Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Z PARAMETREM

Zajmiemy się rozwiązaniem układu równań z PARAMETREM. Parametr to dowolna liczba rzeczywista, od której zależy liczba rozwiązań układu równań. Przykład 1. Rozwiąż układ równań w zależności od parametru k.

Obliczamy wyznaczniki dla układu równań. W=Wx=Wy=0

Układ równań jest równoważny jednemu z tych równań (np Układ równań jest równoważny jednemu z tych równań (np. drugie równanie otrzymujemy przez pomnożenie obu stron pierwszego równania przez Wystarczy rozważyć jedno równanie, np. pierwsze.

Dla k ≠ 0 podstawiając za y dowolną liczbę rzeczywistą otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań. Układ równań wtedy ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Dla k = 0 otrzymujemy równanie: Jest to równanie nieprawdziwe. Układ równań jest sprzeczny.

Przykład 2. Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru k. Obliczamy wyznaczniki.

Rozważyć musimy dwa przypadki: Wyznacznik W = 0 więc układ albo ma nieskończenie wiele rozwiązań albo nie ma wcale. Rozważyć musimy dwa przypadki: PRZYPADEK 1. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań jeżeli: Wx = 0 i Wy = 0 -150+6k=0 2k-50=0 6k=150 2k=50 k=25 k=25 Dla k=25 układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Układ nie ma rozwiązań jeżeli: Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0 -150+6k ≠ 0 2k-50 ≠ 0 PRZYPADEK 2. Układ nie ma rozwiązań jeżeli: Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0 -150+6k ≠ 0 2k-50 ≠ 0 6k ≠ 150 2k ≠ 50 k ≠ 25 k ≠ 25 Dla k ≠ 25 układ równań nie ma rozwiązań, jest sprzeczny.

Przykład 3. Dla jakiej wartości parametru k układ równań jest nieoznaczony? Obliczamy wyznaczniki.

Układ jest nieoznaczony gdy spełnione są warunki: W=0 i Wx=0 i Wy=0 2k–1=0 k∈R 8k-4=0 2k=1 8k=4 k=0,5 k=0,5 Dla k=0,5 układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony).

Przykład 4. Dla jakiej wartości parametru k układ równań jest oznaczony? Obliczamy wyznaczniki.

Układ równań jest oznaczony gdy spełniony jest warunek: k ≠ ½ i k ≠ -½ Dla k ∈ R\{- ½; ½ } układ równań ma jedno rozwiązanie.

Przykład 5. Dla jakiej wartości parametru k układ równań jest sprzeczny?. Obliczamy wyznacznik W oraz wyznaczniki: Wx, Wy, Wz. W= W = -52+45+20-24+50-39 = 0

Wx = Wx = -182+60+5k-6k+175-52=1-k Wy = Wy = -104+9k-140-48+10k+273=19k-19

Wz = Wz = 4k+105-16-56-40+3k=7k-7 Wyznacznik W ma wartość 0, natomiast wyznaczniki Wx, Wy, Wz są zależne od parametru k.

Układ równań nie posiada żadnych rozwiązań jeżeli: Wx≠0 lub Wy≠0 lub Wz≠0. Wx ≠ 0 ∨ Wy ≠ 0 ∨ Wz ≠ 0 1- k ≠ 0 19k-19 ≠ 0 7k-7 ≠ 0 k ≠ 1 k ≠ 1 k ≠ 1 Dla k ≠ 1 wszystkie wyznaczniki są różne od zera, wtedy układ równań jest sprzeczny.