Projektowanie Inżynierskie P a ń s t w o w a W y ż s z a S z k o ł a Z a w o d o w a w N y s i e Instytut Zarządzania Projektowanie Inżynierskie Przestrzenny układ sił Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk e-mail: piotr_chwastyk@pwsz.nysa.pl www.chwastyk.pwsz.nysa.pl

Redukcja przestrzennego układu sił Układ sił o dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni liniach działania nazywa się przestrzennym układem sił. Przez redukcję tego układu sił rozumie się sprowadzenie go do najprostszej postaci, tzn. zastąpienie przez najprostszy układ statycznie równoważny. Zakłada się, że na ciało sztywne działa dowolny przestrzenny układ n sił Pi przyłożonych w różnych punktach przestrzeni Ai (i = 1,2,..., n). W celu dokonania redukcji tego układu sił przyjmuje się dowolny punkt O, zwany środkiem redukcji układu sił, z którego wychodzi wiązka promieni wektorów ri określających położeniu punktów przyłożenia tych sił. Korzystając z równoległego przesunięcia poszczególnych sił, można sprowadzić te siły do obranego środka redukcji O. W wyniku tej redukcji otrzymuje się układ sił zbieżnych P1, P2,…, Pn przyłożonych do punktu O i n par sił o momentach M1O, M2O, ... , MnO, gdzie MiO oznacza moment siły Pi przyłożonej w punkcie Ai względem środka redukcji O.

Redukcja przestrzennego układu sił Układ sił zbieżnych przyłożonych do punktu O można zastąpić sumą geometryczną sił Natomiast układ n par sił jest równoważny jednej parze o momencie MO, równym sumie geometrycznej momentów tych par Na podstawie powyższych rozważań można stwierdzić: Przestrzenny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić siłą R przyłożoną do dowolnie wybranego środka redukcji O, równą sumie geometrycznej wszystkich sił układu, oraz parą sił o momencie MO, równym sumie geometrycznej momentów tych sił względem środka redukcji.

Redukcja przestrzennego układu sił Zgodnie z przyjętym nazewnictwem siłę R nazywa się wektorem głównym, a moment MO - momentem głównym względem środka redukcji O. Jak wynika ze wzorów, wektor główny nie zależy od wyboru punktu O, do którego redukujemy układ sił, natomiast moment główny w ogólnym przypadku jest zależny od tego wyboru. Zmiana środka redukcji powoduje, że zawsze otrzymuje się ten sam wektor główny R, lecz odpowiadające tym środkom redukcji pary sił mają różne momenty. Jeżeli znane są składowe sił w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor główny R oblicza się ze wzoru Następnie można obliczyć wartość wektora głównego R oraz jego cosinusy kierunkowe gdzie: α1, 1, 1 - kąty, które wektor główny R tworzy z osiami układu współrzędnych x, y, z.

Redukcja przestrzennego układu sił Po wybraniu początku układu współrzędnych Oxyz jako środka redukcji oblicza się moment główny MO gdzie Jeżeli są obliczone składowe momentu głównego MOx, MOy i MOz względem początku układu współrzędnych O, można znaleźć wartość oraz cosinusy kierunkowe tego wektora gdzie: α2, 2, 2 - kąty, które moment główny MO tworzy z osiami układu współrzędnych x, y, z.

Redukcja przestrzennego układu sił Zakłada się, że układ n sił, zredukowany względem środka redukcji O, można zredukować względem innego środka redukcji, np. punktu O1. Poprzedni środek redukcji O jest określony względem nowego środka redukcji O1 wektorem r1. Aby dokonać tej redukcji przenosi się układ wektorów (R, MO) równolegle do punktu O1. Przeniesienie momentu głównego MO do punktu Ol, jako wektora swobodnego, nie powoduje żadnych zmian układu. Natomiast przeniesienie wektora głównego R, jako przeniesienie równoległe siły, powoduje powstanie w punkcie O1 dodatkowego momentu, równego r1 x R. Moment główny względem środka redukcji O1 będzie równy Na podstawie powyższych rozważań można wysunąć następujący wniosek: Zredukowanie układu n sił względem innego środka redukcji powoduje jedynie zmianę momentu głównego układu, nie wywołując zmiany wektora głównego.

Redukcja przestrzennego układu sił Po przeprowadzeniu rzutowania wektora momentu głównego względem punktu O1 na kierunek wektora głównego R otrzymuje się Ponieważ moment (r1 x R) jest prostopadły do wektora głównego R, dlatego iloczyn skalarny Stąd Na podstawie definicji iloczynu skalarnego

Redukcja przestrzennego układu sił Wynika stąd następujący wniosek Iloczyn skalarny momentu głównego układu względem dowolnego środka redukcji i wektora głównego jest stały, ponieważ wektor główny R nie zależy od wyboru środka redukcji. Natomiast z zależności dodatkowo wynika, że iloczyn MOcos jako wartość rzutu momentu głównego MO na kierunek wektora głównego jest także wielkością stałą. Zatem każdy układ sił ma dwa niezmienniki (tj. wielkości niezależne od położenia środka redukcji), którymi są: wektor główny R oraz rzut momentu głównego MO obliczonego względem dowolnego środka redukcji O na kierunek wektora głównego R.

Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika Układ wektora głównego R i momentu głównego MO, obliczonego względem środka redukcji O, można zredukować do prostszej postaci. Niech wektory R i MO będą przyłożone w punkcie O, początku układu współrzędnych. Moment główny MO rozkłada się na dwie składowe: M’O - zgodną z kierunkiem wektora głównego R i M”O - prostopadłą do tego wektora. Następnie składową M”O zastępuje się parą sił (-R, R), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do M”O, przy czym siła (-R) jest przyłożona w punkcie O. Linia działania drugiej siły R będzie przechodzić przez pewien szczególny punkt C, którego położenie jest opisane promieniem wektorem r, wynikającym z następującej zależności która określa równoważność zastępowania wektora M”O parą sił (-R, R). W wyniku tych przekształceń otrzymuje się dwie siły (-R, R) przyłożone w punkcie O, które można usunąć jak układ równoważący się.

Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika Cały układ redukuje się wówczas do siły R przyłożonej do punktu C oraz składowej momentu głównego M’O równoległej do R gdzie: R/R - wektor jednostkowy (wersor) o kierunku i zwrocie wektora R, cos  - cosinus kąta między wektorami R i MO Ponieważ wektor M’O jest wektorem swobodnym, to można go przenieść do punktu C. Tak więc wykazano, że dowolny przestrzenny układ n sił można zredukować do dwóch wektorów kolinearnych: wektora głównego R i wektora M‘O. Taki prosty układ tych wektorów nazywa się skrętnikiem, a ich linia działania, przechodząca przez punkt C, nazywa się osią centralną układu sił Pi. Układ złożony z wektora głównego R i składowej momentu głównego M’O leżącej na linii działania wektora R, jest nazywany skrętnikiem.

Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika Równanie osi centralnej wyznacza się, redukując wektor główny R i moment główny MO (obliczony względem środka redukcji O) do innego środka redukcji, którym jest punkt C. Moment główny MC względem punktu C, opisany promieniem wektorem r o składowych (-x, -y, -z), jest równy Stąd otrzymuje się składowe wektora głównego Mc

Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika Ponieważ punkt C leży na osi centralnej, więc MC = M’O. Wówczas wektory R i MC, jako kolinearne, muszą być wzajemnie proporcjonalne, czyli a ostatecznie Związki te przedstawiają dwa niezależne równania liniowe z trzema niewiadomymi (x, y, z) będące równaniem osi centralnej układu sił. Prosta ta ma takie same cosinusy kierunkowe jak wektor główny układu R.

Redukcja przestrzennego układu sił do siły wypadkowej Szczególny przypadek redukcji przestrzennego układu sił wystąpi wtedy, gdy wektor momentu głównego MO, obliczony względem dowolnego punktu O, będzie prostopadły do wektora głównego R (rys. a). Składowa momentu głównego M’O będzie równa zeru i układ redukuje się wyłącznie do wektora głównego R, przechodzącego przez punkt C. Oznacza to, że taki układ sił P, daje się zredukować wyłącznie do jednej siły R, która jest wypadkową układu sił, leżącą na osi centralnej układu. W tym przypadku oś centralna staje się linią działania wypadkowej (rys. b). Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby przestrzenny układ sił redukował się do wypadkowej, jest istnienie różnego od zera wektora głównego R i prostopadłość głównego wektora momentu MO względem dowolnie wybranego punktu O do linii działania wektora głównego R. Jeżeli moment główny Mo, obliczony względem punktu O, jest równy zeru, to układ sił redukuje się do siły wypadkowej przechodzącej przez środek redukcji O.

Redukcja przestrzennego układu sił do dwóch sił skośnych i pary sił W ogólnym przypadku redukcji przestrzennego układu sił Pi otrzymuje się dwa wektory R i MO, które tworzą ze sobą kąt . Układ ten, przekształcony zgodnie z rys. a, powoduje uzyskanie dwóch sił wichrowatych (skośnych). Wektor momentu głównego MO zastępuje się parą sił o zwrocie narzuconym przez zwrot tego wektora, leżącego w płaszczyźnie  prostopadłej do wektora MO. Niech to będą siły (P, -P) o ramieniu e, przy czym MO = e x P. Jedną z sił pary (np. –P) należy umieścić w środku redukcji O. Składając siły R i –P leżące w płaszczyźnie O, otrzymuje się w rezultacie dwie siły skośne P i F (rys. b).

Redukcja przestrzennego układu sił do dwóch sił skośnych i pary sił Z przeprowadzonej analizy wynika następujący wniosek: Przestrzenny układ sił daje się sprowadzić do dwóch sił wichrowatych (skośnych) z których jedna przechodzi przez środek redukcji O. Następnie należy rozpatrzyć kolejny szczególny przypadek redukcji przestrzennego układu sił, gdy wektor główny równa się zeru natomiast moment główny MO względem dowolnego punktu O nie jest równy zeru Układ redukuje się do pary sił (-P, P) której moment jest równy momentowi głównemu układu MO = r x P. Moment główny MO w rozpatrywanym przypadku nie zależy od wyboru punktu O, gdyż suma geometryczna momentów sił tworzących parę sił jest stała dla wszystkich punktów przestrzeni i równa momentowi pary.

Redukcja przestrzennego układu sił Zestawienie wszystkich przypadków, które zachodzą przy redukcji dowolnego przestrzennego układu sił działających na ciało sztywne: R  0, MO  0 - układ sił redukuje się tylko w jeden sposób do skrętnika, a na wiele sposobów - do dwóch sił skośnych, R  0, MO  0 oraz MO  R - układ sił redukuje się do sumy geometrycznej zwanej siłą wypadkową (R = W), R  0, MO = 0 - układ sił redukuje się do siły wypadkowej przechodzącej przez środek redukcji, R = 0, MO  0 - układ sił redukuje się do pary sił, R = 0, MO = 0 - układ sił jest w równowadze.

Równowaga przestrzennego układu sił Pojęcie równowagi dwóch sił zostało określone w drugiej zasadzie statyki. Zasadę tę można uogólnić na dowolny przestrzenny układ sił, który można zredukować w ogólnym przypadku do dwóch sił skośnych. Na podstawie drugiej zasady statyki wiadomo, że dwie siły równoważą się, gdy mają tę samą linię działania, te same wartości i przeciwne zwroty. Uzyskane w efekcie redukcji przestrzennego układu sił dwie siły skośne dla przypadku, gdy układ ten jest w równowadze, muszą spełniać powyższe warunki dwóch sił równoważących się. Suma geometryczna R takich sił jest równa zeru oraz ich moment główny MO jest równy zeru. Tak więc warunek równowagi można sformułować następująco: Przestrzenny układ n sił jest w równowadze, jeżeli jego wektor główny R jest równy zeru oraz moment główny MO układu względem dowolnego punktu O jest równy zeru. Moment główny układu będącego w równowadze jest równy zeru względem każdego punktu w przestrzeni. Ponadto należy stwierdzić, że wszystkie układy sił będące w równowadze są układami równoważnymi.

Równowaga przestrzennego układu sił Analityczne warunki równowagi Rozpisując oba równania wektorowe, otrzymuje się Wektory te będą równe zeru, jeżeli wszystkie ich składowe będą równe zeru. Stąd otrzymujemy sześć równań skalarnych Przedstawione równania równowagi w postaci wektorowej lub w postaci skalarnej noszą nazwę równań równowagi przestrzennego układu sił.

Równowaga przestrzennego układu sił Warunek równowagi można sformułować w innym, równoważnym brzmieniu: Przestrzenny układ sił Pi jest w równowadze, jeżeli suma rzutów wszystkich sił na trzy osie układu jest równa zeru i suma momentów wszystkich sił względem trzech osi układu jest równa zeru. Jeżeli rozpatruje się równowagę ciała sztywnego pod działaniem dowolnego przestrzennego układu sił, to liczba niewiadomych może być równa sześciu, gdyż tyle mamy równań do ich wyznaczenia. Jeżeli niewiadomych jest więcej niż sześć, to zadanie jest statycznie niewyznaczalne i nie można go rozwiązywać przy zastosowaniu metod statyki ciała sztywnego. Z sześciu równań równowagi wynikają szczególne przypadki równań równowagi prostszych układów sił, które rozpatrzono poprzednio.

Równowaga przestrzennego układu sił Przy rozwiązywaniu przykładów na równowagę ciał sztywnych poddanych działaniu dowolnego przestrzennego układu sił należy stosować następujące wskazówki metodyczne: wydzielić ciało sztywne bądź ciała sztywne, których równowagę rozpatrujemy, narysować siły czynne i reakcje więzów, obciążające te ciała, sprawdzić czy układ sił jest statycznie wyznaczalny i obrać układ współrzędnych Oxyz, napisać równania równowagi, rozwiązać układ równań zestawiony w punkcie d) i wyznaczyć wielkości niewiadome, dokonać sprawdzenia.