Zadania z indywidualnością

Zadanie 1. Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia Rozwiązanie standardowe: Wzór na najmniejszą wartość funkcji kwadratowej: Najmniejsza wartość = ̶ Δ/4a Δ = 44, a = 1, zatem najmniejsza wartość = – 11

Zadanie 1. Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia Rozwiązanie niestandardowe:

Zadanie 2. Rozwiąż równanie Rozwiązanie standardowe: Rozpatrujemy przypadki:

Zadanie 2. Rozwiąż równanie Rozwiązanie niestandardowe:

Zadanie 3. Dane są liczby rzeczywiste x, y takie, że Oblicz Rozwiązanie standardowe: Przekształcamy do postaci skąd i dalej

Zadanie 3. Dane są liczby rzeczywiste x, y takie, że Oblicz Rozwiązanie niestandardowe:

Zadanie 4. Rozwiąż równanie Rozwiązanie standardowe: Podnosimy obie strony do kwadratu, otrzymujemy równanie kwadratowe Obliczamy pierwiastki.

Zadanie 4. Rozwiąż równanie Rozwiązanie niestandardowe: Podstawiamy rozwiązujemy równanie a następnie równania

Zadanie 5. Wykaż, że jeśli wielomian ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to a < 0. Rozwiązanie standardowe (???): Z założenia istnieją k, m, n takie, że wielomian można zapisać w postaci Stąd W rezultacie z czego wynika a < 0.

Zadanie 5. Wykaż, że jeśli wielomian ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to a < 0. Rozwiązanie niestandardowe (?): Jeśli to wielomian jest funkcją rosnącą, a więc ma co najwyżej jeden pierwiastek.

Zadanie 6. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych Zadanie 6. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Wykaż, że jeśli c i d są różnymi liczbami całkowitymi, to c – d dzieli f(c) – f(d). Rozwiązanie standardowe: Niech Wówczas

Zadanie 6. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych Zadanie 6. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Wykaż, że jeśli c i d są różnymi liczbami całkowitymi, to c – d dzieli f(c) – f(d). Rozwiązanie niestandardowe: Z twierdzenia o reszcie: zatem

Zadanie 7. Zbadaj, czy istnieje wielomian w stopnia 3 o współczynnikach całkowitych, taki że w(0) = 1, w(1) =2, w(2)=3 oraz w(3)=0. Rozwiązanie standardowe: Niech Podstawiamy Układ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

Zadanie 7. Zbadaj, czy istnieje wielomian w stopnia 3 o współczynnikach całkowitych, taki że w(0) = 1, w(1) =2, w(2)=3 oraz w(3)=0. Rozwiązanie niestandardowe 1: Niech Z pierwszego warunku: d = 1. Z czwartego warunku:

Zadanie 7. Zbadaj, czy istnieje wielomian w stopnia 3 o współczynnikach całkowitych, taki że w(0) = 1, w(1) =2, w(2)=3 oraz w(3)=0. Rozwiązanie niestandardowe 2: Z pierwszego warunku: wyraz wolny = 1. Pierwiastek 3 musi dzielić wyraz wolny, czyli 1. Nie dzieli.

Zadanie 8. Niech Znajdź wszystkie wartości x, dla których w(w(x))=w(x). Rozwiązanie standardowe: Podstawiamy: a stąd

Zadanie 8. Niech Znajdź wszystkie wartości x, dla których w(w(x))=w(x). Rozwiązanie niestandardowe 1: Podstawiamy: a stąd czyli

Zadanie 8. Niech Znajdź wszystkie wartości x, dla których w(w(x))=w(x). Rozwiązanie niestandardowe 2: Jeśli w(a)=w(b), to a, b leżą symetrycznie względem osi symetrii wykresu w, czyli istnieje c takie, że x = ½ – c oraz w(x) = ½ + c . Stąd

DODATEK Zadanie bez numeru. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 2 liczba jest niewymierna. Rozwiązanie niestandardowe: Przypuśćmy, że Wtedy czyli wbrew Wielkiemu Twierdzeniu Fermata.

Zakończenie niestandardowe: To już jest koniec, nie ma już nic, jesteśmy wolni, możemy iść! •