Projektowanie Inżynierskie P a ń s t w o w a W y ż s z a S z k o ł a Z a w o d o w a w N y s i e Instytut Zarządzania Projektowanie Inżynierskie Wstęp do mechaniki technicznej Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk e-mail: piotr.chwastyk@pwsz.nysa.pl www.chwastyk.pwsz.nysa.pl

Wiadomości wstępne Mechanika techniczna obejmuje dwa zasadnicze działy: mechanikę ogólną i wytrzymałość materiałów. Mechanika ogólna, zwana również mechaniką teoretyczną, zajmuje się ustalaniem ogólnych praw ruchu i równowagi ciał materialnych oraz zastosowaniem tych praw do pewnych wyidealizowanych schematów ciał materialnych, takich jak: punkt materialny i ciało doskonale sztywne. Wytrzymałość materiałów jest nauką stosowaną, zajmującą się badaniem zjawisk występujących w ciałach rzeczywistych (odkształcalnych). Głównym jej zadaniem jest określanie wytrzymałości i sztywności urządzenia, konstrukcji lub elementu maszyny, czyli odporności na zniszczenie.

Wiadomości wstępne Mechanikę ogólną można podzielić na kinematykę i dynamikę. Kinematyka zajmuje się ilościowym badaniem ruchu ciał, pomijając czynniki fizyczne, wywołujące ten ruch, jest więc pewnego rodzaju geometrią ruchu w czasie. Dynamika rozpatruje zachowanie się ciał materialnych w zależności od działających na nie sił. Dynamika dzieli się na statykę i kinetykę. Statyka jest szczególnym przypadkiem dynamiki polegającym na tym, że siły działające na ciało materialne znajdują się w równowadze. Oznacza to, że ciało jest w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Statykę, ze względu na prostotę jej praw i metod, można wydzielić z dynamiki i rozpatrywać jako pierwszy dział mechaniki, co jest zresztą zgodne z historycznym jej rozwojem. Kinetyka jest działem dynamiki ustalającym prawa zachowania się ciał materialnych, na które działa niezrównoważony układ sił. Ciała materialne znajdują się wtedy w ruchu.

Wiadomości wstępne Mechanika ogólna jest podstawową dyscypliną dla badania stanu równowagi lub ruchu ciała doskonale sztywnego (nieodkształcalnego). Mechaniką ciał stałych odkształcalnych zajmują się kolejne działy mechaniki: wytrzymałość materiałów, teoria sprężystości, teoria plastyczności, reologia. Podobnie badaniem ruchu cieczy i gazów zajmuje się mechanika płynów, która w ramach hydromechaniki zajmuje się badaniem ruchu cieczy, a w ramach aeromechaniki - badaniem ruchu gazów. Mechanika ogólna jest więc ściśle związana z wymienionymi dyscyplinami wiedzy inżynierskiej o charakterze podstawowym.

Podstawowe pojęcia mechaniki Podstawą mechaniki ogólnej są prawa ruchu sformułowane przez Newtona. Prawo pierwsze. Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego prostoliniowego dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią. Prawo drugie. Zmiana ilości ruchu (czyli pędu lub impulsu) jest proporcjonalna do siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Jeżeli siłę działającą na punkt materialny oznaczy się przez P, a pęd tego punktu przez mv, to treść drugiego prawa Newtona można wyrazić następującym równaniem wektorowym Jeżeli masa m punktu jest wielkością stałą , to równanie przyjmuje postać gdzie: a - przyspieszenie punktu materialnego.

Podstawowe pojęcia mechaniki Prawo trzecie. Każdemu działaniu towarzyszy równe i wprost przeciwne oddziaływanie, czyli wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie. Prawo czwarte. Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił

Podstawowe pojęcia mechaniki Prawo piąte (grawitacji). Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas (m1, m2) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty gdzie: k - współczynnik proporcjonalności, nazywany stałą grawitacji.

Podstawowe pojęcia mechaniki Podstawowymi pojęciami rzeczywistymi mechaniki są: ruch, przestrzeń, czas, materia (której miarą jest masa) i siła. Ponieważ część pierwsza mechaniki poświęcona jest statyce, gdzie nie uwzględnia się ruchu, a czas nie odgrywa żadnej roli, dlatego pojęcia te definiowane są przy omawianiu kinematyki i dynamiki. Przez pojęcie przestrzeń rozumie się przestrzeń euklidesową, tzn. taką, w której są spełnione znane z geometrii pewniki Euklidesa. Przestrzeń ta ma trzy wymiary odległości, mierzone zwykle w trzech wzajemnie do siebie prostopadłych kierunkach, które nazwano długością, szerokością i wysokością. Masa jest miarą ilości materii zawartej w ciele i jednocześnie miarą bezwładności ciała. Jednostką masy jest kilogram (1 kg). Kilogram jest masą międzynarodowego wzorca przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Sevres pod Paryżem. Oznacza to, że masa ciała będącego tym wzorcem została przyjęta umownie jako równa jednemu kilogramowi masy. Siła jest miarą wzajemnego oddziaływania ciał, przejawiającego się wyprowadzeniem ich ze stanu spoczynku, zmianą ich ruchu lub przez utrzymanie ciał w stanie równowagi. Ruch ciał zależy ponadto od ich bezwładności. Im więcej materii zawierają w sobie dane ciała, tym większa jest ich bezwładność. Przykładem siły jest siła ciężkości - siła, z jaką Ziemia przyciąga dane ciało.

Podstawowe pojęcia mechaniki Działanie siły jest określone przez jej wartość, kierunek działania i zwrot. Rozpatrując podany przykład: wartość siły ciężkości (ciężaru ciała) jest równa iloczynowi jego masy oraz przyspieszenia ziemskiego; kierunek działania jest określony przez prostą skierowaną do środka Ziemi. Wynika stąd wniosek, że siła jest wielkością fizyczną wektorową, którą można przedstawić za pomocą odcinka skierowanego - wektora. Na rysunku pokazano wektory siły P =AB i ciężaru ciała G. Kierunki tych wektorów są takie, jak kierunki działania sił, a długości wektorów, czyli ich wartości bezwzględne (P = |P|, G = |G|) są równe w pewnej skali wartościom liczbowym tych sił. Wektor przedstawiający siłę P został narysowany w ten sposób, że jego początek znajduje się w punkcie A zwanym początkiem wektora, a jego koniec w punkcie B zwanym końcem wektora. Długość odcinka AB określa w pewnej skali moduł wektora. Punkt A nosi też nazwę punktu przyłożenia siły, a prosta l przechodząca przez ten punkt, na której leży wektor P, przedstawiający siłę, nazywa się linią działania siły. Tak więc całkowite scharakteryzowanie siły wymaga podania: wartości liczbowej, kierunku i punktu przyłożenia do ciała, na które ona działa.

Podstawowe pojęcia mechaniki Ze względu na charakter działania i pochodzenie rozróżnia się następujące rodzaje sił: masowe lub objętościowe, które są proporcjonalne do masy rozłożonej w objętości, działające na wszystkie punkty ciała, powierzchniowe, powstające przy bezpośrednim zetknięciu się jednego ciała z drugim, zewnętrzne, pochodzące od punktów lub ciał nie należących do rozpatrywanego układu mechanicznego, wewnętrzne, pochodzące od punktów lub ciał należących do rozpatrywanego układu mechanicznego, czynne (obciążenia zewnętrzne), mogące wywołać ruch, bierne, czyli reakcje powstające pod wpływem sił czynnych. Siły jako wielkości fizyczne można mierzyć różnymi metodami. Metoda dynamiczna pomiaru sił polega na określeniu wartości przyspieszenia, które dana siła nadaje ciału o znanej masie. Następnie na podstawie drugiego prawa Newtona możemy obliczyć poszukiwaną wartość siły. Druga metoda, zwana metodą statyczną, polega na wyznaczeniu wartości siły na podstawie pomiaru odkształceń ciała, spowodowanych przez przyłożoną do tego ciała siłę. Przyrządy do pomiaru sił tą metodą nazwano dynamometrami.

Podstawowe pojęcia mechaniki W układzie międzynarodowym SI jednostką siły jest niuton 1 N = 1 kg • m/s2 Jest to siła, która masie 1 kg nadaje przyspieszenie 1 m/s2. W statyce są stosowane, oprócz pojęć rzeczywistych (siła, przestrzeń itp.), również pojęcia wyidealizowane, zwane modelami pojęć rzeczywistych. Do pojęć tych należą punkt materialny i ciało doskonale sztywne. Punktem materialnym nazwano ciało o wymiarach znikomo małych w porównaniu z wielkością obszaru, w którym się porusza, dlatego też można pominąć zmiany położenia tego ciała wywołane przez obrót. Traktuje się to ciało jako punkt geometryczny, w którym jest skupiona skończona ilość materii, czyli obdarzony pewną masą. Z pojęciem punktu materialnego wiąże się pojęcie układu punktów materialnych, jako ciała zawierającego dowolną ilość punktów materialnych. Każde ciało materialne można podzielić myślowo na drobne elementy - punkty materialne.

Podstawowe pojęcia mechaniki Drugim modelem pojęcia rzeczywistego jest ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne), czyli takie wyidealizowane ciało stałe, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem działających na nie sił. Założenie takie nie może być uczynione w mechanice ciał odkształcalnych i wytrzymałości materiałów, teorii sprężystości itd., ale dla celów statyki może zostać przyjęte. Układem mechanicznym nazwano zbiór punktów materialnych lub ciał doskonale sztywnych mających tę własność, że położenie i ruch każdego elementu zależy od położenia i ruchu pozostałych elementów układu. Podstawą wytrzymałości materiałów są obliczenia teoretyczne i badania doświadczalne. Obliczenia teoretyczne stanowią zastosowanie zasad mechaniki ogólnej, a przede wszystkim praw statyki. Badania doświadczalne wykazują odkształcenie materiałów w funkcji obciążeń przy różnych warunkach zewnętrznych. W wytrzymałości materiałów dokonuje się podstawowych uproszczeń, które dotyczą samego materiału i opisu kształtu ciała. Wprowadzenie tych uproszczeń przekształca analizowany rzeczywisty obiekt w schemat obliczeniowy, w którym zachowane zostają tylko najważniejsze dla rozpatrywanego zagadnienia cechy obiektu.

Podstawowe pojęcia mechaniki Materiał ciała jest jednorodny, jeżeli własności fizyczne są takie same w każdej jego części. Jeżeli materiał ciała nie spełnia tego warunku, uważamy go za niejednorodny. Z pojęcia jednorodności wynika, że w uproszczonym modelu materia wypełnia objętość w sposób ciągły. Przy analizie takiego ciała można wówczas stosować pojęcia i cały aparat analizy matematycznej, jak np. różniczkowanie i całkowanie. Większość analizowanych zagadnień w wytrzymałości materiałów rozpatruje się przy założeniu idealnej sprężystości materiału, gdzie wywołane obciążeniem odkształcenia znikają całkowicie. Przeciwieństwem ciała idealnie sprężystego jest ciało idealnie plastyczne. Należy zaznaczyć, że rzeczywiste ciała nie są ani idealnie sprężyste, ani idealnie plastyczne.

Zasady statyki Statyka jako dział mechaniki ogólnej wykorzystuje następujące zasady (aksjomaty), których się nie udowadnia, a przyjmuje jako pewniki. Zasada pierwsza (zasada równoległoboku). Działanie dwóch sił P1 i P2 można zastąpić działaniem jednej siły R, działającej na ten sam punkt, będącej przekątną równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił P1 i P2 Z zasady tej wynika, że łączne działanie sił P1 i P2 jest równoważne działaniu ich wypadkowej R, której wartość liczbową wyznacza się ze wzoru

Zasady statyki Zasada druga. Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy, kiedy mają tę samą linię działania, te same wartości liczbowe i przeciwne zwroty.

Zasady statyki Zasada trzecia. Skutek działania dowolnego układu sił, przyłożonego do ciała nie zmieni się, jeśli do tego układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił P2 i -P2, czyli tzw. układ zerowy.

Zasady statyki Zasada czwarta (zasada zesztywnienia). Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w równowadze ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne) identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił. Zasada piąta (zasada działania i przeciwdziałania). Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie.

Zasady statyki Zasada szósta (zasada oswobodzenia od więzów). Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrywać jako ciało swobodne, znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych (reakcji więzów).

Zasady statyki Każde ciało doskonale sztywne mogące poruszać się w przestrzeni nazywa się ciałem swobodnym. Stopniem swobody nazywa się możliwość wykonania ruchu ciała niezależnego od innych ruchów.

Zasady statyki Unieruchomienie punktu materialnego M na płaszczyźnie Oxy (rysunek) wymaga połączenia go prętami MA i MB z dwoma stałymi punktami A i B. Natomiast, aby unieruchomić punkt materialny M w przestrzeni, należy połączyć go prętami MA, MB i MC z trzema wierzchołkami trójkąta ABC, którego położenie jest ustalone. Punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody. Trzy stopnie swobody ciała sztywnego na płaszczyźnie oznaczają możliwość dwóch przesunięć niezależnych w kierunku osi x i y oraz możliwość obrotu ciała w płaszczyźnie Oxy. Sześć stopni swobody ciała w przestrzeni oznacza możliwość trzech niezależnych przesunięć w kierunku osi x, y i z oraz możliwość niezależnego obrotu ciała wokół tych osi.

Zasady statyki Zasada piąta (działanie i przeciwdziałanie) wprowadza pojęcie więzów. Więzami nazywa się warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni. W statyce należy wymienić następujące rodzaje więzów: obustronne, jednostronne, wewnętrzne, zewnętrzne i idealne. Przykładowo: na punkt materialny M są nałożone więzy obustronne, zmuszające go do pozostania stale na powierzchni kuli o promieniu r. Więzy obustronne są wyrażone za pomocą równania OM-r=0 Przykładem więzów jednostronnych niech będzie punkt materialny M, którego więzy zmuszają do pozostawania wewnątrz kuli o promieniu r. Więzy te wyrażone są za pomocą nierówności OM’-r<0

Zasady statyki Więzy wewnętrzne krępują swobodę ruchu punktów wewnątrz danego ciała. Więzy zewnętrzne krępują swobodę rozpatrywanych układów względem układu odniesienia i są stwarzane przez podpory i prowadnice. Więzy idealne charakteryzują się tym, że nie występuje w nich tarcie. Działanie tych więzów na ciało sprowadza się jedynie do reakcji normalnej. Wprowadzenie więzów jest jednoznaczne z działaniem na ciało sił biernych, czyli reakcji. Najczęstszymi sposobami podparcia ciał sztywnych są: przegub walcowy, przegub kulisty, podpora przegubowa stała, zawieszenie na cięgnach wiotkich, oparcie o gładką i chropowatą powierzchnię, utwierdzenie całkowite, podparcie na prętach zamocowanych przegubowo na obu końcach.

Zasady statyki Przegub walcowy. Przegub taki pokazano na rysunku. Ciało sztywne jest osadzone na walcowym sworzniu przechodzącym przez kołowy otwór wykonany w tym ciele. Pomijając siły tarcia jako małe w porównaniu z siłą normalną R do powierzchni styku, linia działania tej reakcji będzie przechodziła przez oś sworznia. Występujące dwie reakcje Rx i Ry stanowią dwie niewiadome: wartość reakcji R i jej kierunek.

Zasady statyki Przegub kulisty. W celu unieruchomienia punktu podparcia w przestrzeni stosuje się przeguby kuliste, które krępują swobodę przesunięć, ale umożliwiają obrót wokół dowolnej osi. Zakończenie ich jest wykonane w kształcie kuli, która jest osadzona w łożysku kulistym. Przy pominięciu sił tarcia w przegubie kulistym powstaje reakcja R o dowolnym kierunku w przestrzeni, przechodząca przez środek kuli, mająca trzy niezależne składowe Rx, Ry i Rz.

Zasady statyki Podpora przegubowa przesuwna (rolkowa). Obok szkicu, ilustrującego sposób podparcia ciała nieswobodnego, pokazano również obciążenie reakcjami ciała swobodnego. Ponieważ opór przy przesuwaniu takiej podpory w kierunku poziomym jest bardzo mały, dlatego przyjmuje się, że linia działania reakcji R jest prostopadła do płaszczyzny poziomej (przesuwu).

Zasady statyki Podpora przegubowa stała. W przypadku zastosowania podpory przegubowej stałej, koniec podparcia ciała sztywnego może się obracać dookoła osi przegubu, ale nie może się przemieszczać w dwóch kierunkach. Przy założeniu, że w przegubie nie ma tarcia, linia działania reakcji R przechodzi przez punkt A. Powstają dwie niezależne od siebie składowe reakcje Rx i Ry. Rozpatrując podporę przegubową stałą w przestrzeni należy stwierdzić, że koniec podparcia nie może się przemieszczać w trzech kierunkach i dlatego występują trzy niezależne składowe reakcje Rx, Ry i Rz.

Zasady statyki Zawieszenie na cięgnach wiotkich. Podwieszenie ciała za pomocą wiotkich cięgien stwarza tzw. podpory kierunkowe jednostronne, bo cięgna mogą być tylko rozciągane. Reakcje S1 i S2 działają na ciało wzdłuż tych cięgien, zgodnie z rysunkiem b.

Zasady statyki Oparcie o gładką i chropowatą powierzchnię. W przypadku oparcia ciała o gładką powierzchnię (styk punktowy) występuje jedna reakcja RA, prostopadła do powierzchni styku. Jeżeli powierzchnia będzie chropowata, to wystąpią dwie składowe reakcji RA: normalna do powierzchni N i styczna siła tarcia T

Zasady statyki Utwierdzenie całkowite. Gdy chodzi o zupełne unieruchomienie ciała, to wtedy stosuje się utwierdzenie całkowite. Ciało sztywne na płaszczyźnie ma trzy stopnie swobody, a więc wystąpi reakcja R o dwóch składowych Rx i Ry oraz moment utwierdzenia M. Rozpatrując całkowite unieruchomienie ciała w przestrzeni należy zastosować takie utwierdzenie, które przedstawia sześć więzów. Wystąpi wtedy reakcja R o trzech składowych Rx, Ry i Rz oraz moment utwierdzenia M o trzech składowych Mx, My i Mz.

Zasady statyki Ciało podparte na prętach zamocowanych przegubowo na obu końcach (prętach przegubowych). Ciało sztywne można także unieruchomić przez podparcie na prętach zakończonych przegubami. Jeżeli pominiemy ciężary własne prętów i tarcie w przegubach, to reakcje na ciało będą działać wzdłuż tych prętów Sa, Sb i Sc. Pręty zakończone przegubami (pręty przegubowe) wywierają w podobny sposób reakcje rozciągające jak cięgna, lecz w przeciwieństwie do cięgien mogą być one również ściskane.

Rachunek wektorowy Wielkości występujące w mechanice można podzielić na: skalary i wektory. Skalar jest to wielkość, którą można określić za pomocą jednej liczby rzeczywistej. Przykładami tych wielkości są: masa, temperatura, czas, praca, energia kinetyczna itp. Wektor jest to wielkość określona liczbą oraz mająca kierunek i zwrot w przestrzeni. Przykładami wielkości wektorowych są: siła, prędkość, przyspieszenie itp. Wektor oznacza się jedną literą wygrubioną, np. a, lub symbolem AB, gdzie A oznacza początek, zaś B koniec wektora. Długość odcinka AB odpowiada, w obranej skali, wartości liczbowej wektora. Prosta l, na której leży wektor a, nazywa się linią działania wektora. Wartość bezwzględna wektora nazywa się modułem wektora, który odpowiada długości odcinka AB. Moduł wektora oznaczamy następująco: |a| = |AB| = a.

Rachunek wektorowy Rozróżnia się trzy rodzaje wektorów: - wektory związane z punktem lub wektory uczepione. Do określenia tych wektorów potrzebne są: linia działania, moduł, zwrot i położenie początku wektora. Takich wektorów nie można ani przenosić z miejsca na miejsce, ani nie można przesuwać wzdłuż prostej. Jeżeli punkt O uczepienia takiego wektora będzie znajdował się w początku układu współrzędnych, to wektor taki może służyć m.in. do jednoznacznego określenia dowolnego punktu M w przestrzeni - r (promień-wektor).

Rachunek wektorowy - wektory związane z prostą, do określenia których potrzebne są takie elementy, jak: linia działania, moduł i zwrot. Wektora takiego nie można przenosić w dowolne miejsce przestrzeni, lecz można jedynie przesuwać wzdłuż prostej określającej jego położenie (linii działania). Tego rodzaju wektory nazywają się wektorami ślizgającymi się lub wektorami posuwnymi. - wektory swobodne, do określenia których potrzebne są następujące elementy: moduł, zwrot i kierunek równoległy do linii działania.

Rachunek wektorowy Oprócz tego zasadniczego podziału rozróżniamy następujące rodzaje wektorów swobodnych: równoległe, równe, przeciwne, równoważne, zerowe i jednostkowe (wersory). Na rysunku pokazano wektory równoległe, które mają ten sam kierunek w przestrzeni: a || b || c. Dwa wektory równoległe b || c, które mają równe moduły oraz te same zwroty, nazywa się wektorami równymi b = c. Natomiast dwa wektory równoległe mające równe moduły, a przeciwne zwroty a || b nazywa się wektorami przeciwnymi a = -b. Wektory równe b=c, mające wspólną linię działania, nazywa się wektorami równoważnymi b  c.

Rachunek wektorowy Wektorem zerowym nazywa się wektor, którego moduł jest równy zeru. Wektor, który ma ten sam kierunek co wektor dany a, lecz którego moduł równa się jedności, nazywa się wektorem jednostkowym (wersorem) i oznacza się najczęściej takim samym symbolem jak i dany wektor, lecz z indeksem „0". Na przykład wektorem jednostkowym wektora a jest a0. Moduł wektora jednostkowego (wersora) |a0| = 1. Za pomocą wersora można każdy wektor przedstawić w postaci iloczynu modułu tego wektora przez jego wersor, czyli a = aa0. Stąd wynika, że wersor a0 =a/a. Należy dodać, że wersor wskazuje tylko kierunek i zwrot, ale nie jest wielkością mianowaną.

Rachunek wektorowy Analityczne przedstawienie wektora wymaga przyjęcia odpowiedniego układu współrzędnych. Najwygodniejszym układem współrzędnych jest układ kartezjański (prostokątny), określony przez trzy wzajemnie prostopadłe osie x, y, z o odpowiednich wersorach i, j, k. Pokazany na rysunku układ kartezjański jest prawoskrętny, tzn. przy obrocie wersora i w kierunku j wersor k jest skierowany zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. We współrzędnych kartezjańskich wektor a jest określony równaniem gdzie: ax, ay, az - współrzędne wektora. Wartość wektora a (moduł) jest równa A cosinusy kątów, jakie tworzy wektor a z osiami współrzędnych x, y, z wynoszą

Rachunek wektorowy Dodawanie geometryczne dwóch wektorów a i b przedstawiono na rysunkach. Sumę wektorów c = a + b, otrzymaną według prawa równoległoboku, przedstawia przekątna równoległoboku. Przykład sumowania dowolnej liczby wektorów, gdzie a=a1+a2+…+an-1+an przedstawia rysunek poniżej

a + b = (axi + ayj + azk) + (bxi + byj + bzk) = Rachunek wektorowy Różnicą dwóch wektorów a i b nazywa się wektor d = a + (-b), który otrzymamy przez dodanie do wektora a wektora (-b), przeciwnego do wektora b. Zgodnie z rysunkiem sumę dwóch wektorów przedstawia jedna przekątna, a różnicę druga. Dodawanie analityczne dwóch wektorów a i b polega na wyrażeniu ich w postaci sumy składowych w przyjętym układzie współrzędnych, a następnie dodawaniu tych składowych przy odpowiednich wersorach a + b = (axi + ayj + azk) + (bxi + byj + bzk) = =(ax+bx)i + (ay+by)j + (az+bz)k = cxi + cyj + czk=c

a · b = a b cos(a,b) Rachunek wektorowy W rachunku wektorowym rozpatruje się dwa sposoby mnożenia wektorów: iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy. Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b jest to skalar równy iloczynowi modułów wektorów składowych przez cosinus kąta zawartego między nimi a · b = a b cos(a,b) Zgodnie z rysunkiem wyrażenie a·cosa przedstawia rzut wektora a na kierunek wektora b, natomiast b·cosa stanowi rzut wektora b na kierunek wektora a. Zatem, iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się iloczynowi jednego wektora przez rzut drugiego na kierunek pierwszego.

Rachunek wektorowy Na podstawie wzoru na iloczyn skalarny wektorów można rozpatrzeć kolejne przypadki iloczynu skalarnego: a || b i zwroty i moduły jednakowe cos(a,b)=1 a·b=ab a || b i zwroty przeciwne, moduły jednakowe cos(a,b)=-1 a·b=-ab a  b cos(a,b)=0 a·b=0 a = b cos(a,b)=1 a·b=a2 Z własności iloczynu skalarnego wynikają następujące związki między wektorami jednostkowymi (wersorami): i · i = j · j = k · k=1 i · j = j · k = k · i=0 Analityczne wyrażenie iloczynu skalarnego dwóch wektorów a i b ma postać a · b = (axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk) = axbxii+axbyij+axbzik+aybxji+aybyjj+aybzjk+azbxki+azbykj+azbzkk= =axbx+ayby+azbz

a · b = a b cos(a,b) a · b = axbx+ayby+azbz Rachunek wektorowy Skoro więc: a · b = a b cos(a,b) oraz a · b = axbx+ayby+azbz to można znaleźć kąt między danymi wektorami a i b

c = a x b, c = a b sin(a,b) FABCD = a b sinα Rachunek wektorowy Iloczyn wektorowy dwóch wektorów (a x b) jest to wektor, którego moduł równa się iloczynowi modułów wektorów składowych przez sinus kąta zawartego między nimi c = a x b, c = a b sin(a,b) Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory składowe a i b, zaś jego zwrot określa się regułą śruby prawoskrętnej. Wektor a obraca się o najmniejszy kąt a do pokrycia z wektorem b. Zwrot wektora c wskaże ruch końca śruby obracanej w takim samym kierunku. Moduł iloczynu wektorowego równa się liczbowo polu równoległoboku zbudowanego na wektorach składowych, gdyż a sin a lub b sin a przedstawiają wysokość tego równoległoboku FABCD = a b sinα

i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k, j x k = i, k x i = j Rachunek wektorowy Na podstawie wzoru na iloczyn wektorowy można zapisać: a || b sin(a,b)=0 a x b = 0 a = b sin(a,b)=0 a x b = 0 a  b sin(a,b)=1 a x b = ab(a0 x b0), |a x b| = ab Z własności iloczynu wektorowego wynikają następujące związki między wektorami jednostkowymi (wersorami): i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k, j x k = i, k x i = j j x i = -k, k x j = -i, i x k = -j

=(aybz – azby)i+ (azbx-axbz)j+ (axby - aybx)k Rachunek wektorowy Analityczne wyrażenie iloczynu wektorowego dwóch wektorów a i b ma postać a x b = (axi+ayj+azk) x (bxi+byj+bzk) = axbx(ixi)+axby(ixj)+axbz(ixk)+aybx(jxj)+ayby(jxj)+aybz(jxk)+azbx(kxi)+azby(kxj)+azbz(kxk)= =(aybz – azby)i+ (azbx-axbz)j+ (axby - aybx)k Wyrażenie to jest rozwinięciem wyznacznika