Michał Łasiński Paweł Witkowski Układy kombinacyjne Michał Łasiński Paweł Witkowski

Układy cyfrowe dzieli się na dwie podstawowe grupy: Układy kombinacyjne W układach kombinacyjnych każda kombinacja sygnałów wejściowych określa jednoznacznie kombinację sygnałów wyjściowych. Układ kombinacyjny Wejście Wyjście

Układy sekwencyjne W układach sekwencyjnych stan wejść nie określa w sposób jednoznaczny stanu wyjść. Słowo wyjściowe zależy także od poprzednich stanów wyjściowych oraz ich kolejności występowania. Układ ten musi być wyposażony dodatkowo w pamięć, ponieważ uzależnia swe działanie również od wcześniej występujących stanów wejściowych. Dlatego układy sekwencyjne nazywa się także układami kombinacyjnymi z pamięcią. Układy sekwencyjne dzieli się na synchroniczne i asynchroniczne. *Schemat poglądowy sekwencyjnego układu synchronicznego Układ kombinacyjny wejście wyjście Przerzutnik (pamięć układu) Wyjścia przerzutników Wejścia przerzutników Zegar

Funktory (bramki) Funktorami nazywamy podstawowe układy kombinacyjne realizujące funkcje logiczne. Są to kombinacyjne układy cyfrowe realizujące funkcje logiczne takie jak: AND, OR, NOT, NAND, NOR, Ex-OR, Ex-NOR.

Bramka OR (LUB) Bramka OR realizuje funkcje sumy logicznej zmiennych wejściowych. Bramka posiada dwa lub więcej wejść.

Bramka AND (I) Bramka AND realizuje funkcje iloczynu logicznego zmiennych wejściowych. Bramka posiada dwa lub więcej wejść.

Bramka NOT (NIE) Bramka NOT realizuje funkcję negacji zmiennej wyjściowej. Bramka jest układem o jednym wejściu. Kółko w bramce realizuje funkcję inwersji, może być umieszczone po stronie wejścia lub wyjścia.

Bramka NAND (NIE I) Bramka NAND realizuje funkcję negacji iloczynu zmiennych wejściowych. Bramka posiada dwa lub więcej wejść. Bramką NAND można zrealizować operację iloczynu logicznego jak i operację negacji.

Bramka NOR (NIE LUB) Bramka NOR realizuje funkcję negacji sumy. Bramka posiada dwa lub więcej wejść. Bramką NOR można zrealizować operację sumy logicznej jak i operację negacji.

Bramka Ex-OR (XOR, ALBO) _ _ Bramka Ex-OR realizuje funkcję f(A, B) = AB + AB = A B Bramka ta umożliwia bardzo oszczędną realizacje układu. +

Bramka Ex-NOR (NIE ALBO) _ _ Bramka Ex-NOR realizuje funkcję f(A, B) = AB + AB = A B Bramka ta umożliwia bardzo oszczędną realizacje układu. X

System funkcjonalnie pełny (SFP) Zbiór funktorów, który pozwala zrealizować dowolną funkcję logiczną nazywamy systemem funkcjonalnie pełnym. Oznacza to, że wystarczy dysponować dwoma rodzajami funktorów na przykład AND i NOT, aby zrealizować dowolny układ. Wielką przydatnością w realizowaniu układów cieszą się prawa DeMorgana. I Prawo _____ _ _ A + B = AB II Prawo __ _ _ AB = A + B

Dysponując bramkami NOT i AND, realizacja bramki OR Przykład I Dysponując bramkami NOT i AND, realizacja bramki OR A A + B B

Dysponując bramkami OR i NOT, realizacja bramki AND Przykład II Dysponując bramkami OR i NOT, realizacja bramki AND A AB B

Dysponując bramkami NAND stworzyć bramkę NOR Przykład III Dysponując bramkami NAND stworzyć bramkę NOR A _ _ A + B B

Dysponując bramkami NOR realizacja bramki NAND Przykład IV Dysponując bramkami NOR realizacja bramki NAND A __ AB B

Tablica prawdy (tablica funkcji, tablica wierności) W wierszach tablicy prawdy wpisuje się wszystkie kombinacje zero-jedynkowe zmiennych niezależnych. Wierszy takich jest 2n, gdzie n jest liczbą zmiennych. Ostatnia kolumna jest przeznaczona do wpisania wartości funkcji dla poszczególnych słów wejściowych. Zwykle wszystkie możliwe kombinacje wpisujemy tak, aby stanowiły one kolejne liczby dziesiętne zapisane w systemie dwójkowym.

Przykład Zaprojektować układ z elementów AND, OR, NOT o trzech wejściach c, b, a, wyróżniający sygnałem wyjściowym y=1 przypadki, gdy na wejściu pojawi się liczba dwójkowa nieparzysta lub podzielna przez 3. Sygnał a odpowiada najmłodszemu bitowi słowa wejściowego. W każdej kombinacji wejściowej co najmniej jeden z sygnałów wejściowych (cba) jest różny od zera. c b a y - 1 2 3 4 5 6 7

Za pomocą tej tablicy tworzy się minimalizacje. Tablica Karnaugha Tablice Karnaugha wykorzystujemy do minimalizacji funkcji maksymalnie 6 zmiennych. Tablice te nazywa się również metodą graficzną. Cyfry w tej tablicy opisane są za pomocą kodu Graya (kodem dwójkowym, w którym kolejne słowa różnią się tylko na jednej pozycji). Tak zapisana tablica umożliwia nam sąsiadowanie jedynek i zer które podlegać będą sklejeniu. Za pomocą tej tablicy tworzy się minimalizacje. ba dc 00 01 11 10 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9

Postać kanoniczna Postać kanoniczna jest to umowna nazwa sposobu opisywania obiektów matematycznych. Postać ta ułatwia porównanie opisywanych obiektów. Rozróżniamy dwie postacie: kanoniczną postać sumy (KPS) oraz kanoniczną postać iloczynu (KPI). Aby uzyskać postać kanoniczną dowolnej funkcji f(x1,x2,…xn) należy skorzystać z twierdzeń o rozkładzie: Dowolną funkcję rozkładając na dwa składniki (KPS) _ f(x1,x2,…,xn) = x1f(1,x2…,xn) + x1f(0,x2,…,xn) oraz na dwa czynniki (KPI). F(x1,x2,…,xn)=[x1+f(0,x2,…,xn)][x1+f(1,x2,…,xn)]

Minimalizacja Minimalizacja jest to poszukiwanie takiej postaci funkcji opisującej działanie danego układu w którym występuje minimalna liczba znaków, bramek itp. Układ o mniejszej liczbie elementów jest tańszy i bardziej niezawodny.

Przykład I Minimalizacja za pomocą tablicy Karnaugha zapisanej w postaci kanonicznej postaci sumy oraz za pomocą kanonicznej postaci iloczynowej. f(c, b, a) = Σ[1, 3, 5, 6, 7, (0)] a cb 1 00 - 01 11 10 a cb 1 00 - 01 11 10 f(c,b,a) = cb + a F(c,b,a) = (c+a)(b+a)

cb(a+a) = ca + ca + cb = cb + a(c+c) = cb + a Przykład II Minimalizacja funkcji za pomocą kanonicznej postaci sumy oraz za pomocą bramek logicznych. _ _ _ _ _ _ _ _ f(c,b,a)=Σ[1,3,5,6,7] = cba + cba +cba +cba + cba + cba = ca(b+b) + ca(b+b) + _ _ _ cb(a+a) = ca + ca + cb = cb + a(c+c) = cb + a

c b a cb+a

Przykład III Minimalizacja funkcji za pomocą kanonicznej postaci iloczynowej oraz za pomocą bramek logicznych. _ _ F(c,b,a)=Π[2,4,(0)]= (c + b + a)(c + b + a)(c + b + a)(c + b + a)= (c + a)(b + a)

c b a (c+a)(b+a)