Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Z TRZEMA NIEWIADOMYMI

DEFINICJE: Układ równań liniowych z trzema niewiadomymi można rozwiązać stosując metodę wyznaczników: W= Wy= Wx= Wz= Zajmiemy się rozwiązaniem układu równań z trzema niewiadomymi.

Pod wyznacznikiem dopisujemy pierwszy wiersz, pod nim drugi wiersz, tworzymy sześć iloczynów. W= = Wx= =

Wy= = Wz= =

Jeżeli: a)W ≠ 0 to trójka liczb (x,y,z) jest jedynym rozwiązaniem układu równań (równania układu są niezależne) b) W = 0 to układ może nie mieć rozwiązań (równania układu są sprzeczne) albo może mieć nieskończenie wiele rozwiązań zależnych albo od jednego parametru albo od dwóch parametrów (równania układu są zależne).

Przykład 1. Rozwiąż układ równań: Obliczamy wyznacznik W, wyznaczniki Wx, Wy, Wz. Tworzymy kolumny z liczb znajdujących się przed odpowiedniki niewiadomymi.

Dopisujemy dwa pierwsze wiersze i obliczamy wyznacznik mnożąc odpowiednie liczby po przekątnej – najpierw wg bordowych linii, potem wg czarnych linii zmieniając znak na przeciwny. W = W = 5·(-2)·(-2)+3·(-3)·4+2·3·2-4·(-2)·2-2·(-3)·5-(-2)·3·3= = =60

Obliczamy wyznacznik Wx – tworzymy kolumnę liczb wolnych oraz kolumny liczb znajdujących się przed niewiadomą y i z. Wx= Wx = (-1)·(-2)·(-2)+1·(-3)·4+5·3·2-4·(-2)·5-2·(-3)·(-1)-(-2)·3·1= = =54

Obliczamy wyznacznik Wy – tworzymy kolumnę liczb wolnych oraz kolumny liczb znajdujących się przed niewiadomą x i z. Wy= Wy = 5·1·(-2)+3·5·4+2·(-1)·2-4·1·2-2·5·5-(-2)·(-1)·3= = =-18

Obliczamy wyznacznik Wz – tworzymy kolumnę liczb znajdujących się przed niewiadomą x i y oraz kolumnę liczb wolnych. Wz= Wz = 5·(-2)·5+3·(-3)·(-1)+2·3·1-(-1)·(-2)·2-1·(-3)·5-5·3·3= = =-69

Wyznacznik główny W jest różny od zera, dlatego układ równań ma jedno rozwiązanie, które obliczamy ze wzoru: Zbiorem rozwiązań układu równań jest trójka liczb:

Przykład 2. Metodą wyznacznikową rozwiąż układ równań: Obliczamy wyznacznik W oraz wyznaczniki: Wx, Wy, Wz W= W = = 0

Wx = =-1 Wx = Wy = Wy = =19

Wz = =7 Wz = Wyznacznik W ma wartość 0, wyznaczniki Wx, Wy, Wz są różne od 0. Układ równań nie posiada żadnych rozwiązań, jest sprzeczny.

Przykład 3 Rozwiąż układ równań: Obliczamy wyznacznik W oraz wyznaczniki: Wx, Wy, Wz

Wyznacznik W jest różny od 0, więc układ ma jedno rozwiązanie postaci:

Przykład 4. Rozwiąż układ równań: Obliczamy wyznacznik W oraz wyznaczniki: Wx, Wy, Wz

Wyznacznik W jest różny od 0, więc układ ma jedno rozwiązanie postaci: Zr={ }