Astronomia gwiazdowa i pozagalaktyczna II Obserwacje we Wszechświatach Friedmana: odległości i pomiary M. Demiański “Astrofizyka relatywistyczna”, rozdział 10

Odległości kosmiczne - podsumowanie W sumie w kosmologii używamy czterech podstawowych skal odległości:  odległość jasnościowa, luminosity distance D L  odległość średnicy kątowej, D A  odległość współporuszająca D C  odległość czasu wędrówki światła D T

Odległości kosmiczne - podsumowanie odległość jasnościowa, luminosity distance D L odległość średnicy kątowej, D A odległość współporuszająca D C odległość czasu wędrówki światła D T Dla małych z (~0.3, odl. < 2 mld lat świetlnych) wszystkie sprowadzają się do tego samego, ale później...

Odległości w praktyce Ponieważ jedynym “odległościowym” pomiarem w większości wypadków jest z, dla wszelkich praktycznych zastosowań interesuje nas przede wszystkim:  jak możemy powiązać redshift z odległością (jakąkolwiek!)‏  Co jest powiązane w kwestią: jak powiązać redshift z czasem

Relacja czas-redshift Dynamiczne równania Friedmana można zapisać m.in. jako: I wyeliminować człon geometryczny podstawiając w drugim r-niu obecne wartości: a=1 a z kropką = H 0. Wtedy

Relacja czas-redshift Co daje: Podstawiając a = 1/(1+z) dostaniemy: Czyli czas kosmiczny mierzony od Wielkiego Wybuchu (t=0, z=nieskończoność) do t (z) będzie:

Relacja czas-redshift a wiek Wszechswiata We Wszechświecie bez stałej kosmologicznej:  dla Ω 0 >1 wprowadzamy x = (Ω 0 -1)/[Ω 0 (1+z)] i: a dla Ω 0 <1 wprowadzamy y = (1-Ω 0 )/[Ω 0 (1+z)] i: Dla z>>1, Ω 0 z>>1 obie te relacje redukują się do:

Relacja czas-redshift i wiek Wszechswiata we Wszechświecie bez stałej kosmologicznej We Wszechświecie bez stałej kosmologicznej wiek Wszechświata jest monotoniczną funkcją Ω 0. Obecny wiek Wszechświata otrzymamy wstawiając z=0 W pustym Wszechświecie Milne'a: wiek Wszechświata = 1/H 0. W modelu krytycznym Ω 0 =1 wiek Wszechświata = 2/3 1/H 0.

Relacja czas-redshift Ze stałą kosmologiczną, ale dla płaskiej geometrii (Ω 0 + Ω Λ =1): Wtedy wprowadzając Dostaniemy:

Relacja czas-redshift Wtedy obecny wiek Wszechświata (z=0): Istnieją więc płaskie Wszechświaty Friedmana starsze niż 1/H 0 (np. dla Ω Λ =0.9 t 0 = /H 0 )‏ Ale dziwnym trafem model zgody Ω Λ = 0.7 i Ω m = 0.3 daje t 0 = /H 0, czyli praktycznie 1: problem koincydencji Czy to przypadek, czy nasza zla interpretacja?

Odległość w funkcji z W ogólnym przypadku: skoro Możemy wykorzystać zależność między dt i dz i dostajemy: stąd możemy też policzyć miarę odległości, pamiętając, że

Odległość w funkcji z: wzory Mattiga Bez stałej kosmologicznej i dla Ω 0 <1 możemy policzyć odległość r i miarę odległości D: Są to tzw. wzory Mattiga

Wzory Mattiga vs prawo Hubble'a Porównanie “odległości” wyliczonej z prawa Hubble'a (najwyższa linia prosta), potrzebnej np. w równaniach kosmologicznych wiążących element objętości z z i poprawnej relacji "odległość" - redshift dla dwóch wartości parametru deleleracji, (Mattig 1958)

Wzory Mattiga vs prawo Hubble'a Porównanie ilości zliczeń (number counts) dla jednorodnego rozkładu materii - w przestrzeni Euklidesowej, wyliczone przez Hubble'a (logN~0.6m) z poprawnym przewidywaniem w przestrzeni Friedmana, w zależności od parametru deceleracji (Mattig 1958)

Odległość w funkcji z: dla Ω Λ różnej od 0 Ze stałą kosmologiczną i dla Ω 0 <1 możemy policzyć odległość r i miarę odległości D:  rozwiązania w postaci funkcji specjalnych (eliptycznych)‏  ale najczęściej równanie na r całkuje się numerycznie  generalnie: im więcej materii we Wszechświecie, tym wolniej odległość rośnie z z

Z tych zależności wynika cały szereg zależności pochodnych, używanych w kosmologii rozmiar kątowy vs z gęstość promieniowania vs z objętość współporuszająca vs z

Rozmiar kątowy vs z Poza modelem pustego Wszechświata - zawsze istnieje minimum relacji między wielkością kątową a z, pojawiające się przy  z=1.25 (model krytyczny Ω 0 =1) i dla coraz większego z z rosnącą gęstością Wszechświata  prosta = “intuicyjny” model przestrzeni euklidesowej

Rozmiar kątowy vs z Poza modelem pustego Wszechświata - zawsze istnieje minimum relacji między wielkością kątową a z, pojawiające się przy  z=1.25 (model krytyczny Ω 0 =1) i dla coraz większego z z rosnącą gęstością Wszechświata  prosta = “intuicyjny” model przestrzeni euklidesowej  Do testoiw wykorzystuje sie np. kwazary albo pary kwazarow

Tzw. “Ly-α blobs” obserwowane dla duzych z (5 i wiecej) maja duze katowe rozmiary przypuszczalnie dzieki tej zaleznosci z-wielkosc kat.

Gęstość strumienia promieniowania vs z Zależy od widma – np. dla obiektów o ustalonym widmie potęgowym L(ν)~ν -1 będzie spadać szybciej we Wszechświatach o małej gęstości, ale bardziej przy niezerowej stałej kosmologicznej. dla galaktyk musimy uwzględnić poprawkę K dzięki tej relacji obiekty o stałej jasności (SNIa) mogą służyć do wyznaczania modelu kosmologicznego.

Gęstość promieniowania vs z “Ghost images” - wielokrotne “widmowe” obrazy obiektów W modelach Lemaitra (k=1) w niektórych przypadkach Wszechświat może składać się z zamkniętych sferycznych “sekcji”. Światło ma dość czasu, żeby dotrzeć w ten sam punkt wiele razy podróżując wokół zamkniętej geometrii Wszechświata -> Ten sam obiekt możemy w przeciwnych kierunkach obserwować wiele razy (ale z różnym z)‏

Współporuszająca objętość vs z Bez stałej kosmologicznej: dla modelu krytycznego: dla innych przypadków: bardziej skomplikowane wzory z sin i sinh dla małych z, V(z) rośnie jak z 2 dz ale dla dużych z V(z) maleje jak z -3/2 dz -> na jednostkę przesunięcia ku czerwieni dz przypada mniej źródeł, nawet jeśli ich gęstość liczbowa jest stała -> trudniej znajduje sie obiekty o dużym z, trzeba przebadac wieksza objetosc

Współporuszająca objętość vs z ze stałą kosmologiczną: większa objętość dla tego samego z, ze względu na “rozciągnięcie” skali

Problem płaskości Stała Hubble'a jest funkcją czasu: Podobnie zmienia się (calkowity) parametr gęstości Ω:

Problem płaskości Dla dużych z (czyli we wczesnym Wszechswiecie) Ω dąży do 1, niezależnie od wartości Ω 0 obecnie. Zaniedbując Ω Λ (które dynamicznie i tak nie odgrywa żadnej roli dla dużych z), możemy zapisać A w erze dominacji promieniowania zależność byłaby nawet ~(1+z) -2

Problem płaskości Dynamika rozmaitych modeli Wszechświata nie ma znaczenia przy dużych z -> różnicowanie tych modeli następuje dopiero w późnych etapach ewolucji Wszechświata, ale potem bardzo szybko modele sie “rozjezdzaja” Z drugiej strony: dlaczego obecnie mamy wartość Ω 0 tak bliską 1, bo 0.3? Oznacza to, że w przeszłości Ω musiała niesłychanie blisko 1, bo w przeciwnym razie obecnie różnica byłaby znacznie większa także -> CMB-> k=0 -> Ω=1. -> Problem płaskości: skąd tak “dokładny” dobór parametru Ω? Jedyną “stabilną” wartością Ω 0 jest 1 – czemu jej wartosc jest tak bliska 1?

Problem horyzontu Horyzont cząstek – dla danej epoki t, maksymalna odległość, dla której między cząstkami mogły istnieć związki przyczynowo-skutkowe (“komunikacja”)‏ innymi słowy: odległość, jaką sygnał świetlny mógł przebyć od t=0 (Wielki Wybuch) do epoki t. (biorąc pod uwagę zmienną prędkość rozszerzania się Wszechświata)‏

Problem horyzontu Korzystamy z odległości współporuszającej (albo odległości własnej) r(t) = a(t) r (czyli przeskalowanej przez czynnik skali)‏ Współporuszająca odległość radialna odpowiadająca odległości przebytej przez światło od początku Wszechświata (t=0) do epoki t:

Problem horyzontu (Inne granice niż w “normalnie” liczonej odległości: tu od z= nieskończoność do pewnego z, czy też od a=0 do a)‏ Horyzont cząstek r H (t) w epoce t możemy zapisać więc jako:

Problem horyzontu dla Wszechświata bez stałej kosmologicznej, dostajemy:  dla Ω 0 >1: dla Ω 0 <1: i dla Wszechświata Einsteina-de Sittera Ω 0 = 1:

Problem horyzontu dla Wszechświata Einsteina-de Sittera Ω 0 = 1: dla wczesnych epok Wszechświata, czyli dla małych wartości a także dla pozostałych modeli mamy podobną relację, tylko przemnożoną przez inną stałą:

Problem horyzontu Dla Wszechświatów ze stałą kosmologiczną relację wyglądają podobnie, np. dla modelu płaskiego (k=0): dla wczesnych epok Wszechświata, czyli dla dużych z, dostajemy dokładnie ten sam wynik, jak dla Wszechświata bez stałej kosmologicznej:

Problem horyzontu Czyli w każdym przypadku we wczesnej fazie ewolucji Wszechświata promień horyzontu (W nierozszerzającej się przestrzeni spodziewalibyśmy się po prostu odległości = ct; czynnik 3 bierze się z faktu, że we wcześniejszej epoce fundamentalni obserwatorzy są bliżej – później, w rozszerzonym Wszechświecie pozostają powiązani przyczynowo nawet dla odległości > ct.)‏

Problem horyzontu Dla ery dominacji promieniowania (czyli w praktyce z>3530), gdzie a~t^{1/2}, a nie 2/3, można przeprowadzić podobny rachunek, który daje. Czyli we Wszechświecie zdominowanym przez promieniowanie horyzont powiększa się z czasem wolniej niż we Wszechświecie zdominowanym przez materię.

Problem horyzontu Gdzie tu problem? Policzmy kąt na niebie, jakiemu dziś odpowiada horyzont cząstek z epoki, kiedy wyemitowane zostało CMB, czyli Z~1000 Dla uproszczenia załóżmy zerową stałą kosmologiczną. Dla dużych z miarę odległości D możemy przybliżyć przez D=(2c)/H 0 Ω 0. Dla Ω 0 = 0.3 i Ω Λ =0.7 rachunek będzie nieco bardziej skomplikowany i dostaniemy

Problem horyzontu Oznacza to, że we Wszechświatach Friedmana obszary, oddzielone od siebie o więcej niż dwa stopnie na niebie, w epoce rekombinacji nie były przyczynowo powiązane. Dlaczego więc CMB na całym niebie wygląda identycznie? Czy mamy przyjąć, że takie po prostu były warunki początkowe?

Problem horyzontu: co robi inflacja Modele inflacyjne próbują rozwiązać ten problem, wprowadzając we wczesnej fazie istnienia Wszechświata okres eksponencjalnej ekspansji. Załóżmy, że pomiędzy t1 a t2, czyli a1 i a1 a(t) nie zachowywało się ani zgodnie z równaniem stanu materii, ani promieniowania: a ~ exp(αt)‏ Wtedy pod koniec tej epoki:

Problem horyzontu: co robi inflacja Jeśli czynnik α(t1-t2) będzie dostatecznie duży, to horyzont może okazać się znacznie większy od c(t1-t2). Epoka inflacyjna trwała krótko, więc czynnik α musiał być olbrzymi, żeby rozmiar horyzontu osiągnął rozmiary obejmujące cały Wszechświat obserwowany przez nas obecnie.

Problem horyzontu: co robi inflacja Jeśli czynnik α(t1-t2) będzie dostatecznie duży, to horyzont może okazać się znacznie większy od c(t1-t2). Epoka inflacyjna trwała krótko, więc czynnik α musiał być olbrzymi, żeby rozmiar horyzontu osiągnął rozmiary obejmujące cały Wszechświat obserwowany przez nas obecnie.