Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Nie ma sensu w byciu precyzyjnym, jeśli nie wiesz nawet, o czym mówisz.” John von Neumann

WŁASNOŚCI FUNKCJI. Miejsce zerowe, monotoniczność, wartość najmniejsza i największa to najprostsze własności funkcji które poznajesz w gimnazjum. Zdobądź porządne podstawy a nie będziesz miał problemów z funkcjami w szkole ponad gimnazjalnej.

DEFINICJA FUNKCJI. Dla przypomnienia: Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zborze Y nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x należącemu do zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zboru Y. UWAGA Podkreślone elementy definicji są bardzo ważne. Niespełnienie któregoś z nich sprawia, że dane przyporządkowanie nie jest funkcją.

MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI. Miejsce zerowe funkcji jest to ten argument x  X, dla którego wartość funkcji jest równa zero (f(x) = 0). UWAGA Zgodnie z definicją miejsce zerowe to argument funkcji a nie punkt. Często popełnianym błędem jest podawanie miejsca zerowego jako punktu postaci (x, 0). Miejsce zerowe to argument, nie punkt. Funkcja może mieć wiele miejsc zerowych, może również nie mieć miejsc zerowych.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Funkcja f określona jest tabelą: Jakie są jej miejsca zerowe? Musimy znaleźć te x dla których y = 0 Miejsca zerowe tej funkcji to x = 3 oraz x = 11 x -1 3 5 9 11 13 y -12 4 8 14 x -1 3 5 9 11 13 y -12 4 8 14

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Funkcję f przedstawiono na wykresie obok. Jakie są miejsca zerowe tej funkcji? Na wykresie bardzo łatwo odczytać miejsca zerowe funkcji. Wystarczy odczytać x w których wykres przecina oś OX. Miejsca zerowe tej funkcji to: x = -3, x = -1, x = 1, x = 2 i x = 4

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Funkcję f określono grafem. Znajdź jej miejsca zerowe. Miejscem zerowym jest ten x, któremu przyporządkowano 0, a więc miejscem zerowym funkcji określonej powyższym grafem jest x = 3

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Znajdź miejsce zerowe funkcji określonej wzorem y = 2x – 4. Ab znaleźć miejsce zerowe funkcji określonej wzorem korzystamy bezpośrednio z definicji: miejsce zerowe funkcji to ten x dla którego y = 0. Wstawiamy do wzoru y = 0 i rozwiązujemy równanie: 0 = 2x – 4 4 = 2x /:2 2 = x Miejscem zerowym tej funkcji jest x = 2.

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI. Monotoniczność funkcji to określenie, czy funkcja rośnie, jest stała czy maleje. Wykres funkcji rosnącej: Funkcja f jest rosnąca gdy dla coraz większych argumentów wartości funkcji są coraz większe, czyi gdy dla każdego x1  X i x2  X takich, że x1 < x2 zachodzi: f(x1) < f(x2)

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI. Funkcja f jest malejąca gdy dla coraz większych argumentów wartości funkcji są coraz mniejsze, czyi gdy dla każdego x1  X i x2  X takich, że x1 < x2 zachodzi: f(x1) > f(x2) Wykres funkcji malejącej:

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI. Funkcja f jest stała gdy po mimo zmiany argumentów wartości funkcji się nie zmieniają, czyi gdy dla każdego x1  X i x2  X zachodzi: f(x1) = f(x2). Wzór takiej funkcji to f(x) = c gdzie c to stała (liczba, np. f(x) = 3) Wykres funkcji stałej:

NAJMNIEJSZA I NAJWIĘKSZA WARTOŚĆ FUNKCJI. Tych pojęć chyba nie trzeba definiować. Po prostu najmniejsza wartość funkcji to najmniejszy y jaki przyjmuje funkcja, a największa wartość funkcji to największy y jaki przyjmuje funkcja. PRZYKŁAD 1. Wartość największa tej funkcji: ymax = 3 Wartość najmniejsza tej funkcji ymin = -5

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Funkcja ta nie ma wartości największej (wykres biegnie w górę i po prawej nie kończy się „kółeczkiem” więc rośnie w nieskończoność). Wartość najmniejsza: ymin = -2. PRZYKŁAD 3. Wartość największa: ymax = 4. Funkcja ta nie ma wartości najmniejszej (wykres biegnie w dół i nie kończy się „kółeczkiem” więc funkcja maleje w nieskończoność)

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Podaj wartość największą i najmniejszą określonej tabelą funkcji. Wystarczy podać najmniejszy i największy y z tabeli. ymax = 4 ymin = -4 x 1 2 3 4 y -1 -4 x 1 2 3 4 y -1 -4

WARTOŚCI DODATNIE I UJEMNE NA WYKRESIE FUNKCJI. Z wykresu funkcji łatwo odczytać gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne. Jeśli wykres biegnie nad osią OX funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Jeśli wykres biegnie pod osią OX funkcja przyjmuje wartości ujemne.

WARTOŚCI DODATNIE I UJEMNE NA WYKRESIE FUNKCJI. Na wykresie kolorem czerwonym zaznaczono miejsca, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, na zielono miejsca zerowe, a na niebiesko miejsca w których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

WARTOŚCI DODATNIE I UJEMNE NA WYKRESIE FUNKCJI. Z wykresu można odczytać, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x  [-6, -5), dla x  (-1, 1) i dla x  (5, 6]. Wartości ujemne funkcja przyjmuje dla x  (-5, -1) i dla x  (1, 5). Miejsca zerowe tej funkcji to x = -5, x = -1, x = 1 i x = 5.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1. Odczytaj z wykresu własności funkcji: - dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe funkcji, monotoniczność, w jakich przedziałach funkcja przyjmuje wartości ,dodatnie a w jakich ujemne, wartość największą i najmniejszą.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1 – ciąg dalszy. - Dziedzinę funkcji odczytujemy na osi OX – są to wszystkie x dla których istnieje wykres. Wykres tej funkcji kończy się „kółeczkami” więc jej dziedzina to przedział: Df = [-6, 5].

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1 – ciąg dalszy. Zbiór wartości odczytujemy na osi OY – to wszystkie y dla których istnieje wykres. ZWf = [-2, 3].

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1 – ciąg dalszy. Miejsca zerowe to te x w których wykres przecina oś OX, mamy więc: x = -4 i x = 2. Funkcja jest rosnąca w przedziale [-6, -1), malejąca w przedziale (-1, 3), stała w przedziale (3, 5].

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1 – ciąg dalszy. Funkcja ta przyjmuje wartości ujemne dla x  (-6, -4) oraz dla x  (2, 5]. Wartości dodatnie funkcja przyjmuje dla x  (-4, 2). Największa wartość tej funkcji to ymax = 3. Najmniejsza wartość funkcji to ymin = -2.