Dynamika ruchu płaskiego MECHANIKA 2 Wykład Nr 13 Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego

Ruch postępowy ciała sztywnego Ciało sztywne porusza się ruchem postępowym, wywołanym działaniem sił zewnętrznych: , ,..., . Ruch postępowy - wszystkie punkty ciała przemieszczają się z prędkościami o jednakowych: kierunkach, zwrotach i wartościach.

Dynamiczne równanie ruchu postępowego ciała sztywnego Na podstawie twierdzenia o ruchu środka masy, dynamiczne równanie ruchu można zapisać w postaci: (1) gdzie: m – masa ciała sztywnego – przyśpieszenie środka masy W prostokątnym układzie współrzędnych (2)

Twierdzenie o pochodnej krętu Pochodna względem czasu krętu ciała względem jego środka masy równa jest sumie geometrycznej momentów wszystkich sił zewnętrznych względem tego środka. (3) Kręt ciała sztywnego względem środka masy jest równy zeru . Z równania (3) wynika, że gdy ciało porusza się ruchem postępowym to suma geometryczna momentów sił zewnętrznych względem środka masy ciała musi być równa zeru. (4) Wniosek: siły zewnętrzne muszą tworzyć układ, który ma wypadkową o linii działania przechodzącej przez środek masy C.

Ruch płaski ciała sztywnego Przyjmijmy iż przedstawiony na rysunku przekrój ciała otrzymano w wyniku przecięcia płaszczyzny równoległej do płaszczyzny kierującej i przechodzącej przez środek masy C.

Ruch płaski ciała sztywnego Położenie rozpatrywanego ciała sztywnego możemy określić za pomocą współrzędnych xc, yc środka masy C w układzie nieruchomym Oxyz i kąta obrotu α tego ciała względem układu ruchomego C x’y’z’, którego początek C jest umieszczony w środku masy. Ruch postępowy określa ruch punktu C na płaszczyźnie xy, a ruch obrotowy odbywa się wokół osi centralnej Cz’, przechodzącej przez środek masy. Ciało sztywne porusza się ruchem płaskim, jeżeli obraca się wokół osi nie zmieniającej kierunku i porusza się ruchem postępowym po płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. Ruch swobodnego ciała sztywnego jest płaski, jeżeli chwilowe osie obrotu nie zmieniają kierunku (pozostają stale równoległe do głównej centralnej osi bezwładności tego ciała).

Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego Aby otrzymać dynamiczne równ. r. płaskiego c. sztywnego zastosujemy: dynamiczne równania ruchu postępowego (2) zasadę krętu w ruchu obrotowym Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego mają postać: Równanie ruchu postępowego w kierunku x Równanie ruchu postępowego w kierunku y (5) Zasada zachowania krętu ruchu obrotowego

Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego − składowe przyspieszenia środka masy C − moment bezwładności rozpatrywanego ciała względem osi z − przyspieszenie kątowe ciała względem osi obrotu (z) Otrzymane trzy dynamiczne równania ruchu (5) odpowiadają liczbie stopni swobody ciała sztywnego poruszającego się ruchem płaskim.

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Przykład 1. Krążkowi o masie m i promieniu r nadano początkową prędkość kątową ωo, a następnie postawiono go na płaszczyźnie poziomej. Obliczyć drogę s, po przebyciu której krążek zatrzyma się, czas t oraz funkcje: υ = f1(t), ω = f2(t), mając także dane: μ − współczynnik tarcia ślizgowego, f – współczynnik tarcia tocznego.

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Równanie ruchu środka masy krążka w ruchu postępowym na kierunkach x i y Równanie ruchu obrotowego wokół środka masy (5) W przypadku tarcia z poślizgiem

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Po przekształceniu otrzymujemy: Prędkość liniowa środka masy C: Równanie drogi środka masy: Po wykorzystaniu warunków początkowych iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii stałe całkowania C1 = C2 = 0

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Stąd Prędkość kątowa krążka: Równanie kąta obrotu krążka: Po wykorzystaniu warunków początkowych stałe całkowania wynoszą: C3 = ωo , C4 = 0

Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Stąd W chwili zatrzymania się krążka iiiiiii , stąd czas t1 wynosi: Na tej podstawie wyznaczymy drogę s jaką przebędzie krążek do chwili zatrzymania się po czasie t1:

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Równania ruchu środka masy krążka w ruchu postępowym: Równanie ruchu obrotowego krążka wokół środka masy Zależność pomiędzy przyspieszeniem liniowym i kątowym zatem

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Po podstawieniu: W rozpatrywanym przypadku toczenia krążka bez poślizgu wartość siły tarcia tocznego T2 musi być mniejsza od wartości siły tarcia ślizgowego T1 . gdzie: Zatem stąd

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Po dwukrotnym całkowaniu względem czasu otrzymamy: Po wykorzystaniu warunków początkowych iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii wyznaczamy stałe całkowania C1 = ωor ; C2 = 0 Stąd: Prędkość kątowa krążka: Równanie kąta obrotu krążka ma postać:

Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Po wykorzystaniu warunków początkowych iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii stałe całkowania C3 = ωo, C4 = 0. Stąd: W chwili zatrzymania się krążka prędkość kątowa iiiiiii, stąd czas t2, po którym krążek się zatrzyma, wynosi: Droga s jaką przebędzie krążek do chwili zatrzymania się po czasie t2 wynosi:

Przykład 2 Jednorodny pręt o długości l i masie m zawieszono na pionowych nitkach w punktach A i B. Znaleźć przebieg siły w funkcji czasu w nitce zaczepionej w punkcie A po zerwaniu nitki w punkcie B. a) nitka doskonale wiotka i doskonale nieodkształcalna b) nitka doskonale wiotka i doskonale sprężysta o współczynniku sztywności k A B

Dynamiczne równania ruchu pręta Przypadek I – nitka doskonale wiotka i doskonale nieodkształcalna Dynamiczne równania ruchu płaskiego pręta mają postać: Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymamy stałą wartość siły w nitce

Rysunek pręta Przypadek II – nitka doskonale wiotka i doskonale sprężysta o współczynniku sztywności k

Dynamiczne równania ruchu pręta Dynamiczne równania ruchu mają postać: Po przekształceniu: Stąd: Rozwiązanie otrzymanego równania różniczkowego jest wyrażone funkcją: gdzie:

Równania ruchu pręta Stałe całkowanie wyznaczamy z warunków początkowych: Po podstawieniu: Stąd Równanie ruchu pręta możemy ostatecznie zapisać: Wyrażenie na siłę w nitce ma postać:

Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym przesunięciu jest równa zeru, gdyż odległości między punktami tego ciała nie ulegają zmianie. Stąd zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego przyjmuje postać: (6) Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu.

Przykład 3: Walec o masie m i promieniu r jest owinięty linką. Obliczyć prędkość v i siłę S po opadnięciu o wysokość h. V=0 S x w -S h ma r v

Na podstawie zasady energii kinetycznej i pracy Zatem Po rozwiązaniu: Siłę w linie wyznaczymy z dynamicznych równań ruchu:

Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Przykład. Ciężar P wciągany jest do góry za pomocą przekładni zębatej. Stały moment zewnętrzny M przyłożony jest do koła o promieniu r1. Przy danych M, r1, m1, r2, m2, r3, m3, P obliczyć przyspieszenie kątowe koła o promieniu r1, przyspieszenie liniowe ciężaru P oraz moment bezwładności układu zredukowany do osi O1. Dane: M, r1, r2, r3, m1, m2, m3, P Obliczyć: e1, a, Izred

Rozwiązanie: Na podstawie zasady równoważności energii kinetycznej i pracy możemy napisać W chwili początkowej prędkość liniowa ciężaru P i prędkości kątowe kół są równe zeru. Zatem początkowa energia kinetyczna jest równa zeru (E1=0). Prędkość końcowa jest równa υ, a prędkości kątowe kół ω1, ω2. Energia kinetyczna końcowa: Pracę wykonują jedynie siła P i moment M Zależność między prędkością liniową υ, a prędkościami kątowymi ω1, ω2 oraz drogą s i kątem obrotu φ1: Po uwzględnieniu tych zależności we wzorach na końcową energię kinetyczną E2, pracę W i podstawieniu do równania przedstawiającego zasadę równoważności energii kinetycznej i pracy otrzymamy:

Po zróżniczkowaniu obu stron tego równania względem czasu otrzymamy: Stąd Przyspieszenie liniowe ciężaru P Moment bezwładności układu zredukowany do osi O1 wynosi

Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Przykład. Mechanizm obiegowy porusza się pod działaniem sił ciężkości. Dane są masy krążków m1, m2, oraz promienie krążków r1, r2. W chwili początkowej mechanizm pozostawał w spoczynku, a oś korby pokrywała się z kierunkiem pionowym. Obliczyć prędkość kątową, przyspieszenie kątowe koła poruszającego się ruchem płaskim w funkcji kąta φ.

Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Rozwiązanie: Energia kinetyczna układu w położeniu początkowym jest równa zeru E1=0 Energia kinetyczna mechanizmu w położeniu końcowym wynosi: Praca sił ciężkości na odpowiednich przesunięciach Zależności między prędkościami kątowymi i liniowymi są następujące: Po uwzględnieniu tych zależności w równaniu określającym zasadę równoważności energii kinetycznej i pracy otrzymamy:

Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Wartość prędkości kątowej ω1 Po zróżniczkowaniu względem czasu obu stron równania otrzymamy wartość przyspieszenia kątowego ε1 Ponieważ to