Przykład Równanie wahadła: Niech =1s -2 Warunki początkowe: około 86°

Sprowadzamy do układu równań I-go rzędu Warunki początkowe: Obliczenia chcemy prowadzić z dokładnością Startujemy z krokiem h=0.1. Krok wybrano jako 0.1 okresu wahadła liniowego. Metoda Mersona

Błąd:

Dokładność założona została osiągnięta. W następnym kroku można zwiększyć krok. Rozwiązanie w chwili t=0.1 i do następnego kroku możemy wystartować z nową wartością kroku h

Metody włożone lub Metody Fehlberga – Runge -Kutty Stosujemy metodę Runge – Kutty rzędu p i rzędu p+1 i aby zmniejszyć liczbę obliczanych współczynników wybieramy je tak, że w obu metodach jest pierwszych p współczynników K jednakowe, czyli i=2,3,..,p+1

i mamy dla metody rzędu p-go a dla metody rzędu (p+1)-go Ocenę błędu można zrobić stosunkowo prosto

Po odjęciu stronami otrzymujemy: gdzie

Znając błąd możemy postępować jak w metodzie Mersona i rozwiązanie przyjmować z dokładniejszej metody rzędu p+1. Najczęściej stosowana metoda RKF45 ma współczynniki

Błąd

Rozwiązanie wykorzystując metodę dokładniejszą jest Metoda gwarantuje obliczenia z błędem rzędu h 4. Stabilność metod Rungego - Kutty Przedziały stabilności absolutnej dla metody Rungego-Kutty wynoszą:

Dla metody rzędu pierwszego: rzędu drugiego: rzędu trzeciego: rzędu czwartego: dla każdej wartości własnej macierzy A. Żadna z metod Rungego-Kutty czy Fehlberga-Rungego-Kutty nie jest odpowiednia do równań sztywnych

Typowe równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego Przykłady fizyczne Do przewodnika o przewodności przyłożono napięcie U. Znaleźć rozkład gęstości prądu w przewodniku. x y z j y (x,y,z) j y (x,y+ y,z) y x z j x (x,y,z) j x (x+ x,y,z) j z (x,y,z) j z (x,y,z+ z)

x y z j y (x,y,z) j y (x,y+ y,z) y x z j x (x,y,z) j x (x+ x,y,z) j z (x,y,z) j z (x,y,z+ z) Bilans:

Rozwijamy w szereg Taylora w otoczeniu punktu (x,y,z):

Podstawiając otrzymujemy: gdzie ostatecznie: Wektor gęstości prądu j wyrażamy przez potencjał : czyli lub

Podstawiając do równania: mamy: Jeżeli przewodność ośrodka jest stała, to Równanie nazywamy równaniem Laplacea (eliptycznym)

Prosty przykład: Dana jest przewodząca płytka prostokątna o wymiarach 2ax2b i stałej grubości h. Przewodność elektryczna płytki wynosi Na jednym z boków z o długości 2a znajduje się elektroda, której potencjał jest pokazany na rysunku. Druga elektroda znajdująca się na przeciwległym boku jest uziemiona. Wyznaczyć rozkład gęstości prądu w płytce i moc traconą w niej. 2b 2a h -a a l U(l) E

1. FIZYKA Jak sobie wyobrażamy rozpływ gęstości prądu w płytce? Jakie stawiamy założenia upraszczające? Jakie są warunki zadania? Na podstawie tych rozważań budujemy model matematyczny W naszym przypadku mamy następujące wnioski: 1.Można przyjąć dwuwymiarowy model matematyczny 2D 2.Układ współrzędnych prostokątnych (x,y)

Jak umieścić układ współrzędnych? a l U(l) UmUm -a

x y a 0 2b Model matematyczny Wektor gęstości prądu j ma dwie składowe j x, j y będące funkcjami x i y. Spełnia równanie: jest związany z natężeniem pola elektrycznego E: a pole elektryczne spełnia równania:

ponieważ materiał jest jednorodny i izotropowy, więc równania: i są równoważne. Wystarczy określić rozkład pola elektrycznego a z prawa Ohma wyznaczymy rozkład gęstości prądu. Zadanie sprowadza się więc do rozwiązania układu równań: Ze względu na pierwsze przyjmujemy: i podstawiając do drugiego równania mamy:

lub x -aa 0 2b a l U(l) UmUm Symetrie i warunki brzegowe: j x (x=0,y)=? -a

x a 0 2b a l U(l) UmUm -a ale czyli i co więcej

x -aa 0 2b Fizyka: uziemiona elektroda

Ostatecznie model matematyczny ma postać:

Przedstawiamy potencjał w postaci: i podstawiając mamy: Dzieląc przez XY mamy: czyli: i

Mamy: i rozwiązanie pierwszego równania jest: ale stąd czyli

Z drugiego warunku: mamy: ponieważ więc czyli

Drugie równanie: ma rozwiązanie: Z warunku brzegowego: mamy: Biorąc pod uwagę: mamy: i pisząc C n =C 1n C 3n

Z ostatniego warunku brzegowego: mamy: Korzystając z ortogonalności funkcji cos liczymy współczynniki C n po wykonaniu całkowania mamy:

Znając potencjał możemy określić rozkład gęstości prądu z równania: czyli:

Obliczenie mocy traconej w płytce

Uwzględniając warunki zadania mamy: Podstawiając i wykonując całkowanie otrzymujemy:

Przykład -h h d -d x y Do prostokątnej płytki o wymiarach 2hx2d i stałej grubości H przyłożono dwie elektrody. 2g Górna elektroda położna w środku o szerokości 2g i potencjale V i dolna elektroda wzdłuż dolnego boku o potencjale 0. Przewodność płytki jest stała i wynosi. Wyznaczyć rozkład gęstości prądu w płytce i rezystancję zastępczą płytki przy tak przyłączonych elektrodach. Opis matematyczny: Przyjmując:

mamy: a potencjał spełnia równanie Laplacea: -h h d -d x y 2g Wniosek z geometrii elektrod: Potencjał jest jedynie funkcją współrzędnych x,y. Potencjał jest funkcją parzystą zmiennej x czyli

co oznacza, że jako rozwiązanie należy przyjąć funkcję parzysta względem x i można nasze zadanie rozważyć w obszarze -h h d -d x y 2g Warunki brzegowe: i

-h h d -d x y 2g i ostatni: gdzie Jak poprzednio przyjmujemy:

i mamy: oraz które mają rozwiązanie: Z warunku: wynika czyli

i stąd Z warunku brzegowego: wynika: Ponieważ więc

Z warunku brzegowego: mamy: czyli Potencjał będzie po wprowadzeniu zastępczej stałej: gdzie

Ostatni warunek brzegowy: daje: no i mamy schody!!! Jak wybrnąć z tych kłopotów?

Dla skrócenia zapisu wprowadzamy oznaczenie: czyli Żądamy minimum błędu aproksymacji średniokwadratowej:

Pozostała już tylko arytmetyka! Obliczamy ekstremum funkcji wielu zmiennych: i mamy: k=1,2,... Otrzymujemy nieskończony układ liniowych równań:

Niestety całki: i układ równań ma nieskończoną liczbę niewiadomych.

Rozwiązujemy w ten sposób, że ograniczamy liczbę wyrazów i rozwiązujemy układ o skończonej liczbie niewiadomych. Jest to jednak metoda bardzo pracochłonna i wymagająca albo dobrej znajomości metod rozwiązywania równań o nieograniczonej liczbie niewiadomych albo kilkukrotnego rozwiązania odpowiednio powiększanej liczby równań i ocenie odrzuconej części. W takiej sytuacji bezwzględnie bardziej efektywne są metody numeryczne. Przejdziemy do omówienia metod numerycznych stosowanych do rozwiązywania zagadnień opisanych równaniem eliptycznym. Jest to następująca grupa zagadnień:

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych Metoda różnic skończonych (siatek) Uwagi ogólne Dane równanie różniczkowe cząstkowe opisane operatorem L: w obszarze i warunki brzegowe:

XkXk W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości przybliżonych u h rozwiązania dokładnego u na zbiorze izolowanych punktów X k (k=1,2,...,N h ) zwanym siatką. Punkty X k są nazywane węzłami siatki. węzeł pomocniczy węzeł podstawowy Równania służące do wyznaczania wartości przybliżonych nazywamy równaniami różnicowymi. x y hxhx hyhy h=(h x,h y ) Parametr h charakteryzuje siatkę h

Dla równania różniczkowego: w obszarze z warunkami brzegowymi: otrzymujemy jego odpowiednik różnicowy: Zakładając, że problem opisany równaniem różniczkowym ma jednoznaczne rozwiązanie, to równania różnicowe będą jego odpowiednikiem jeżeli są spełnione następujące warunki:

1. Układ równań różnicowych posiada jednoznaczne rozwiązanie: dla każdego dopuszczalnego h. 2. Zbieżność do rozwiązania dokładnego u. Oznacza to, że rozwiązanie u h powinno przy h 0 dążyć do rozwiązania dokładnego u. Dla określenia zbieżności jest koniecznym wprowadzenie odpowiednich przestrzeni funkcyjnych i norm w nich.

Wprowadzamy przestrzeń funkcyjną U z normą || || U, do której należy rozwiązanie dokładne u. oraz przestrzeń N h - wymiarową U h z normą || || Uh, której elementami są układy N h liczb i do której należy rozwiązanie u h. Normy || || U i || || Uh winny być zgodne, tzn. ponieważ funkcja u(x) jest określona w węzłach podstawowych X k siatki, to mówimy, że normy są zgodne jeżeli zachodzi: dla każdego u U.

Przykłady norm zgodnych: - zbiór węzłów wewnętrznych.

Wielkość: nazywamy błędem rozwiązania przybliżonego u h. U h dąży do rozwiązania dokładnego u(x), jeżeli Jeżeli można znaleźć taką funkcję (h), że to mówimy, że zostało znalezione oszacowanie błędu.

3. Stabilność Różnicowe zagadnienie brzegowe jest stabilne, jeżeli istnieją takie liczby >0 i h 0 >0, że dla dowolnych h<h 0 i f h F h, takich, że || f h || Fh < zadanie brzegowe: posiada jedno jednoznaczne rozwiązanie i zachodzi: gdzie C stała niezależna od h.

Twierdzenie wiążące stabilność i zbieżność: Jeżeli zadanie różnicowe jest przybliżeniem różniczkowego problemu brzegowego: i rozwiązanie u h jest stabilne wtedy zachodzi i rząd zbieżności w funkcji h jest taki sam jak rząd aproksymacji.

Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi na siatce prostokątnej i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk

i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk Druga pochodna dodając stronami:

i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk Dla pochodnej mieszanej

Konstrukcja warunków brzegowych na siatce i k 1. Przeniesienie wartości: Przyjmujemy: r(i,k, ) lub

2. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta i,k i-1,k i+1,k h Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy: i dla x=x i + mamy:

3. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna. n i,k i-1,k i,k-1 hkhk hihi

Równania eliptyczne Dla uproszczenia rozważań będą analizowane przypadki dwuwymiarowe x=(x,y) Warunki brzegowe:

x(i) y(k) hyhy hxhx (0,0) jj+1 j-1 l p

Dla węzłów wewnętrznych będzie: jj+1 j-1 l p lub w formie macierzowej:

hyhy hxhx (0,0) jj+1 j-1 l p

styczna normalna p Przyjmując: (xk p,yk p ) p-1 m otrzymujemy:

Uwaga dotycząca błędu obliczeń. Generalnie jeżeli węzły nie leżą na krzywej brzegowej i liczymy metodą przeniesienia wartości, to dokładność obliczeń jest rzędu h. Jeżeli węzły na krzywej brzegowej bądź wyliczamy wartości funkcji brzegowej interpolując liniowo dokładność wzrasta do h 2. W zagadnieniu Dirichleta oprócz trudności z wyznaczeniem wartości brzegowych nie ma innych problemów i otrzymany układ równań algebraicznych najczęściej można rozwiązać bez kłopotów. Sytuacja może się komplikować przy zagadnieniu Neumanna. Siatki praktycznie nie stosowane w zagadnieniach eliptycznych liniowych i nieliniowych.

Równania opisujące ewolucję układu w czasie Równania paraboliczne Dane jednowymiarowe równanie przewodnictwa: x t 0 1h i-1i i+1 k+1 k k-1

x t 0 Nh i-1i i+1 k+1 k k-1 Oznaczamy operator różnicy II rzędu: i wprowadzamy schematy różnicowe z wagą : i

Problem brzegowy jest aproksymowany przez dla i=1,2,...N dla k=1,2,...,K. Warunki zgodności

k+1 k i-1 i i+1 Schemat sześciowęzłowy Jeżeli =0 schemat jest nazywany jawnym lub explicite k+1 k i-1 i i+1 Jeżeli 0 schemat jest nazywany niejawnym lub implicite k+1 k i-1 i i+1

k+1 k i-1 i i+1 Wartości w warstwie k+1 otrzymujemy rozwiązując układ równań: Czysto niejawny schemat: k+1 k i k+1 k i-1 i i+1 Schemat Cranka - Nicholsona:

Oszacowanie dokładności aproksymacji. Rozwiązanie dokładne zagadnienia brzegowego jest u(x,t) i jego wartość w węzłach (x i,t k ) siatki będzie oznaczana u(i,k). Rozwiązanie zagadnienia brzegowego sformułowanego dyskretnie jest Błąd aproksymacji jest

Dla oceny błędu w kroku k-tym wprowadza się normę, np.: lub Z wynika, że i podstawiając do w miejsce otrzymujemy równoważne zadanie różnicowe dla

gdzie błąd schematu różnicowego w stosunku do rozwiązania dokładnego u(x,t).

Mówimy, że przybliża rozwiązanie problemu brzegowego z dokładnością rzędu (m,n) lub O(h m + n ), jeżeli spełnia nierówność: gdzie M - stała.

Dla uproszczenia zapisu wprowadzamy: i mamy: Uwzględniając powyższe równości i podstawiając do

mamy Rozwijając funkcje u(n,p) w szereg Taylora w otoczeniu punktu: x i,t k +0.5 oraz wprowadzając oznaczenie: Będziemy mieli:

Uwzględniając powyższe zależności można zapisać w postaci:

Ale gdyż u jest rozwiązaniem dokładnym i w każdym punkcie obszaru spełnia równanie paraboliczne. Uwzględniając, żemamy

Jeżeli wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest równe zeru, tzn.: oraz W obliczeniach numerycznych wygodniej przyjąć: to schemat ma dokładność O(h )

Schemat: z jest schematem o podwyższonej dokładności wynoszącej: Jeżeli =0.5 jak w schemacie Cranka-Nicholsona, to

i dla =0.5 mamy: Dla zachowania oceny zbieżności O(h ) należy przyjąć: lub Jeżeli 0.5 i *, to dokładność obliczeń jest rzędu O(h 2 + ).

Stabilność Zbadamy zachowanie się schematu: jawnego tj. =0

Schemat jest Przyjmijmy: i załóżmy, że warunek początkowy w punkcie i-tym jest dany z błędem. Badamy jak przenosi się błąd na siatce.

x t 0 N 0 Schemat jawny z =0 i

x t 0 N 0 Schemat jawny z =0 i Obliczenia z dokładnością do 2 miejsc

Analiza stabilności metodą spektralną Niech rozwiązanie jednorodnego zagadnienia różnicowego: ma postać gdzie

ale Po podstawieniu do mamy

Po podzieleniu przez otrzymujemy równanie: Warunek konieczny stabilności Neumanna stwierdza, że schemat różnicowy jest stabilny, jeżeli Dla =0 mamy

i na podstawie kryterium Neumanna otrzymujemy: czyli Dla = znajdujemy warunek na stosunek: Warunkiem zbieżności schematu jawnego jest spełnienie powyższego warunku. Warunek jest również prawdziwy dla schematu jawnego w przypadku wielowymiarowego równania parabolicznego.

Dowolne >0. Ocenę prowadzimy przy =. czyli Prawa nierówność jest spełniona dla dowolnych, a z lewej mamy:

Dla spełniających nierówność: warunek: jest spełniony dla dowolnego stosunku W szczególności schemat Cranka-Nicholsona =0.5 jest stabilny dla dowolnego stosunku kroków

Dla schematu o podwyższonej dokładności mamy bo Przedstawione rozważania można rozszerzyć na przypadki wielowymiarowe jak również na równania o zmiennych współczynnikach. W przypadku równań wielowymiarowych ocena zbieżności zależy również od sposobu aproksymacji warunków brzegowych podobnie jak w przypadku równań eliptycznych.

Równania hiperboliczne Jako przykład zostanie rozpatrzone równanie linii długiej bez strat o długości L. Dla napięcia u mamy: Wprowadzamy siatkę prostokątną:

x t 0 Nh i-1i i+1 k+1 k k-1 i funkcję węzłową oznaczamy: Przyjmujemy aproksymację pochodnych: i

i rozpatrujemy następujący schemat trójwarstwowy z parametrem >0: gdzie warunek początkowykonstruujemy tak, aby zachować rząd aproksymacji O( 2 ).

Mamy czyli Z równania falowego mamy: Warunek początkowy dla pierwszej pochodnej będzie określony z dokładnością O(h ), jeżeli przyjąć, że czyli

Ostatecznie schemat różnicowy dla rozwiązania równania falowego jest Ocena dokładności aproksymacji Postępujemy podobnie jak poprzednio, a więc niech

gdzie jest rozwiązaniem różnicowego zagadnienia a u(x i,t k ) jest rozwiązaniem problemu brzegowego: w punkcie x i,t k.

Piszącotrzymujemy: gdzie Z konstrukcji warunku początkowego dla pochodnej wynika, że

Rozwijając w szereg Taylora mamy: Korzystając z otrzymanego wyniku mamy: Stąd otrzymujemy z dokładnością do małych 4-go rzędu:

Podobnie z dokładnością do małych 4-go rzędu. Ostatecznie otrzymujemy ocenę błędu: Funkcja u spełnia równanie falowe, a więc stąd niezależnie od !!!

Oznacza to również zależność odwrotną, a mianowicie dobór zależy tylko i wyłącznie od stabilności, a nie ma wpływu na dokładność obliczeń. Stabilność Analizujemy stabilność schematu różnicowego przy jednorodnych warunkach brzegowych:

Przyjmujemy rozwiązanie w postaci: i podstawiając do równania różnicowego: po wykonaniu kilku przekształceń otrzymujemy: Dzieląc równanie przez k-1 i grupując wyrazy otrzymujemy równanie określające :

Badamy pierwiastki równania: gdzie przy =. Wyróżnik: Jeżeli <0, to równanie ma dwa sprzężone pierwiastki zespolone 1, 2 o module równym 1 co wynika ze wzoru Viety: Dla =0 otrzymujemy warunek Couranta:

który oznacza, że prędkość wędrówki fali na siatce h/ jest większa od prędkości fazowej. Przypadek 0 prowadzi do pierwiastków większych co do modułu od jedności i dlatego należy te przypadki odrzucić. Analizę można rozszerzyć na przypadki wielowymiarowe.

Wady i zalety metody różnicowej Zalety: 1. Proste konstruowanie siatki podziałowej. 2. Prosta konstrukcja układu równań różnicowych szczególnie w środowiskach izotropowych. 3. Opracowane oceny błędów metody i warunki stabilności. Wady: 1. Duże trudności z dobrą aproksymacją brzegu lub wymuszony mały krok siatki. 2. Trudności z utrzymaniem rzędu aproksymacji przy interpolacji warunków brzegowych. 3. Praktycznie konieczność obliczania całego obszaru z tym samym krokiem podziałowym.