Politechnika Rzeszowska FIZYKA CIAŁA STAŁEGO Vitalii Dugaev Katedra Fizyki Politechnika Rzeszowska Semestr letni, rok 2013/2014

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 1 Formalizm matematyczny Rozpatrzmy niezaburzony układ jednej cząstki o takim widmie poziomów energii, w którym jeden z poziomów jest R-krotnie zdegenerowany, a jego energia różni się znacznie od energii innych poziomów Rozpatrujemy więc R niezależnych stanów układu φ1, φ2,..., φR, mających tę samą energią. Zero energii możemy tak dobrać, ażeby H0φ = 0 Poddajemy ten układ słabemu zaburzeniu. Zaburzenie może wywołać rozszczepienie R stanów W pierwszym przybliżeniu nowe stany układu przy zaburzeniu U możemy przedstawić jako liniową kombinację starych stanów Załóżmy, że utworzone w ten sposób funkcje ψ są rozwiązaniami równania Schrödingera w przypadku zaburzonym Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 1

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 2 Pomnożymy obie strony przez φm* i scałkujemy po objętości R równań mają nietrywialne rozwiązanie wtedy, kiedy znika wyznacznik Szczególny prosty przypadek: załóżmy, że każdy element macierzowy równy jest jedności Wykorzystujemy właściwości wyznacznika: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 2

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 3 Rozwiązanie: Udowodnimy, że rzeczywiście jest jeden pierwiastek równy R Utwórzmy symetryczną kombinację wektorów φs dla której energia Pierwiastek ten równy jest całej sumy pierwiastków, a zatem wszystkie inne pierwiastki musza być równe zeru Jeśli potencjał U jest oddziaływaniem przyciągającym i zlokalizowanym, to elementy macierzowe od U są ujemne i prawie równe sobie: Wówczas otrzymamy Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 3

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 4 Elektrony sparowane i stan nadprzewodzący Przypuśćmy, że mamy układ N swobodnych elektronów, które początkowo ze sobą nawzajem nie oddziaływają Stany Φ układu o N cząstkach mogą być określone przez podanie obsadzenia stanów w układzie jednoelektronowym Załóżmy obecnie, że elektrony oddziaływają ze sobą, przy czym oddziaływania zachodzą między wszystkimi parami elektronów Można znaleźć takie zagadnienie wielu ciał, w którym można przyjąć równe elementy macierzowe: Rozważmy tylko te stany układu, które zajęte są przez pary elektronów: zazwyczaj stosowaną definicją jest Rozpatrywane stany: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 4

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 5 Przy rozpatrywaniu pary stanów o tej postaci można przyjąć, że wszystkie elementy macierzowe w oddziaływaniu U są sobie równe Otrzymujemy widmo, w którym pojedynczy poziom podstawowy jest oddzielony od stanów wzbudzonych o przedział energii Eg Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 5

Tunelowanie elektronowe Rozważmy dwa metale oddzielone od siebie izolatorem Izolator działa jak bariera. Jeżeli bariera jest cienka, istnieje duże prawdopodobieństwo, że elektron przejdzie przy barierę – nazywa się to tunelowaniem lub efektem tunelowym Tunelowy prąd między normalnymi metalami jest proporcjonalny do przyłożonego napięcia: gdzie C jest stałą, V – przyłożonym napięciem, a DA i DB są gęstościami stanów dla elektronów przewodnictwa prąd napięcie Charakterystyka złącza z normalnych metali przedzielonych warstwą tlenku Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 6

Giaever odkrył w 1960 roku, że jeżeli jeden metal staje się nadprzewodniczący, to charakterystyka prądowo-napięcowa zmienia się od linii prostej do krzywej W nadprzewodniku występuje przerwa energetyczna, w której środek stanowi poziom Fermiego W temperaturze T = 0 prąd elektryczny nie popłynie tak długo, aż przyłożone napięcie nie będzie równe V = Δ/e Istnieją także osobliwe zjawiska przy przechodzeniu tunelowym pary nadprzewodących elektronów, zwanym efektem tunelowym Josephsona prąd napięcie prąd energia Fermiego napięcie Charakterystyka dla złącza z jednym metalem normalnym, a drugim nadprzewodzącym Gęstości stanów Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 7

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 8 Własciwości dielektryczne Polaryzacja P zdefiniowana jest jako moment dipolowy przypadający na jednostkę objętości Całkowity moment dipolowy układu: gdzie rn jest wektorem określającym położenie ładunku qn Pole elektryczne w punkcie r pochodzące od momentu dipolowego p Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 8

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 9 Lokalne pole elektryczne w pobliżu atomu Pole elektryczne w pobliżu dowolnego atomu zwane jest polem lokalnym Elok Pole lokalne jest sumą pola elektrycznego E0 pochodzącego ze źródeł zewnętrznych oraz pola dipoli znajdujących się wewnątrz próbki Pole dipolowe rozkłada się na kilka części: gdzie E0 – zewnętrzne pole elektryczne pochodzące ze źródeł zewnętrznych E1 – pole depolaryzacji wynikające z polaryzacji ładunków na zewnętrznej powierzchni próbki E2 – lorentzowskie pole wnęki: pole pochodzące od ładunków polaryzacyjnych znajdujących się ba wewnętrznej powierzchni wnęki, wyciętej w próbce tak, że rozpatrywany atom jest środkiem wnęki E3 – pole pochodzące od atomów znajdujących się wewnątrz wnęki Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 9

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 10 Pole depolaryzacji E1 Pole depolaryzacji: gdzie N zwana jest współczynnikiem depolaryzacji, którego wartość zależy od stosunku osi elipsoidy Kształt Oś N Kula dowolna 4π/3 Cienki pręt prostopadła 4π w płaszczyźnie Długi walec kołowy podłużna poprzeczna 2π Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 10

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 11 Pole Lorentza E2 Gęstość ładunku powierzchniowego na powierzchni wnęki wynosi Pole elektryczne w środku kulistej wnęki o promieniu a _ + E2 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 11

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 12 Pole dipoli znajdujących się wewnątrz wnęki E3 Pole E3 pochodzące od dipoli znajdujących się wewnątrz wnęki zależy od struktury krystalicznej Niech oś dipoli będzie osią z Pole wytworzone przez dipole pi Dla otoczenia o symetrię układu regularnego lub kulistego E3 = 0 Dla otoczenia o symetrii sieci tetragonalnej lub prostej sieci heksagonalnej E3 ≠ 0 Dla struktur układu regularnego: gdzie E = E0 + E1 jest średnim polem makroskopowym próbki z polem – wzór Lorentza Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 12

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 13 Stała dielektryczna i polaryzowalność Natężenie makroskopowego pola elektrycznego E występującego w równaniach Maxwella zdefiniowane jest jako średnia przestrzenna pola elektrycznego w materiale, uśredniona po objętości Przesunięcie elektryczne D zdefiniowane jest jako Stała dielektryczna ε ośrodka izotropowego lub o symetrii układu regularnego zdefiniowana jest następująco: gdzie jest podatnością elektryczną, a E jest makroskopowym uśrednionym polem elektrycznym Polaryzowalność α atomu definiuje się następująco: gdzie p jest momentem dipolowym atomu, a Elok jest lokalnym polem elektrycznym w miejscu, w którym znajduje się atom Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 13

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 14 W przypadku cząsteczki anizotropowej polaryzowalność jest tensorem o składowych zdefiniowanych przez Polaryzacja jest równa momentu dipolowemu przypadającemu na jednostkę objętości gdzie Ni oznacza liczbę atomów o polaryzowalności αi przypadającą na jednostkę objętości, a Elok(i) jest polem lokalnym w miejscu znajdowania się atomów typu i Jeżeli pole lokalne Elok związane jest związkiem Lorentza , to lub związek Klasiusa-Mossotiego Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 14

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 15 Polaryzowalność elektronowa Polaryzowalność całkowitą α można rozdzielić na trzy części: elektronową, jonową i dipolową: elektronowa jonowa dipolowa Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 15

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 16 Przyczynek elektronowy wynika z przesunięcia elektronów w atomie względem jadra Przyczynek jonowy wynika z przesunięcia i deformacji naładowanego jonu w stosunku do innych jonów Polaryzowalność dipolowa występuje w substancji zbudowanej z cząsteczek mających trwały elektryczny moment dipolowy; cząsteczki te mogą zmienić swoje orientacje pod wpływem przyłożonego pola elektrycznego W zakresie częstości optycznych stała dielektryczna pochodzi prawie całkowicie od polaryzowalności elektronowej Przyczynki dipolowe i jonowe są przy wysokich częstościach małe ze względu na bezwładność cząsteczek i jonów W zakresie częstości optycznych wzór Clausiusa-Mossotiego przyjmuje postać gdzie n2 = ε, i n jest współczynnikiem załamania Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 16

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 17 Polaryzowalność jonowa Polaryzowalność jonowa wynika ze względnego przemieszczania się jonów o przeciwnych znakach pod wpływem pola elektrycznego Moment dipolowy przypadający na jedną cząsteczkę wynosi p = qu, gdzie q jest ładunkiem jonu, a u – względnym przemieszczeniem sieci jonów dodatnich i ujemnych Polaryzowalność jonowa jest równa gdzie N jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 17

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 18 Polaryzowalność dipolowa Dążenie pola elektrycznego do porządkowania kierunków trwałych dipoli niweczone jest przez drgania cieplne Energia potencjalna U cząsteczki obdarzonej trwałym elektrycznym momentem dipolowym p w polu E wynosi gdzie θ jest kątem miedzy p i E Polaryzacja gdzie N jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości, a jest wartością średnią cos θ rozciągniętą na cały rozkład momentów w równowadze cieplnej Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 18

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 19 Zgodnie z prawem rozkładu Boltzmanna względne prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki w elemencie kąta bryłowego dΩ jest proporcjonalne do exp(-U/kBT) i gdzie β = 1/kBT Wyrażenie to definiuje funkcję Langevina L(x) Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 19

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 20 x=pE/kBT Wykres funkcji Langevina L(x) Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 20

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 21 W granicznym przypadku x << 1 (w wysokich temperaturach) a polaryzacja wynosi Polaryzowalność dipolowa przypadająca na cząsteczkę Jeżeli α0 oznacza sumę przyczynku elektronowego i jonowego do polaryzowalności, to polaryzowalność całkowita zapisuje się w postaci – równanie Langevina-Debye’a Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 21