Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

SYMBOL NEWTONA PERMUTACJE

SILNIA Dla n>1 symbol n! (czyt: n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. n!=1 · 2 · 3 · 4 · …… · n Przyjmujemy, że: 0!=1 1!=1 2!=2 3!=1 · 2 · 3=6 4!=1 · 2 · 3 · 4=24 5!=1 · 2 · 3 · 4 · 5=120 6!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6=720 7!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7=5040 8!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8= !=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9= !=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10=

4!=1 · 2 · 3 · 4=24 4!=3! · 4=24 5!=1 · 2 · 3 · 4 · 5=120 5!=3! · 4 · 5=120 5!=4! · 5=120 6!=5! · 6=720 6!=4!·5·6=720 6!=3! · 4 · 5 · 6=720 8!=4! · 5 · 6 · 7 · 8= !=5! · 6 · 7 · 8= !=6! · 7 · 8= !=7! · 8=40320

PRZYKŁADY:

SYMBOL NEWTONA Jeżeli k≤n to wyrażenie (czytamy: n nad k) nazywamy symbolem Newtona. PRZYKŁADY:

PERMUTACJE Permutacją n-elementową zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Permutacje n-elementowe oznaczamy: P n P n =n! Ćw.1. Na ile sposobów można ustawić 6 osób w kolejce? P 6 =6!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6=720 Odp.: Sześć osób można ustawić na 720 sposoby.

Ćw.2. Na ile sposobów można ustawić liczby: 1,2,3,4, aby stworzyć liczby czterocyfrowe? P 4 =4!=1 · 2 · 3 · 4=24 Odp.: Można utworzyć 24 liczby czterocyfrowe. Ćw.3. W gonitwie bierze udział 11 koni. Ile jest wyników zakończenia gonitwy? (zakładamy, że każdy koń dobiegnie do mety i żadne dwa nie przebiegną razem). P 11 =11!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11= Odp.: Jest wyników zakończenia gonitwy.

Ćw.4. Na ile sposobów może usiąść 5 osób na ławce tak, aby KASIA i BASIA będące w tej grupie siedziały obok siebie: a)w dowolnej kolejności b)w kolejności BASIA-KASIA Ad.a) Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności: K B _ _ _ _ K B _ _ _ _ K B _ _ _ _ K B 4 · 2! · 3!=4 · 2 · 6=48 Ad.b) Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności: B K _ _ _ _ B K _ _ _ _ B K _ _ _ _ B K 4 · 3!=4 · 6=24 Odp.: Pięć osób może usiąść na 48 w pierwszym i 24 sposoby w drugim przypadku. Kasia i Basia mogą się między sobą zmieniać na 2! sposoby; pozostałe 3 osoby zmienią się na 3! sposoby. Schemat obok przedstawia 4 możliwe ustawienia 5 osób. Basia i Kasia nie mogą się zmieniać między sobą, pozostałe 3 osoby zmienią się na 3! sposoby. Schemat obok przedstawia 4 możliwe ustawienia 5 osób.

Ćw.5. Cyfry 5,6,7,8 ustawiamy w ciąg. Oblicz ilość możliwych ustawień cyfr w liczbie jeżeli: a)liczby stoją na dowolnym miejscu P 4 =4!=1·2·3·4=24 b) na pierwszym miejscu stoi cyfra 8 P 3 =3!=1∙2∙3=6 c) na pierwszym miejscu stoi cyfra 6, a na ostatnim cyfra 5 P 2 =2!=2 d) na początku są liczby parzyste 2!∙2!=4

Ćw.6. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 2,3,4,5,6 w których otrzymana liczba jest: a)dowolna pięciocyfrowa P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120 b)parzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 2 lub 4 lub 6) 3∙4!=3∙24=72 c)nieparzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 3 lub 5) 2∙4!=2∙24=48 d)podzielna przez 5 (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 5) P 4 =4!=1∙2∙3∙4=24