Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Matematyka jest delikatnym kwiatem, który rośnie nie na każdej glebie i zakwita nie wiadomo kiedy i jak..” Jean Fabre

WYKORZYSTANIE RÓWNAŃ DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH – ROZTWORY Solanki, syropy i inne roztwory potrafią przyprawić o ból głowy. Chemia to nie jedyny przedmiot na którym przychodzi się z nimi zmierzyć, często na matematyce pojawiają się zadania tekstowe dotyczące roztworów. Na szczęście w większości zadania tego typu rozwiązuje się stosując podobne algorytmy.

CO NALEŻY ZROBIĆ ABY ROZWIĄZAĆ ZADANIE TEKSTOWE. Przeczytaj uważnie treść zadania Oznacz niewiadomą w zadaniu Przeanalizuj treść zadania Ułóż równanie Rozwiąż równanie Sprawdź poprawność rozwiązania i jego zgodność z treścią zadania Sformułuj odpowiedź

ROZTWÓR. Roztwór to mieszanina rozpuszczalnika (najczęściej wody) i substancji rozpuszczanej. Mówimy, że roztwór jest czteroprocentowy, gdy masa substancji rozpuszczonej stanowi 4% masy całego roztworu. Stężenie procentowe roztworu można obliczyć według wzoru: p – stężenie procentowe roztworu s – masa substancji rozpuszczonej r – masa roztworu (r = masa rozpuszczalnika + s)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. W 3 l wody rozpuszczono 2 kg soli. Jakie jest stężenie procentowe tak otrzymanej solanki? Analiza zadania: x – stężenie procentowe solanki 3 kg – masa wody 2 kg – masa soli 3 kg + 2 kg = 5 kg – masa roztworu Rozwiązanie (korzystamy ze wzoru): x = 40% Odpowiedź: Stężenie tej solanki wynosi 40%.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Ile soli należy wsypać do 1,5 l wody aby otrzymać roztwór dziesięcioprocentowy? Analiza zadania: x – masa soli, którą trzeba wsypać 1,5 kg – masa wody 10% - stężenie roztworu (1,5 + x) kg – masa roztworu Rozwiązanie (korzystamy ze wzoru): 10% ∙ (1,5 + x) = x ∙ 100% | : 100%

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. 0,1 ∙ (1,5 + x) = x 0,15 + 0,1x = x | - 0,1x 0,15 = 0,9x | :0,9 Odpowiedź: Aby otrzymać roztwór dziesięcioprocentowy należy wsypać kg soli.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Ile wody należy dolać do 20 kg solanki pięcioprocentowej, aby otrzymać solankę czteroprocentową? Analiza zadania: x – masa wody, którą należy dolać 20 kg – masa „starego” roztworu 5% - stężenie „starego” roztworu 0,05 ∙ 20 kg – masa soli w „starym” roztworze (20 + x) kg – masa „nowego” roztwory 4% - stężenie „nowego” roztworu 0,04 ∙ (20 + x) kg – masa soli w „nowym” roztworze

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Zauważmy, że w nowym roztworze zmienia się tylko masa wody, masa soli pozostaje bez zmian, na tej podstawie możemy zbudować równanie: 0,04 ∙ (20 + x) = 0,05 ∙ 20 0,8 + 0,04x = 1

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Rozwiązanie równania: 0,8 + 0,04x = 1 | - 0,8 od obu stron równania odejmuję 0,8 0,04x = 0,2 | :0,04 obie strony równania dzielę przez 0,04 x = 5 (kg) Dla uproszczenia podczas rozwiązywania równania nie zapisywaliśmy jednostek, dlatego przy rozwiązaniu jednostka jest zapisania w nawiasie (). 5 kg wody to oczywiście 5 l wody. Odpowiedź: Aby otrzymać solankę czteroprocentową należy dolać 5 l wody.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Ile soli należy dosypać do 5 kg solanki pięcioprocentowej aby otrzymać solankę dziesięcioprocentową? Analiza zadania: x – masa soli, którą trzeba dosypać 5 kg – masa starego roztworu 5% - stężenie starego roztworu 0,05 ∙ 5kg – masa soli w starym roztworze (5 + x) kg – masa nowego roztworu 10% - stężenie nowego roztworu 0,1 ∙ (5 + x) kg – masa soli w nowym roztworze

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. Masa soli w starym roztworze jest o x kg mniejsza od masy soli w nowym roztworze, na tej podstawie tworzymy równanie: 0,05 ∙ 5 + x = 0,1(5 + x) 0,25 + x = 0,5 + 0,1x

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 4 – ciąg dalszy. Rozwiązanie równania: 0,25 + x = 0,5 + 0,1x x – 0,1x = 0,5 - 0,25 0,9x = 0,25 | : 0,9 przenoszę niewiadome na lewą, a liczby na prawą stronę równania Odpowiedź: Należy dosypać kg soli, czyli około 28 dag.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 5. Do piętnastoprocentowego syropu dolano 10 kg wody i otrzymano syrop dziesięcioprocentowy. Jaka jest całkowita masa otrzymanego syropu? x – masa nowego syropu (x – 10) kg – masa starego syropu 15% - stężenie starego syropu 0,15 ∙ (x – 10) kg - masa cukru w starym syropie 10% - stężenie nowego syropu 0,1x – masa cukru w nowym syropie. Zmieniła się tylko ilość wody, więc możemy porównać masę cukru w obu syropach.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 5 – ciąg dalszy. Ułożenie równania: 0,15 ∙ (x – 10) = 0,1x 0,15x – 1,5 = 0,1x Rozwiązanie równania: 0,15x – 0,1x = 1,5 0,05x = 1,5 | :0,05 x = 30 (kg) Odpowiedź: Całkowita masa nowego syropu wynosi 30 kg. przenoszę niewiadome na lewą, a liczby na prawą stronę równania

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 6. Z 15 kg syropu jednoprocentowego odparowano wodę i otrzymano syrop półtoraprocentowy. Ile wody odparowano? Analiza zadania: x – masa odparowanej wody 15 kg – masa starego syropu 1% - stężenie starego syropu 0,01 ∙ 15 kg – ilość cukru w starym syropie (15 – x) kg – masa nowego syropu 1,5% - stężenie nowego syropu 0,015 ∙ (15 – x) kg – masa cukru w nowym syropie

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 6 – ciąg dalszy. Podobnie jak poprzednio porównujemy masę substancji rozpuszczonej, bo ta się nie zmieniła: 0,01 ∙ 15 = 0,015 ∙ (15 – x) 0,15 = 0,225 – 0,015x Rozwiązanie równania: 0,015x = 0,225 – 0,15 0,015x = 0,075 | : 0,015 x = 5 (kg) Odpowiedź: Odparowano 5 kg wody.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 7. Ile kilogramów roztworu czterdziestoprocentowego należy zmieszać z 2 kilogramami roztworu trzydziestoprocentowego, aby otrzymać roztwór trzydziestopięcioprocentowy? Analiza zadania: x – masa roztworu 40% którą należy dolać 0,4 ∙ x – masa substancji rozpuszczonej w roztworze 40% 0,3 ∙ 2 kg – masa substancji rozpuszczonej w roztworze 30% 0,35 ∙ (x + 2) kg – masa substancji rozpuszczonej w roztworze 35%

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 7 – ciąg dalszy. Masa substancji rozpuszczonej w roztworze, który mamy otrzymać, stanowi sumę mas substancji rozpuszczonych z obu zmieszanych roztworów, możemy zatem zapisać następującą równość: 0,4x + 0,3 ∙ 2 = 0,35 ∙ (x + 2) 0,4x + 0,6 = 0,35x + 0,7 Rozwiązujemy równanie: 0,4x – 0,35x = 0,7 – 0,6 0,05x = 0,1 | :0,05 x = 2 (kg)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 7 – ciąg dalszy. Odpowiedź: Należy wziąć dwa kilogramy roztworu czterdziestoprocentowego. Powyższe zadania są standardowymi zadaniami tekstowymi dotyczącymi roztworów. W oparciu o nie można rozwiązywać podobne zadania – najczęściej zmieniają się wyłącznie dane liczbowe.