Matematyka jest wszędzie Tajemniczy ciąg Fibonacciego

Leonardo z Pizy zwany Fibonaccim   - włoski matematyk pochodzący z Pizy. Kształcił się początkowo pod kierunkiem arabskiego nauczyciela. Podczas swych podróży po Europie i krajach Wschodu zapoznał się z osiągnięciami arabskich i hinduskich matematyków, między innymi z systemem dziesiętnym, który później propagował. Jego nazwisko weszło do matematyki – głównie dzięki ciągowi liczb, nazwanemu od jego nazwiska ciągiem Fibonacciego. 1175-1250

Ciąg Fibonacciego: Pierwsze dwa wyrazy ciągu: 1 1 1 1

Ciąg Fibonacciego: 1 + 1 1 1 2 Następna liczba ciągu: suma dwóch poprzednich 1 + 1 1 1 2

Ciąg Fibonacciego: 1 + 2 1 1 2 3 Następna liczba ciągu: suma dwóch poprzednich 1 + 2 1 1 2 3

Ciąg Fibonacciego: 2 + 3 1 1 2 3 5 Następna liczba ciągu: suma dwóch poprzednich 2 + 3 1 1 2 3 5

Ciąg Fibonacciego: 3 + 5 1 1 2 3 5 8 Następna liczba ciągu: suma dwóch poprzednich 3 + 5 1 1 2 3 5 8

Ciąg Fibonacciego: 5 + 8 1 1 2 3 5 8 13 Następna liczba ciągu: suma dwóch poprzednich 5 + 8 1 1 2 3 5 8 13

Ciąg Fibonacciego: 8 + 13 1 1 2 3 5 8 13 21 Następna liczba ciągu: suma dwóch poprzednich 8 + 13 1 1 2 3 5 8 13 21

Ciąg Fibonacciego: Następna liczba ciągu: suma dwóch poprzednich 13 + 21 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

Liczbami Fibonacciego Ciąg Fibonacciego: Elementy ciągu nazywamy Liczbami Fibonacciego 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

Własności ciągu Fibonacciego jest to ciąg liczb naturalnych, określony w sposób rekurencyjny. Rekurencyjne określenie ciągu polega na wyliczaniu danego wyrazu ciągu na podstawie poprzedniego.

Własności ciągu Fibonacciego Stosunek dowolnej liczby ciągu do jej poprzednika jest w przybliżeniu równy 1,618    21 : 13 = 1,615,  987 : 610 = 1,618... 3/2=1.5 21/13=1.615 89/55=1.618

Własności ciągu Fibonacciego Liczba 1.618 ta nazywana jest Złotą Liczbą Stosunek 1.618 określa się mianem Złotego Podziału lub Boskiej Proporcji

Ciąg Fibonacciego w przyrodzie Ciąg Fibonaciego należy do ulubionych ciągów spotykanych w  przyrodzie – można go odnaleźć w wielu jej aspektach – zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych.

Ciąg Fibonacciego w przyrodzie Czyli jak rozmnażają się króliki… Łatwo policzyć roczny przyrost królików w sposób charakterystyczny dla ciągu Fibonacciego. Założenie: początkowo mamy jedną parę – samca i samicę, po miesiącu wydadzą oni na świat potomstwo, po kolejnym miesiącu ich progenitura jest zdolna do reprodukcji, rodzice zaś nadal się rozmnażają.

Ciąg Fibonacciego w przyrodzie Jak wygląda drzewo genealogiczne trutnia… Samiec pszczoły w przeciwieństwie do samicy (królowej, która ma zarówno ojca, jak i matkę – inną królową) powstaje wyłącznie dzięki matce.

Liczby Fibonacciego w świecie roślin Pędy krwawnika rozwijają się zgodnie z naszym ciągiem. Gdy wyrasta z ziemi ma 1 listek, potem jeszcze 1, następnie wypuszcza 2 listki, potem 5, potem 8 liści, i w końcu 13 kwiatków. W ten sam sposób przyrastają gałęzie wielu drzew.

Dlaczego kwiaty mają liczbę płatków równą liczbom Fibonacciego?

Dlaczego kwiaty mają liczbę płatków równą liczbom Fibonacciego?

Dlaczego kwiaty mają liczbę płatków równą liczbom Fibonacciego?

Dlatego nie łatwo znaleźć czterolistną koniczynę.

Optymalnie rozwinięte kwiaty mają liczbę płatków równą liczbie Fibonacciego.

Jeszcze więcej przykładów… Łuski szyszek Kwiaty kalafiora Układ pestek słonecznika Kaktusy

Spirala Fibonacciego - muszle Muszla łodzika (morskiego mięczaka) ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną.

Spirala Fibonacciego - muszle Obraz spirali Fibonacciego: Widać, że (pomijając dwa pierwsze, najmniejsze) kolejne kwadraty są większe od poprzedzających dokładnie o sumę ich ścianek zgodnie z regułą ciągu Fibonacciego.

Wiedza o ciągu Fibonacciego jest przydatna dla: programistów webbowych - znając złote proporcje można stworzyć harmonijny layaut strony internetowej architektów inżynierów projektantów ludzi pracujących w reklamie matematykę można odnaleźć w biologii, sztuce, muzyce, inżynierii…

Zajmując się teorią liczb nie można jednak utracić matematycznego rygoru

Źródła: http://www.zobaczycmatematyke.pl/przyklady/Badecka/fibonacci.htm; http://www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego; https://www.youtube.com/watch?v=wb7kPaM8cfg