 j-1 l p lub w formie macierzowej:

hyhy hxhx (0,0) jj+1 j-1 l p

styczna normalna p Przyjmując: (xk p,yk p ) p-1 m otrzymujemy:

Uwaga dotycząca błędu obliczeń. Generalnie jeżeli węzły nie leżą na krzywej brzegowej i liczymy metodą przeniesienia wartości, to dokładność obliczeń jest rzędu h. Jeżeli węzły na krzywej brzegowej bądź wyliczamy wartości funkcji brzegowej interpolując liniowo dokładność wzrasta do h 2. W zagadnieniu Dirichleta oprócz trudności z wyznaczeniem wartości brzegowych nie ma innych problemów i otrzymany układ równań algebraicznych najczęściej można rozwiązać bez kłopotów. Sytuacja może się komplikować przy zagadnieniu Neumanna. Siatki praktycznie nie stosowane w zagadnieniach eliptycznych liniowych i nieliniowych.

Równania opisujące ewolucję układu w czasie Równania paraboliczne Dane jednowymiarowe równanie przewodnictwa: x t 0 1h i-1i i+1 k+1 k k-1

x t 0 Nh i-1i i+1 k+1 k k-1 Oznaczamy operator różnicy II rzędu: i wprowadzamy schematy różnicowe z wagą : i

Problem brzegowy jest aproksymowany przez dla i=1,2,...N dla k=1,2,...,K. Warunki zgodności

k+1 k i-1 i i+1 Schemat sześciowęzłowy Jeżeli =0 schemat jest nazywany jawnym lub explicite k+1 k i-1 i i+1 Jeżeli 0 schemat jest nazywany niejawnym lub implicite k+1 k i-1 i i+1

k+1 k i-1 i i+1 Wartości w warstwie k+1 otrzymujemy rozwiązując układ równań: Czysto niejawny schemat: k+1 k i k+1 k i-1 i i+1 Schemat Cranka - Nicholsona:

Oszacowanie dokładności aproksymacji. Rozwiązanie dokładne zagadnienia brzegowego jest u(x,t) i jego wartość w węzłach (x i,t k ) siatki będzie oznaczana u(i,k). Rozwiązanie zagadnienia brzegowego sformułowanego dyskretnie jest Błąd aproksymacji jest

Dla oceny błędu w kroku k-tym wprowadza się normę, np.: lub Z wynika, że i podstawiając do w miejsce otrzymujemy równoważne zadanie różnicowe dla

gdzie błąd schematu różnicowego w stosunku do rozwiązania dokładnego u(x,t).

Mówimy, że przybliża rozwiązanie problemu brzegowego z dokładnością rzędu (m,n) lub O(h m + n ), jeżeli spełnia nierówność: gdzie M - stała.

Dla uproszczenia zapisu wprowadzamy: i mamy: Uwzględniając powyższe równości i podstawiając do

mamy Rozwijając funkcje u(n,p) w szereg Taylora w otoczeniu punktu: x i,t k +0.5 oraz wprowadzając oznaczenie: Będziemy mieli:

Uwzględniając powyższe zależności można zapisać w postaci:

Ale gdyż u jest rozwiązaniem dokładnym i w każdym punkcie obszaru spełnia równanie paraboliczne. Uwzględniając, żemamy

Jeżeli wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest równe zeru, tzn.: oraz W obliczeniach numerycznych wygodniej przyjąć: to schemat ma dokładność O(h )

Schemat: z jest schematem o podwyższonej dokładności wynoszącej: Jeżeli =0.5 jak w schemacie Cranka-Nicholsona, to

i dla =0.5 mamy: Dla zachowania oceny zbieżności O(h ) należy przyjąć: lub Jeżeli 0.5 i *, to dokładność obliczeń jest rzędu O(h 2 + ).

Stabilność Zbadamy zachowanie się schematu: jawnego tj. =0

Schemat jest Przyjmijmy: i załóżmy, że warunek początkowy w punkcie i-tym jest dany z błędem. Badamy jak przenosi się błąd na siatce.

x t 0 N 0 Schemat jawny z =0 i

x t 0 N 0 Schemat jawny z =0 i Obliczenia z dokładnością do 2 miejsc

Analiza stabilności metodą spektralną Niech rozwiązanie jednorodnego zagadnienia różnicowego: ma postać gdzie

ale Po podstawieniu do mamy

Po podzieleniu przez otrzymujemy równanie: Warunek konieczny stabilności Neumanna stwierdza, że schemat różnicowy jest stabilny, jeżeli Dla =0 mamy

i na podstawie kryterium Neumanna otrzymujemy: czyli Dla = znajdujemy warunek na stosunek: Warunkiem zbieżności schematu jawnego jest spełnienie powyższego warunku. Warunek jest również prawdziwy dla schematu jawnego w przypadku wielowymiarowego równania parabolicznego.

Dowolne >0. Ocenę prowadzimy przy =. czyli Prawa nierówność jest spełniona dla dowolnych, a z lewej mamy:

Dla spełniających nierówność: warunek: jest spełniony dla dowolnego stosunku W szczególności schemat Cranka-Nicholsona =0.5 jest stabilny dla dowolnego stosunku kroków

Dla schematu o podwyższonej dokładności mamy bo Przedstawione rozważania można rozszerzyć na przypadki wielowymiarowe jak również na równania o zmiennych współczynnikach. W przypadku równań wielowymiarowych ocena zbieżności zależy również od sposobu aproksymacji warunków brzegowych podobnie jak w przypadku równań eliptycznych.

Równania hiperboliczne Jako przykład zostanie rozpatrzone równanie linii długiej bez strat o długości L. Dla napięcia u mamy: Wprowadzamy siatkę prostokątną:

x t 0 Nh i-1i i+1 k+1 k k-1 i funkcję węzłową oznaczamy: Przyjmujemy aproksymację pochodnych: i

i rozpatrujemy następujący schemat trójwarstwowy z parametrem >0: gdzie warunek początkowykonstruujemy tak, aby zachować rząd aproksymacji O( 2 ).

Mamy czyli Z równania falowego mamy: Warunek początkowy dla pierwszej pochodnej będzie określony z dokładnością O(h ), jeżeli przyjąć, że czyli

Ostatecznie schemat różnicowy dla rozwiązania równania falowego jest Ocena dokładności aproksymacji Postępujemy podobnie jak poprzednio, a więc niech

gdzie jest rozwiązaniem różnicowego zagadnienia a u(x i,t k ) jest rozwiązaniem problemu brzegowego: w punkcie x i,t k.

Piszącotrzymujemy: gdzie Z konstrukcji warunku początkowego dla pochodnej wynika, że

Rozwijając w szereg Taylora mamy: Korzystając z otrzymanego wyniku mamy: Stąd otrzymujemy z dokładnością do małych 4-go rzędu:

Podobnie z dokładnością do małych 4-go rzędu. Ostatecznie otrzymujemy ocenę błędu: Funkcja u spełnia równanie falowe, a więc stąd niezależnie od !!!

Oznacza to również zależność odwrotną, a mianowicie dobór zależy tylko i wyłącznie od stabilności, a nie ma wpływu na dokładność obliczeń. Stabilność Analizujemy stabilność schematu różnicowego przy jednorodnych warunkach brzegowych:

Przyjmujemy rozwiązanie w postaci: i podstawiając do równania różnicowego: po wykonaniu kilku przekształceń otrzymujemy: Dzieląc równanie przez k-1 i grupując wyrazy otrzymujemy równanie określające :

Badamy pierwiastki równania: gdzie przy =. Wyróżnik: Jeżeli <0, to równanie ma dwa sprzężone pierwiastki zespolone 1, 2 o module równym 1 co wynika ze wzoru Viety: Dla =0 otrzymujemy warunek Couranta:

który oznacza, że prędkość wędrówki fali na siatce h/ jest większa od prędkości fazowej. Przypadek 0 prowadzi do pierwiastków większych co do modułu od jedności i dlatego należy te przypadki odrzucić. Analizę można rozszerzyć na przypadki wielowymiarowe.

Wady i zalety metody różnicowej Zalety: 1. Proste konstruowanie siatki podziałowej. 2. Prosta konstrukcja układu równań różnicowych szczególnie w środowiskach izotropowych. 3. Opracowane oceny błędów metody i warunki stabilności. Wady: 1. Duże trudności z dobrą aproksymacją brzegu lub wymuszony mały krok siatki. 2. Trudności z utrzymaniem rzędu aproksymacji przy interpolacji warunków brzegowych. 3. Praktycznie konieczność obliczania całego obszaru z tym samym krokiem podziałowym.