KNW- Wykład 3 Powtórzenie

PROGRAM WYKŁADU NR 3 Przykładowe zadania z logiki Modele możliwych światów

REGUŁY (PRAWA) DOWODZENIA (WNIOSKOWANIA) Rezolucja: – A  B,  B├ A – A  B,  B  C├ A  C Reguły pomocnicze: –  (  B)├ B –  (A  B) ├  A   B – ├

PRZYKŁADOWE ZADANIE Niech dane będą: –Przesłanki X  Y, Z,  (X  Z) –Reguły dowodzenia (i)A  B,  B ├ A (ii)A  B,  B  C ├ A  C (iii)  (A  B) ├  A   B (iv)  (  A) ├ A Skonstruuj dowód dla Y

ROZWIĄZANIE (ZNAJDŹ LUKI) Korzystamy z (iii) dla A  X, B  Z :  (X  Z) ├  X   Z Zbiór faktów powiększa się o  X   Z Korzystamy z (ii) dla A  Y, B  X, C   Z : Y  X,  X   Z ├ Y   Z Zbiór faktów powiększa się o Y   Z Korzystamy z (i) dla A  Y, B   Z : Y   Z,  (  Z) ├ Y Zbiór faktów powiększa się o Y

ROZWIĄZANIE (ZNAJDŹ LUKI) Korzystamy z (iii) dla A  X, B  Z :  (X  Z) ├  X   Z Zbiór faktów powiększa się o  X   Z Korzystamy z (ii) dla A  Y, B  X, C   Z : Y  X,  X   Z ├ Y   Z Zbiór faktów powiększa się o Y   Z Korzystamy z (i) dla A  Y, B   Z : Y   Z,  (  Z) ├ Y Zbiór faktów powiększa się o Y

IDEA MOŻLIWYCH ŚWIATÓW Intuicja: Oprócz prawdziwego stanu rzeczy, są jeszcze możliwe inne stany, zwane „światami”, w których potencjalnie możemy się znaleźć, a może już jesteśmy, tylko o tym nie wiemy

MODELE KRIPKE’GO Grafy skierowane, dla których wierzchołków (możliwych światów) określamy wartościowania logiczne dla pewnych zmiennych zdaniowych

PRZYKŁAD W1: p = 0; q = 1; r = 0W2: p = 1; q = 0; r = 0 W4: p = 1; q = 1; r = 1W3: p = 0; q = 0; r = 1

PRAWDZIWOŚĆ ZDAŃ Niech dane będą: model Kripke’go K, zdanie  oraz świat W. Wtedy: –  jest prawdziwe w W (K,W╞  ), jeśli jest prawdziwe dla wartościowania w W; –  jest prawdziwe w K (K╞  ), jeśli jest prawdziwe w każdym W należącym do K

OPERATORY MODALNE Niech dane będą: model Kripke’go K, zdanie  oraz świat W. Wtedy: –   jest prawdziwe w W (K,W╞   ), jeśli jest prawdziwe we wszystkich światach V, do których prowadzą strzałki z W –   jest prawdziwe w W (K,W╞   ), jeśli jest prawdziwe w przynajmniej jednym V, do którego prowadzi strzałka z W

PRZYKŁADOWE ZADANIE Czy K,W1╞  (  p  (q  r)) ? Czy K,W3╞  (  p  (q   r)) ? W1: p = 0; q = 1; r = 0W2: p = 1; q = 0; r = 0 W4: p = 1; q = 1; r = 1W3: p = 0; q = 0; r = 1