Politechnika Rzeszowska FIZYKA CIAŁA STAŁEGO Vitalii Dugaev Katedra Fizyki Politechnika Rzeszowska Semestr letni, rok 2013/2014

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 1 DIAMAGNETYZM I PARAMAGNETYZM Namagnesowanie M zdefiniowane jest jako moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości Podatność magnetyczną przypadającą na jednostkę objętości definiuje się jako gdzie H jest makroskopowym natężeniem pola magnetycznego Substancje o ujemnej podatności magnetycznej zwane są diamagnetykami Substancje o dodatniej podatności magnetycznej zwane są paramagnetykami Uporządkowany układ momentów magnetycznych może być ferromagnetyczny, ferrimagnetyczny, antyferromagnetyczny, śrubowy (helikoidalny) lub o bardziej złożonej postaci Z jądrowymi momentami magnetycznymi związany jest paramagnetyzm jądrowy (około 10-3 razy mniejszy od momentu magnetycznego elektronu) Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 1

paramagnetyzm Langevina Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 2 (swobodne spiny) podatność magnetyczna paramagnetyzm van Vlecka paramagnetyzm Pauliego diamagnetyzm Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 2

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 3 Równanie diamagnetyzmu Langevina Twierdzenie Larmora: w polu magnetycznym ruch elektronu dookoła centralnego jądra jest – w pierwszym przybliżeniu po H – taki sam, jak ruch bez pola H, z tym wyjątkiem, że nakłada się nań precesja o częstości kątowej Precesja Larmora rozkładu elektronów jest równoważna prądowi elektrycznemu Moment magnetyczny μ pętli prądu równy jest iloczynowi natężenia prądu i powierzchni pętli πρ2 (pętla o promieniu ρ) gdzie <ρ2> = <x2>+<y2> jest średnią kwadratu odległości elektronu od osi pola, liczonej prostopadle do tej osi Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 3

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 4 Średni kwadrat odległości elektronu od jądra wynosi <ρ2> = <x2>+<y2>+<z2>. Dla rozkładu ładunku o symetrii kulistej <x2> = <y2>=<z2>, tak więc Podatność magnetyczna na jednostkę objętości, jeżeli N jest liczbą atomów przypadającą na jednostkę objętości, wynosi podatność diamagnetyczna Langevina Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 4

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 5 Diamagnetyzm cząsteczek Kierunek pola magnetycznego może nie być osia symetrii układu W większości układów cząsteczkowych ten warunek nie jest spełniony W przypadku cząsteczki wieloatomowej o kwantowej liczbie spinowej równej zeru mamy wyrażenie na całkowitą podatność molową gdzie N0 jest liczbą Avogadro, <s|μz|0> - elementem macierzowym składowej z orbitalnego momentu magnetycznego wiążącego stan podstawowy 0 ze stanem wzbudzonym s, zaś Es – E0 jest odstępem energii między tymi dwoma stanami Materiał jest bądź diamagnetykiem, bądź paramagnetykiem w zależności od tego, czy pierwszy czy ten drugi wyraz jest większy Drugi wyraz przedstawia tzw. paramagnetyzm van Vlecka Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 5

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 6 Paramagnetyzm Paramagnetyzm elektronowy (dodatni przyczynek do χ) występuje w: - atomach, cząsteczkach i defektach sieciowych mających nieparzystą liczbę elektronów, bo wówczas spin całkowity układu nie jest równy zeru - swobodnych atomach i jonach z częściowo wypełnioną powłoką wewnętrzną: pierwiastki grupy przejściowej, jony izoelektronowe z pierwiastkami grupy przejściowej, pierwiastki ziem rzadkich i aktynowce - w kilku związkach o parzystej liczbie elektronów, wliczając tu cząsteczkowy tlen i podwójne rodniki organiczne - metalach Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 6

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 7 Równanie paramagnetyzmu Langevina i prawo Curie Rozpatrujemy ośrodek zawierający N atomów na jednostkę objętości, z których każdy ma moment magnetyczny μ Namagnesowanie ośrodka jest wynikiem orientacji momentów magnetycznych Drgania cieplne przeciwdziałają działaniu pola porządkującemu momenty magnetyczne Energia oddziaływania z przyłożonym polem magnetycznym H Namagnesowanie jest określone przy pomocy równania Langevina gdzie x = μH/kBT, a funkcja Langevina L(x) ma postać Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 7

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 8 Dla x << 1 mamy L(x) ≈ x/3, tak więc namagnesowanie wynosi Podatność magnetyczna w granicy μH/kBT << 1 wynosi – prawo Curie gdzie stała Curie C = Nμ2/3kB. W temperaturach niskich obserwuje się efekty nasycenia Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 8

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 9 H/T, 10-3 Gs/K moment magnetyczny, magneton Bohra/jon funkcja Brillouina Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 9

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 10 Kwantowa teoria paramagnetyzmu Moment magnetyczny atomu lub jonu gdzie całkowity moment pędu jest sumą orbitalnego i spinowego momentu pędu. Stała jest stosunkiem momentu magnetycznego do momentu pędu; została nazwana stosunkiem magnetomechanicznym lub stosunkiem giromagnetycznym Wielkość g zdefiniowana przez zwana jest czynnikiem g lub czynnikiem spektroskopowym rozpraszania lub czynnikiem Landégo Dla spinu elektronu g = 2,0023, co zwykle przyjmuje się jako 2,0 Dla atomu swobodnego z orbitalnym momentem pędu – równanie Landégo Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 10

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 12 Magneton Bohra μB zdefiniowany jest jako i ma wartość 0,927∙10-20 erg/Gs Poziomami energii układu znajdującego się w polu magnetycznym są gdzie mJ jest azymutalną liczbą kwantową i ma wartości J, J–1 ,...,–J Dla pojedynczego spinu bez momentu orbitalnego mamy mJ = ±1/2 i g = 2, zatem 2|μB|H S = –½ μz = –μB S = ½ μz = μB Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 12

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 13 Jeżeli układ składa się tylko z dwóch poziomów, to obsadzenie ich w stanie równowagi gdzie N1 i N2 są obsadzeniami poziomów dolnych i górnych, a N = N1+N2 jest całkowitą liczbą atomów Wypadkowe namagnesowanie na jednostkę objętości gdzie x = βμH Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 13

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 14 W przypadku x << 1, tanh x ≈ x i mamy Podatność magnetyczna w tej granicy ma postać prawa Curie 1/χ, 105 mol/cm3 Gd(C2H5SO4)3∙9H2O Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 14

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 15 Atom z liczbą kwantową J, określającą moment pędu, w polu magnetycznym H ma 2J – 1 równoległych poziomów energii Namagnesowanie określa wzór gdzie funkcja Brillouina BJ(x) zdefiniowana jest następująco Dla x << 1 mamy skąd podatność magnetyczna gdzie jest efektywną liczbą magnetonów Bohra Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 15

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 16 Podatność paramagnetyczna elektronów przewodnictwa W temperaturze T << TF koncentracja elektronów o momentach magnetycznych równoległych i antyrównoległych do pola magnetycznego H wynosi Namagnesowanie wypadkowe: Spinowa podatność Pauliego: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 16

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 17 Ruch przestrzenny elektronów jest zaburzony przez pole magnetyczne Pole magnetyczne modyfikuje funkcje falowe elektronów Landau wykazał, że w przypadku elektronów swobodnych powoduje to pojawienie się momentu diamagnetycznego równego –1/3 momentu paramagnetycznego Całkowita podatność magnetyczna gazu elektronów swobodnych Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 17

deklinacyjny (odchylony) Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 18 FERROMAGNETYZM I ANTYFERROMAGNETYZM Ferromagnetyk ma spontaniczny moment magnetyczny, tzn. Występuje w nim moment magnetyczny nawet bez przykładania z zewnątrz pola magnetycznego Obecność spontanicznego momentu magnetycznego sugeruje, że spiny elektronów oraz momenty magnetyczne ustawione są w jakiś regularny sposób prosty antyferromagnetyk prosty ferromagnetyk ferrimagnetyk deklinacyjny (odchylony) antyferromagnetyk śrubowy układ spinów ferromagnetyczne pasmo energii Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 18

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 19 Punkt Curie i całka wymiany Rozpatrzmy paramagnetyk o koncentracji N jonów mających spin S Wprowadzając wewnętrzne oddziaływanie, które usiłuje ustawić momenty magnetyczne równoległe do siebie, otrzymujemy ferromagnetyk Wprowadźmy postulat, że takie oddziaływanie istnieje i nazwijmy je polem wymiany (zwane również polem Weissa) HE Zakładamy, że pole HE jest proporcjonalne do namagnesowania M gdzie λ jest stałą niezależną od temperatury Każdy spin „widzi” średnie namagnesowanie pochodzące od wszystkich pozostałych spinów Temperatura Curie Tc jest temperaturą, powyżej której spontaniczne namagnesowanie zanika; oddziela ona nieuporządkowaną fazę paramagnetyczną w T > Tc od uporządkowanej ferromagnetycznej w T < Tc Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 19

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 20 Jeżeli χ jest podatnością magnetyczną, to Prawo Curie: – prawo Curie-Weissa Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 20

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 21 Wartość stałej pola Weissa: W przypadku żelaza Tc ≈ 1000 K, g ≈ 2, S ≈ 1, λ ≈ 5000 Przy Ms ≈ 1700 mamy HE ≈ 107 Gs Jon magnetyczny wytwarza pole około 103 Gs Pole wymiany w żelazie jest znacznie silniejsze niż rzeczywiste pole magnetyczne pochodzące od innych jonów magnetycznych w krysztale Ni Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 21

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 22 Wyrażenie na energię oddziaływania atomów i-tego z j-tym, obdarzonych spinami Si i Sj: gdzie J jest całką wymiany, związaną z nakładaniem na siebie funkcji rozkładów atomów i-tego i j-tego Energia potrzebna do odwrócenia rozpatrywanego spinu w obecności wszystkich innych spinów gdzie jest średnią wartością wektora S w kierunku namagnesowania, Ω – objętością przypadająca na jeden atom, a z jest liczbą najbliższych sąsiadów Średni moment magnetyczny spinu: Namagnesowanie odpowiadające nasyceniu: – model Heisenberga Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 22

Wzbudzenia elementarne układu spinów mają postać fal i nazywane Fale spinowe Wzbudzenia elementarne układu spinów mają postać fal i nazywane są falami spinowymi lub – po skwantowaniu – magnonami stan podstawowy ferromagnetyka możliwe wzbudzenie fala spinowa fala spinowa wzdłuż linii spinów Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 23

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 24 Wzór Heisenberga dla oddziaływania między najbliżej siebie leżacymi spinami Wprowadzimy moment magnetyczny w położeniu p i efektywne pole magnetyczne działające na ten moment i otrzymujemy Szybkość zmiany momentu pędu jest równa momentowi skręcającemu, który działa na spin Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 24

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 25