D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Wykład 3: Weryfikacja modelu ekonometrycznego. dr Dorota Ciołek Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG http://wzr.pl/dci dorota.ciolek@ug.edu.pl

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Etapy procesu weryfikacji Weryfikacja ekonomiczna („zdrowo rozsądkowa” ): Sprawdzenie zgodności wyników oszacowania z teorią ekonomiczną i doświadczeniem. Weryfikacja stochastyczna: Sprawdzenie prawdziwości założeń dotyczących składnika losowego – badanie własności estymatora MNK w tym modelu. Weryfikacja ilościowa: Sprawdzenie istotności zależności między zmienną endogeniczną a zmiennymi objaśniającymi, Sprawdzenie dobroci dopasowania modelu do danych rzeczywistych, Sprawdzenie poprawności doboru postaci analitycznej modelu.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Weryfikacja stochastyczna: Weryfikacja hipotezy o normalności rozkładu składnika losowego. Weryfikacja hipotezy o braku autokorelacji składników losowych. Weryfikacja hipotezy o stałości wariancji składników losowych. Jeżeli powyższe hipotezy są prawdziwe wówczas: estymator MNK parametrów strukturalnych liniowego modelu ekonometrycznego jest estymatorem nieobciążonym, zgodnym i najbardziej efektywnym w klasie estymatorów nieobciążonych – BLUE.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 I Normalność rozkładu składnika losowego Stosując większość testów statystycznych zakładamy, że badana zmienna ma rozkład normalny. Testowanie normalności rozkładu np. Test Jarque,a-Bery W rozkładzie normalnym: miara skośności S=0 miara kurtozy K=3 gdzie - drugi, trzeci i czwarty moment centralny rozkładu.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 I Normalność rozkładu składnika losowego Hipotezy testu: Statystyka z próby: Statystyka ma asymptotycznie rozkład . Prawostronny obszar krytyczny określony przez . Test ma zastosowanie tylko dla dużych prób.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 I Normalność rozkładu składnika losowego W przypadku niespełniania założenia o normalności: Zmodyfikować metody uwzględniając inny, lepszy w danym przypadku rozkład: gamma, log-normalny, itd. Dokonać transformacji zmiennych (np. zlogarytmować, podnieść do potęgi) tak, aby uzyskać rozkład normalny. Przykładem takiej transformacji jest transformacja Boxa-Coxa.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Autokorelacja składników losowych Jeżeli składniki losowe z okresu t nie przenoszą swego oddziaływania na okres następne – brak autokorelacji: Występuje autokorelacja składników losowych, wówczas gdy: Jeżeli w modelu występuje autokorelacja rzędy 1, możemy zapisać: gdzie: to współczynnik autokorelacji rzędu 1, to błąd czysto losowy.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Autokorelacja składników losowych Autokorelacja w modelu może być autokorelacją dodatnią: Wtedy, gdy obok siebie występować będą seriami składniki losowe takich samych znaków

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Autokorelacja składników losowych Autokorelacja w modelu może być autokorelacją ujemną: Wtedy, gdy obok siebie występują składniki losowe o różnych znakach.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Autokorelacja składników losowych W praktyce jednak badanie autokorelacji składników losowych nie jest takie proste.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Autokorelacja składników losowych W modelach dla danych przekrojowych występowanie autokorelacji należy rozważać w inny sposób. Jeżeli kolejność ustawienia badanych jednostek jest dowolna wówczas nie można ustalić wiarygodnej wartości współczynnika autokorelacji. Jeżeli kolejność ustawienia jednostek jest określona: sąsiednie regiony lub państwa, sąsiadki na osiedlu, itp. wówczas występowanie autokorelacji składników losowych możemy interpretować jako efekt naśladowanictwa. W modelach przekrojowych nie badamy autokorelacji w czasie. (Możemy mieć ewentualnie do czynienia z autokorelacją przestrzenną*).

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Przyczyny autokorelacja składników losowych Pominięcie w modelu ważnej zmiennej egzogenicznej. Niewłaściwy dobór opóźnień zmiennych objaśniających. Efekt „wygasającego echa” – czynnik przypadkowy, który w pewnym momencie zadziałał ze znaczną siłą i jego działanie ma swoje skutki w następnych okresach – autokorelacja dodatnia. Wybór niewłaściwej postaci analitycznej modelu. Uwzględnienie w modelu zbyt dużej liczby zmiennych objaśniających przypadkowo dobranych. Pominięcie efektu sezonowości analizowanej zmiennej endogenicznej.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Skutki autokorelacja składników losowych MNK przestaje być BLUE – nadal jest estymatorem nieobciążonym, ale przestaje być najefektywniejszy. Wariancja resztowa staje się obciążonym estymatorem wariancji składników losowych. Obciążone i nieefektywne stają się estymatory błędów szacunku parametrów strukturalnych. Błędne są wyniki testów istotności. Niewiarygodne syntetyczne miary dopasowania.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Testowanie występowania autokorelacji Testowanie zachowania składników losowych przeprowadzamy na szeregu reszt uzyskanych z modelu oszacowanego MNK. 1) Test Durbina-Watsona - Służy do badania autokorelacji rzędu pierwszego Statystyka z próby: Jeżeli w modelu podejrzewamy występowanie autokorelacji dodatniej, wówczas hipotezy testu:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Testowanie występowania autokorelacji Jeżeli w modelu podejrzewamy występowanie autokorelacji ujemnej, wówczas hipotezy testu: W takim przypadku wyliczamy nową wartość statystyki: W obu przypadkach z tablic testu Durbina-Watsona odczytujemy dwie wartości krytyczne (dla liczby obserwacji T i liczby zmiennych objaśniających k):

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Testowanie występowania autokorelacji Reguła decyzyjna: Jeżeli , to odrzucamy hipotezę zerową. Jeżeli , brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Jeżeli , to wartość statystyki znajduje się w tzw. obszarze niekonkluzywności testu, test DW nie daje odpowiedzi, czy w modelu występuje autokorelacja składników losowych. Relacja między statystyką DW a współczynnikiem autokorelacji: -1 1 DW 4 2

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Testowanie występowania autokorelacji Warunki stosowania testu Durbina-Watsona: W modelu musi występować wyraz wolny. Zmienne objaśniające muszą być nielosowe. Wśród zmiennych objaśniających nie może znajdować się zmienna endogeniczna opóźniona w czasie. Liczba obserwacji powinna być wystarczająco duża: im mniejsza liczba obserwacji tym szerszy przedział niekonkluzywności testu. Należy pamiętać, że test DW bada tylko autokorelację rzędu pierwszego (pomiędzy sąsiednimi obserwacjami).

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Testowanie występowania autokorelacji Dla modeli, w których zmiennymi objaśniającymi są zmienne endogeniczne opóźnione w czasie: 2) Test h Durbina Hipotezy testu: Statystyka z próby: gdzie jest empiryczną wariancją błędu estymacji parametru , T oznacza liczebność próby, zaś oznacza współczynnik autokorelacji reszt MNK.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Testowanie występowania autokorelacji Statystyka h ma asymptotycznie rozkład normalny standaryzowany: Wartości krytyczne dla testu h: Hipoteza zerowa jest odrzucana wówczas, gdy: Testu nie można zastosować, gdy:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Sposoby eliminacji autokorelacji z modelu 1) Rozpoznanie przyczyn występowania autokorelacji i odpowiednia zmiana konstrukcji modelu: - dołączenie nowej zmiennej objaśniającej, - zdynamizowanie modelu, bądź zmiana opóźnień, - dołączenie zmiennej lub funkcji tej zmiennej, by wyodrębnić nadzwyczajny efekt czynnika losowego, - zmianie postaci analitycznej modelu, - redukcji liczby zmiennych objaśniających (zmniejszenie efektów pozornego wyjaśnienia), - dołączeniu zmiennej cyklicznej dwuokresowej.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 II Sposoby eliminacji autokorelacji z modelu 2) Zastosowanie innej niż MNK metody szacowania parametrów strukturalnych – Uogólnione Metody Najmniejszych Kwadratów. Metody te polegają na odpowiednim przekształceniu pierwotnych obserwacji zmiennych modelu, tak by wyeliminować z nich autokorelację i następnie na oszacowaniu modelu MNK.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 III Stałość wariancji składników losowych Homoskedastyczność – składniki losowe w modelu mają stałą wariancję. Heteroskedastyczność – składniki losowe w modelu nie mają stałej wariancji. Reszty są większe, im większe są wartości zmiennej objaśniającej. tzn. Wariancja reszt jest zmienna.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 III Testowanie heteroskedastyczności Z własności numerycznych MNK wynika, że reszty są nieskorelowane ze zmiennymi objaśniającymi. Dlatego bada się np. zależność reszt od wartości zmiennych podniesionych do kwadratów, do potęgi trzeciej itd. – różne testy. Test White’a W jednej z wersji wykorzystuje regresję kwadratów reszt ze względu na stałą i kwadraty wartości teoretycznej zmiennej endogenicznej: Badamy, czy parametr α1 jest statystycznie istotny.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 III Testowanie heteroskedastyczności Hipotezy testu: Ho odrzucamy, gdy parametr α1 okaże się statystycznie istotny, tzn. że wartości reszt wzrastają lub zmniejszają się wraz ze wzrostem wartości wszystkich zmiennych objaśniających w modelu – wariancja reszt nie jest stała. Statystyka testu W wyliczana w pakietach komputerowych ma dwie wersje: Dla dużych prób: Dla małych prób:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 III Skutki heteroskedastyczności Estymator MNK parametrów strukturalnych nadal jest estymatorem nieobciążonym, ale staje się nieefektywny. Obciążone oceny błędów szacunku parametrów strukturalnych. Niewiarygodne wyniki testów istotności. Sposoby rozwiązania problemu Stosujemy Ważoną Metodę Najmniejszych Kwadratów (WMNK). Wykorzystujemy tzw., deflatory, które zmieniają poziom wartości zmiennych. Transformujemy dane do postaci logarytmicznej.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 IV Testowanie poprawności wyboru postaci analitycznej Test Ramseya (RESET - test) Testuje, czy postać liniowa jest poprawna, czy też należałoby wybrać wielomian wyższego stopnia. W jednej z wersji testu sprawdzane jest, czy podniesione do kolejnych potęg wartości teoretyczne zmiennej endogenicznej nie są pominiętymi zmiennymi w modelu. Hipotezy testu:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 IV Testowanie poprawności wyboru postaci analitycznej Statystyka dla dużych prób: gdzie: - suma kwadratów reszt z modelu bez wartości teoretycznych y. - suma kwadratów reszt z modelu poszerzonego. Statystyka dla małych prób:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 V Istotność parametrów strukturalnych 1) Test t-Studenta indywidualnej istotności parametru strukturalnego Hipotezy: Statystyka z próby: Iloraz ten na rozkład:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 V Istotność parametrów strukturalnych W hipotezie zerowej mamy równość stąd: obszar krytyczny jest obszarem dwustronnym Pole obszaru krytycznego w każdym teście jest równe poziomowi istotności (stąd konieczność podzielenia na 2). W teście t-Studenta H0 odrzucamy gdy: Mówimy wówczas, że: Parametr statystycznie różni się od zera, jest statystycznie istotny. Zmienna objaśniająca stojąca przy tym parametrze ma statystycznie istotny wpływ na zmienną endogeniczną.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 V Istotność parametrów strukturalnych 2) Test F łącznej istotności parametru strukturalnego Hipotezy: Statystyka z próby: Statystyka na rozkład:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Do wszystkich testów statystycznych Prawdopodobieństwo empiryczne – wartość-p, prob, p-value, jest to prawdopodobieństwo przyjęcia przez statystykę wartości nie mniejszej od uzyskanej wartości statystyki z próby, przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa – tzw. prawdopodobieństwo empiryczne. Reguła decyzyjna: wartość p >  - brak podstaw do odrzucenia H0. wartość p   - odrzucamy H0. Inaczej wartość p oznacza poziom istotności, powyżej którego należy odrzucić hipotezę zerową.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Estymacja przedziałowa Iloraz różnicy między oceną parametru a jego rzeczywistą wartością ma rozkład t-Studenta: Wartości pochodzące z rozkładu t-Studenta są skoncentrowane wokół zera, a prawdopodobieństwo pojawienie się wartości dużych jest bliskie 0. Zatem można zapisać:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Estymacja przedziałowa Otrzymujemy: Jest to przedział ufności dla parametru strukturalnego. Z prawdopodobieństwem równym współczynnikowi ufności, powyższy przedział zawiera nieznany parametr strukturalny

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Macierz wariancji i kowariancji błędów estymacji parametrów strukturalnych Błędy estymacji parametrów strukturalnych: Relacje między błędami zapisać można w postaci wariancji i kowariancji, które tworzą tzw. macierz wariancji i kowariancji błędów:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Macierz wariancji i kowariancji błędów estymacji parametrów strukturalnych Na głównej przekątnej macierzy znajdują się wariancje błędów, poza główną przekątną – kowariancje. Macierz jest macierzą symetryczną.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Macierz wariancji i kowariancji błędów estymacji parametrów strukturalnych Macierz ta przyjmuje następującą postać: gdzie oznacza wariancję składników losowych. Nieznaną wariancję zastępujemy wariancją reszt modelu: Otrzymamy wówczas próbkową macierz . Pierwiastki z elementów na głównej przekątnej są błędami szacunku parametrów strukturalnych.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Błędy szacunku parametrów strukturalnych Oszacowany model regresji wielorakiej można zapisać: Interpretacja: Szacując parametr mylimy się średnio in plus, in minus . lub uwzględniamy błąd szacunku w interpretacji parametru strukturalnego.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Syntetyczne miary dopasowania 1) Średni błąd resztowy (odchylenie standardowe reszt) określa, o ile jednostek (in plus; in minus), przeciętnie rzecz biorąc, zaobserwowane wartości zmiennej endogenicznej odchylają się od wartości teoretycznych (wyznaczonych na podstawie oszacowanego modelu) tej zmiennej. 2) Współczynnik zmienności losowej Informuje o tym, jaki jest procentowy udział średniego błędu reszt w średniej wartości zmiennej endogenicznej.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Syntetyczne miary dopasowania Zmienność zmiennej endogenicznej można podzielić: zmienność rzeczywista = zmienność teoretyczna + zmienność reszt. Dzieląc obie strony równości przez zmienność rzeczywistą otrzymujemy:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Syntetyczne miary dopasowania 3) Współczynnik determinacji Informuje, jaka część całkowitej zmienności zmiennej endogenicznej została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny. 4) Współczynnik zbieżności (indeterminacji) Informuje, jaka część rzeczywistej zmienności zmiennej endogenicznej nie została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny, tj. kształtuje się pod wpływem czynników nieuwzględnionych w modelu empirycznym.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Syntetyczne miary dopasowania Jeżeli w modelu występuje wyraz wolny, to: oraz W każdym przypadku suma obu współczynników: Należy pamiętać, że: W przypadku szacowania modelu dla niestacjonarnych szeregów czasowych, wraz ze wzrostem liczebności próby, obie miary stają się obciążone i oceniają dopasowanie zbyt optymistyczne.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Efekt pozornego wyjaśniania Suma kwadratów reszt zależy od liczby zmiennych objaśniających w modelu – im większa liczba zmiennych tym mniejsza suma kwadratów reszt. W modelu z bardzo dużą ilością zmiennych objaśniających możemy uzyskać sumę kwadratów reszt = 0. Wartość współczynnik determinacji wzrasta wraz z dodawaniem nowych zmiennych objaśniających, niezależnie od tego czy nowe zmienne mają istotny wpływ na zmiany zmiennej endogenicznej. Oba współczynniki należy skorygować uwzględniając liczbę zmiennych objaśniających w modelu.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Syntetyczne miary dopasowania Korekta o liczbę stopni swobody: 5) Skorygowany współczynnik zbieżności (indeterminacji) 6) Skorygowany współczynnik determinacji Po uwzględnieniu liczby stopni swobody w modelu, informuje, jaka część całkowitej zmienności zmiennej endogenicznej została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Syntetyczne miary dopasowania Skorygowany współczynnik zbieżności: gdzie - wariancja resztowa, - wariancja zmiennej endogenicznej. W modelu z więcej niż jedną zmienną objaśniającą:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Syntetyczne miary dopasowania Wartość zwykłego współczynnika determinacji wzrasta wraz z dodawaniem do modelu nowej zmiennej objaśniającej. Wartość skorygowanego współczynnika wzrasta tylko wówczas, gdy dołączane zmienne mają istotny wpływ na zmienność zmiennej endogenicznej. Miary skorygowane: wykorzystuje się do porównywania różnych modeli, z różną liczbą zmiennych objaśniających. Niewielka różnica miedzy i świadczy o braku efektu ,,pozornego wyjaśnienia’’.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Syntetyczne miary dopasowania 7) Współczynnik korelacji wielorakiej W modelu z wyrazem wolnym, jest to współczynnik korelacji liniowej Pearsona między wartościami rzeczywistymi a teoretycznymi zmiennej endogenicznej. 8) Skorygowany współczynnik korelacji wielorakiej

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Model regresji bez wyrazu wolnego Regresja przez początek układu współrzędnych: - gdy wymaga tego teoria ekonomiczna, - gdy wyraz wolny znika w wyniku przekształceń zmiennych. Konsekwencje: Współczynnik determinacji może przyjmować wartości mniejsze niż 0 i wartości większe niż 100%. Uzyskujemy niedoszacowane błędy szacunku parametrów strukturalnych. Nie możemy korzystać z niektórych testów statystycznych. Współczynnik determinacji powinno się liczyć jako kwadrat współczynnika korelacji miedzy wartościami rzeczywistymi i teoretycznymi zmiennej endogenicznej.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 3 Na co należy zwrócić szczególną uwagę (podsumowanie): Na czym polega weryfikacja model ekonometrycznego? Z jakich etapów składa się weryfikacja? Dlaczego ważna jest normalność rozkładu składnika losowego? Hipotezy testu badającego normalność. Dlaczego ważne jest założenie o braku autokorelacji i stałości wariancji? Hipotezy testu na brak autokorelacji. Hipotezy testu na stałość wariancji (homoscedastyczność). Test na postać analityczną modelu. Co bada test istotności – jakie ma hipotezy (test t-Studenta i test F)? Jak interpretujemy wartość p dla każdego testu? Przedziały ufności dla parametrów strukturalnych. Miary dopasowania i ich interpretacja. Na czym polega efekt pozornego wyjaśniania?