Projektowanie Inżynierskie P a ń s t w o w a W y ż s z a S z k o ł a Z a w o d o w a w N y s i e Instytut Zarządzania Projektowanie Inżynierskie Redukcja płaskiego układu sił. Tarcie Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk e-mail: piotr_chwastyk@pwsz.nysa.pl www.chwastyk.pwsz.nysa.pl

Redukcja układów sił Redukcja płaskiego układu sił do jednej siły wypadkowej Układ sił, którego siły leżą w jednej płaszczyźnie, jest nazywany układem płaskim. Dowolną siłę z danego układu n sił oznaczono przez Pi, a współrzędne punktu przyłożenia tej siły przez xi, yi. Przesuwając równolegle wszystkie siły danego układu do jednego punktu O (początku układu współrzędnych), otrzymuje się jedną siłę R, równą ich sumie geometrycznej i jedną parę o momencie MO, równym sumie momentów tych par sił gdzie:

Redukcja układów sił Ostatecznie Tak więc dowolny układ sił, przyłożonych do ciała sztywnego o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie, można sprowadzić do dowolnego punktu O, przykładając w nim siłę R, równą sumie geometrycznej układu oraz parę sił o momencie Mo, równym sumie momentów danych sił względem punktu O Siłę R nazywa się wektorem głównym układu sił, moment Mo zaś momentem głównym względem środka redukcji O. Wartość wektora głównego R oraz kąt α, jaki wektor ten tworzy z osią Ox wynoszą

Redukcja układów sił Równowaga dowolnego płaskiego układu sił Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił otrzymuje się, przyrównując do zera wektor główny układu R i moment główny Mo względem środka redukcji O Dwa równania wektorowe można zastąpić trzema równaniami skalarnymi Należy dodać, że punkt O, względem którego oblicza się sumę momentów danych sił, może być obrany zupełnie dowolnie i nie musi pokrywać się z początkiem przyjętego układu współrzędnych. Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeśli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu są równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu płaszczyzny działania sił jest równy zeru.

Redukcja układów sił Jeżeli moment układu sił względem dwóch punktów jest równy zeru oraz rzut sił na oś nieprostopadłą do odcinka łączącego te punkty jest równy zeru, to płaski układ sił jest w równowadze. Jeżeli moment układu sił względem trzech punktów nie leżących na jednej prostej jest równy zeru, to płaski układ sił jest w równowadze. Szczególnym przypadkiem jest płaski układ sił równoległych. Układ taki jest w równowadze, gdy suma rzutów sił na oś równoległą jest równa zero i moment układu sił względem jednego punktu jest równy zeru lub, gdy momenty układu sił względem dwóch punktów są równe zeru:

Tarcie Tarciem nazywa się zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te są nazywane siłami tarcia i można je zdefiniować jako siły oporu, zapobiegające ruchowi, który by powstał, gdyby tarcia nie było. Są więc one siłami biernymi i składowymi reakcji, które wystąpią dla zachowania równowagi stykających się ciał. Przyczyną powstawania sił tarcia jest chropowatość powierzchni ciał, które pod wpływem obciążeń zewnętrznych wykazują tendencje do przesuwania względem siebie. Jeżeli wartość liczbowa chropowatości maleje (wpływ obróbki mechanicznej i smarowania), to również maleją siły tarcia, które stają się równe zeru w przypadku styku powierzchni idealnie gładkich.

Tarcie ślizgowe Rozpatrzmy ciało A o ciężarze G, spoczywające na podłożu B, do którego jest przyłożona siła P, powodująca przesunięcie tego ciała. Występująca na powierzchni styku siła tarcia T zależy od chropowatości obu powierzchni i reakcji normalnej N, wywołanej ciężarem G. Występuje wtedy zjawisko klinowania się bruzd i grzbietów obu powierzchni. Przy założeniu, że ciało A jest jeszcze w równowadze, równania rzutów sił na kierunek poziomy i pionowy mają postać stąd

Tarcie ślizgowe W przypadku powiększenia wartości siły P, dochodzi się do stanu, w którym równowaga ciała nie będzie już możliwa i zacznie ono ślizgać się po poziomym podłożu. Można wysunąć wniosek, że wielkość siły tarcia jest ograniczona i nie może przekroczyć pewnej granicznej wartości. Wzrastaniu siły P towarzyszy wzrost siły tarcia T do pewnej wartości granicznej Tg, poza którą nie jest ona w stanie (przy stałym nacisku N) opierać się nadal przesunięciu i następuje ruch ciała A po podłożu B. W tym momencie wartość siły tarcia spada poniżej granicznej wartości osiągniętej w chwili rozpoczęcia ruchu. Stąd rozróżnia się tarcie ślizgowe statyczne i tarcie ślizgowe kinetyczne.

Tarcie ślizgowe Zależność między graniczną wartością siły tarcia a naciskiem N określają prawa tarcia, ustalone na podstawie wielu doświadczeń wykonanych przez Coulomba i Morena dla różnego rodzaju stykających się powierzchni: Siła tarcia jest niezależna od wielkości powierzchni stykających się ze sobą ciał i zależy jedynie od ich rodzaju. Wartość siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może zmieniać się od zera do granicznej wartości, proporcjonalnej do całkowitego nacisku normalnego. W przypadku gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu i jest mniejsza od granicznej wartości.

Tarcie ślizgowe Na podstawie powyższych praw można określić zależności między siłą tarcia T a naciskiem normalnym N. W przypadku ciała pozostającego w spoczynku na chropowatej powierzchni wartość siły tarcia wyraża się zależnością gdzie: µ - współczynnik tarcia ślizgowego statycznego, zależny od: rodzaju materiału trących się ciał, wartości chropowatości i stanu ich powierzchni (suche, wilgotne, zimne, gorące). Kierunek siły tarcia T, działającej na ciało znajdujące się w spoczynku, jest przeciwny do kierunku ruchu, który zaistniałby, gdyby tarcia nie było. Jeżeli siła tarcia osiągnie swą graniczną wartość, czyli tarcie jest całkowicie rozwinięte, we wzorze należy przyjąć znak równości

Tarcie ślizgowe W przypadku ciała ślizgającego się po chropowatej powierzchni siła tarcia jest skierowana przeciwnie do kierunku ruchu, a jej wartość jest określona wzorem gdzie: µ - współczynnik tarcia ślizgowego kinetycznego, który zależy od względnej prędkości ciała wg krzywej przedstawionej na rysunku

Tarcie ślizgowe Następnie należy rozpatrzyć przypadek, gdy siła tarcia działająca na ciało osiągnęła wartość graniczną. Reakcja podłoża R, będąca wypadkową sił N i T, jest nachylona pod kątem  do składowej normalnej. Z rysunku wynika, że W rozpatrywanym przypadku, N = G = const, dlatego kąt  jest maksymalnym kątem, o jaki może odchylić się linia działania całkowitej reakcji R od kierunku normalnej do powierzchni styku. Kąt ten jest nazywany kątem tarcia. Ponieważ więc We wzorze µ jest maksymalnym współczynnikiem tarcia, odpowiadającym tarciu rozwiniętemu (na granicy tarcia ślizgowego statycznego i kinetycznego). Zatem, kąt  jest maksymalnym kątem nachylenia reakcji R, zapewniającym jeszcze równowagę ciała A.

Tarcie ślizgowe Natomiast, jeżeli na ciało A spoczywające na chropowatej powierzchni działa siła P (jako wypadkowa wszystkich sił czynnych) nachylona do prostej n (normalnej do płaszczyzny styku) pod kątem a, to siłę tę równoważy reakcja R, będąca wypadkową siły normalnej N i siły tarcia T. Z poprzednich rozważań wynika, że ciało A będzie mogło pozostawać w równowadze tylko wtedy, kiedy kąt α będzie mniejszy od kąta tarcia . Stąd wniosek, że jeżeli ciało A ma pozostać w równowadze pod działaniem siły P, to musi być spełniona następująca zależność czyli siła P musi leżeć w obszarze zakreskowanym, gdyż jedynie w tym obszarze może leżeć linia działania reakcji R. W przypadku ciał izotropowych, jak stal i inne metale, tarcie nie zależy kierunku działania siły T, wobec czego reakcja R może leżeć w każdej z płaszczyzn przechodzących przez normalną n i odchylać się od tej normalnej o ten sam kąt tarcia  tworząc powierzchnię boczną kołowego stożka. Stożek ten nazywa się stożkiem tarcia.

Tarcie ślizgowe Ciała anizotropowe, jak np.: drewno, wykazują większe tarcie w poprzek aniżeli wzdłuż włókien, dlatego stożek tarcia dla takich ciał ma podstawę eliptyczną. Podczas rozwiązywania zadań z uwzględnieniem tarcia należy znać wartość współczynnika tarcia.

Tarcie ślizgowe Przy wyznaczaniu reakcji więzów ciał sztywnych poddanych działaniu płaskich układów sił z tarciem należy stosować następujące wskazówki metodyczne: wydzielić ciało bądź ciała sztywne, których równowagę się rozpatruje, narysować siły czynne i reakcje więzów obciążające te ciała, sprawdzić czy układ sił jest statycznie wyznaczalny i obrać układ współrzędnych Oxy, napisać równania równowagi, napisać równania tarcia, rozwiązać układ równań zestawionych w punktach d) i e) oraz wyznaczyć wielkości niewiadome.

Tarcie cięgna o krążek Tarciem cięgna o krążek nazywa się siły tarcia występujące między powierzchniami cylindrycznymi a cięgnami, taśmami, sznurami, pasami lub linami na nie nawiniętymi. Siły te w hamulcach taśmowych hamują wzajemny poślizg koła i taśmy, natomiast w przypadku kół pasowych nie dopuszczają do wzajemnego poślizgu koła i pasa. Na rysunku przedstawiono cięgno opasujące krążek. Zakłada się, że cięgno obciążone siłami S1 i S2 znajduje się w płaszczyźnie prostopadłej do osi krążka. Siły tarcia występują na całej długości cięgna stykającego się z krążkiem. Siły te mają różne wartości, gdyż zmienia się w sposób ciągły kierunek nacisku cięgna na krążek i wartość napięcia w cięgnie. Fakt ten uniemożliwia nam zbadanie równowagi cięgna jako całości. Należy rozważyć zatem elementarny odcinek cięgna odpowiadający kątowi środkowemu d. Aby powstały siły tarcia T trzeba spowodować docisk cięgna do krążka przez wstępne napięcie przyłożone do jego końców. Jeżeli krążek obróci się względem cięgna w prawo po przyłożeniu momentu M, to powstaną siły tarcia, które spowodują, że siła S2 będzie większa od S1.

Tarcie cięgna o krążek Na rozpatrywany odcinek cięgna działają następujące siły: nacisk krążka dN, siła tarcia dT - przeciwdziałająca ślizganiu się cięgna pod wpływem większej siły S2 > S1 oraz napięcia odciętych części cięgna S0 i S0 + dS0, gdzie dS0 oznacza przyrost napięcia odpowiadający przyrostowi kąta  o d. Równania równowagi odciętego elementu w postaci równań rzutów na osie Ax i Ay, gdy oś Ax jest styczna do krążka, a oś Ay pokrywa się z dwusieczną kąta d, mają postać

Tarcie cięgna o krążek Jeżeli uwzględni się fakt, że kąt d jest bardzo mały (elementarny), można przyjąć, że: Ponadto odrzuca się małe wartości drugiego rzędu Wobec tego równania równowagi przyjmują następującą postać Na podstawie związku między siłą tarcia dT a naciskiem krążka dN w rozpatrywanym granicznym stanie równowagi (tarcie między cięgnem i krążkiem jest całkowicie rozwinięte) otrzymuje się gdzie: µ - współczynnik tarcia ślizgowego statycznego między cięgnem a powierzchnią krążka

Tarcie cięgna o krążek Po obliczeniu z równań dT i dN oraz po podstawieniu do zależności na dT otrzymuje się a stąd Ponieważ napięcie cięgna zmienia się na jego długości od S1 na prawym końcu do S2 na lewym, a kąt  przyjmuje odpowiednio wartości  = 0 i  = α, więc po scałkowaniu stronami równania otrzymuje się szukany związek między napięciami S1 i S2 stąd

Tarcie cięgna o krążek Wzór został wyprowadzony po raz pierwszy przez Eulera. Wartość eµα jest zawsze większa od jedności, gdy µα > 0, a więc siła S2 jest większa od siły S1. Stosunek tych sił S2/S1 jest tym większy, im większy jest współczynnik tarcia µ między cięgnem i krążkiem oraz im większy jest kąt α (kąt opasania), na którym cięgno przylega do krążka. Ponieważ wartość eµα bardzo szybko rośnie ze wzrostem kąta opasania α, dlatego kilkakrotne owinięcie liny okrętowej na koło linowe powoduje, że niewielka siła przyłożona przez człowieka, wywołująca wstępne napięcie liny S1, jest w stanie zahamować ruch statku i go przycumować.

Tarcie toczenia Tarcie toczenia lub opór toczenia powstaje przy usiłowaniu przetoczenia walca o ciężarze G po poziomej płaszczyźnie. Gdyby walec toczący się po podłożu i podłoże były idealnie sztywne, to styk występowałby tylko wzdłuż tworzącej walca, przechodzącej przez punkt A. Zakłada się, że do środka walca O jest przyłożona pozioma siła zewnętrzna P. Na styku walca z podłożem w punkcie A występuje reakcja normalna N i styczna, czyli siła tarcia T; będą to składowe reakcji podłoża na walec. Równania równowagi walca (rzuty sił na oś poziomą i pionową) przyjmują postać stąd

Tarcie toczenia Aby nie mógł nastąpić poślizg walca po podłożu, musi być spełniony warunek, wynikający z praw tarcia gdzie: µ - współczynnik tarcia ślizgowego statycznego Należy stwierdzić, że równanie równowagi momentów, np. względem punktu A, jest nie spełnione A więc najmniejsza siła P spowoduje ruch walca. Jeżeli będzie spełniony poprzedni warunek, to walec nie będzie ślizgał się po podłożu, lecz wystąpi ruch zwany toczeniem. Obserwując zachowanie się walca wykonanego z rzeczywistych materiałów stwierdza się, że przy małej wartości siły P toczenie nie wystąpi. Walec zaczyna się toczyć dopiero wtedy, gdy moment siły P względem punktu A przekroczy pewną wartość charakterystyczną dla materiału walca i podłoża. Tak więc walec stawia opór przeciw toczeniu się. Opór ten jest nazywany oporem toczenia ciał lub tarciem tocznym.

Tarcie toczenia Graniczną wartość momentu Pr, przy którym walec znajduje się jeszcze w równowadze, nazywa się momentem oporu toczenia. Moment ten jest miarą tarcia toczenia. Zjawisko występowania oporu toczenia tłumaczy się tym, że zarówno walec jak i podłoże, na którym on spoczywa, ulegają odkształceniom. Naciski normalne, których wypadkową jest siła N, rozkładają się nierównomiernie na niewielkiej powierzchni styku, zgodnie z rysunkiem. Aby równanie momentów było spełnione, reakcja normalna N musi działać na pewnym ramieniu względem punktu A. Linia działania tej reakcji nie przechodzi wtedy przez teoretyczny punkt styku A, lecz w pewnej od niego odległości f, zwanej współczynnikiem tarcia tocznego lub ramieniem tarcia tocznego. Współczynnik ten ma wymiar długości. Równowaga walca jest możliwa wtedy, gdy wartość siły P nie przekroczy pewnej granicznej wartości, co oznacza, że moment siły P względem punktu A jest zrównoważony w granicznym przypadku momentem od reakcji N

Tarcie toczenia Uwzględniając, że N = G i P = T, otrzymuje się Walec będzie w równowadze, jeżeli wartość poziomej siły P nie przekroczy mniejszej z wartości wynikających z zależności lub Toczenie walca wystąpi, gdy wartość siły tarcia tocznego T będzie mniejsza od wartości siły tarcia ślizgowego µN rozwiniętego, co wyraża się nierównością f/rµ. stąd

Tarcie toczenia Drewniane Stalowe Żeliwne Kulka z hartowanej stali Wartości wybranych współczynników tarcia tocznego Koło Podłoże Współczynnik tarcia tocznego f, cm Drewniane Stalowe Żeliwne Kulka z hartowanej stali Szyba stalowa 0,05  0,06 0,005 0,03  0,04 0,001