Metody Numeryczne Ćwiczenia 9 Rozwiązywanie liniowych układów równań metodą Gaussa oraz Gaussa-Jordana.
Metoda Gaussa I Mamy dany układ równań. i-ta iteracja : mnożymy pierwszy wiersz przez i odejmujemy od i-tego wiersza i=2,3..n: następny krok:
Metoda Gaussa II Ostatecznie: Rozwiązanie tego układu równań jest proste. Rozwiązujemy go od „tyłu” tzn. obliczamy kolejno wg wzorów: .
Metoda Gaussa-Jordana I Mamy dany układ równań. Pierwsze równanie układu dzielimy przez a11(0). Następnie od i‑tego równania (i=2,3,...,n) odejmujemy przekształcony wiersz pierwszy pomnożony przez ai1(0). W efekcie otrzymujemy układ równań:. gdzie:
Metoda Gaussa-Jordana II Drugie równanie układu dzielimy przez a22(1). Następnie od i‑tego równania (i=1,3,...,n) odejmujemy przekształcony wiersz drugi pomnożony przez ai2(1). W efekcie otrzymujemy układ równań:. Metoda Gaussa-Jordana II gdzie: W k-tym (k=3,4,...,n) kroku algorytmu eliminujemy niewiadomą xk z równań postępując podobnie jak w krokach 1 i 2 metody. W konsekwencji po n-tym kroku otrzymujemy układ równań, który zwraca gotowe rozwiązanie.
Zadanie Rozwiązać liniowy układ równań metodą rozkładu Gaussa oraz Gaussa-Jordana. A[1][*] A[2][*] A[3][*] A[4][*] B[*] 3.350 3.160 4.520 2.400 15.140 -3.600 -3.230 -1.240 -4.620 -30.110 -2.680 -1.540 2.480 -0.070 -7.250 -2.350 2.900 -2.150 2.030 20.270 Rozwiązanie X[1] X[2] X[3] X[4] -0.01 2.66 -1.14 4.97
Następne zajęcia Rozwiązywanie liniowych układów równań metodą rozkładu LU.