Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Życie jest piękniejsze niż 2n.” Erwin Kasparek

UKŁAD OZNACZONY, NIEOZNACZONY, SPRZECZNY. Układy równań, podobnie jak równania z jedną niewiadomą, mogą mieć różne liczby rozwiązań. W zależności od tego, czy układ równań ma jedno, nieskończenie wiele, czy nie posiada rozwiązań nazywamy go oznaczonym, nieoznaczonym lub sprzecznym.

UKŁAD OZNACZONY. Układ oznaczony, to układ równań, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb. Przykład: x + 1 = 3 x = 3 – 1 x = 2 Rozwiązanie układu. y = 1

INTERPRETACJA GRAFICZNA. Ilustracją graficzną układu oznaczonego są dwie proste przecinające się w jednym punkcie.

UKŁAD OZNACZONY A METODA WYZNACZNIKÓW. Układ równań posiada rozwiązanie, jeśli jego wyznacznik główny W jest różny od zera.

UKŁAD NIEOZNACZONY. Układ nieoznaczony, to układ równań, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb. Przykład: Jakakolwiek para liczb spełniająca jedno z równań tego układu spełnia cały układ. Rozwiązaniem tego układu są na przykład pary: (1; 2), (2; 1), (1,5; 1,5), (-3; 6), (-1; 4) itp. Układ równań jest nieoznaczony, jeśli jedno z równań układu można otrzymać po przez przekształcenie drugiego (tu na przykład wystarczy pomnożyć pierwsze równanie przez 2). 0 = 0 tożsamość

INTERPRETACJA GRAFICZNA. Ilustracją graficzną układu nieoznaczonego są dwie pokrywające się proste.

UKŁAD NIEOZNACZONY A METODA WYZNACZNIKÓW. Układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli jego wyznacznik główny W jest równy zero oraz wyznaczniki Wx i Wy także są równe zero.

UKŁAD SPRZECZNY. Układ sprzeczny, to układ równań, który nie ma rozwiązania tzn. nie istnieje para liczb spełniająca oba równania jednocześnie. Przykład: Gdy próbujemy rozwiązać układ równań, który nie ma rozwiązań, otrzymujemy w pewnym momencie sprzeczność. 0 = -4 sprzeczność

INTERPRETACJA GRAFICZNA. Ilustracją graficzną układu sprzecznego są dwie proste równoległe.

UKŁAD SPRZECZNY A METODA WYZNACZNIKÓW. Układ równań nie ma rozwiązania, jeśli jego wyznacznik główny W jest równy zero oraz wyznacznik Wx lub Wy nie równa się zero.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Rozwiąż następujący układ równań: 4x – 2(2x – 2) = 4 4x – 4x + 4 = 4 4 = 4 - równanie tożsamościowe, a więc ten układ równań jest układem nieoznaczonym. Rozwiązujemy układ metodą postawiania. Z drugiego równania wyznaczamy y i wstawiamy do pierwszego równania. Roz

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Rozwiąż następujący układ równań: 4y – 2(8 + 2y) = 1 4y – 16 – 4y = 1 -16 = 1 - sprzeczność, a więc ten układ jest układem sprzecznym.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Zastąp a i b takimi liczbami, aby układ równań: był: a) nieoznaczony, b) sprzeczny, c)oznaczony Aby ten układ był nieoznaczony, drugie równie musi powstać przez przekształcenie pierwszego. Współczynnik przy x w drugim równaniu jest równy 2, co sugeruje, że aby otrzymać układ nieoznaczony, pierwsze równanie należy pomnożyć przez 2: x + 2y = 5 | ∙ 2 2x + 4y = 10 Mamy więc: a = 4; b = 10

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. b) Mając układ nieoznaczony, łatwo znaleźć pozostałe dwa. Aby otrzymać układ sprzeczny, wystarczy w układzie nieoznaczonym zmienić wyraz wolny (liczba b w tym zadaniu). Mamy więc: a = 4; b = 8 (jakakolwiek liczba różna od 10) c) Aby otrzymać układ oznaczony wystarczy za a i b wstawić inne liczby niż w nieoznaczonym. Mamy więc: a = 1 (jakakolwiek liczba różna od 4); b = 2 (jakakolwiek liczba różna od 10)