Gotowi? No to zaczynamy 

Temat: Proporcjonalność prosta Lekcja Temat: Proporcjonalność prosta

Wyobraźcie sobie, że jesteście w górach.

Spacerując spotykacie stado owiec.

możecie dowiedzieć się, W jaki sposób możecie dowiedzieć się, ile ich jest?

To proste!

Wystarczy policzyć wszystkie nogi owiec i podzielić tę liczbę przez 4.

To oczywiście żart, ale coś w nim jest.

Wypunktujmy zatem kilka spostrzeżeń.

Im więcej owiec, tym więcej owczych nóg.

Im mniej owiec, tym mniej owczych nóg.

Liczba nóg podzielona przez liczbę owiec zawsze daje 4.

10 25 35 122 … x 40 100 140 488 4x Zauważ, że Liczba owiec Liczba owczych nóg 40 100 140 488 4x Zauważ, że

Jeśli liczbę nóg oznaczymy jako y, a liczbę owiec jako x, to mamy:

Wynik dzielenia liczby owczych nóg przez liczbę owiec za każdym razem jest taki sam, równy 4. Możemy powiedzieć, że liczba owiec i liczba owczych nóg to wielkości wprost proporcjonalne, a liczba 4 to współczynnik proporcjonalności.

Proporcjonalność prosta Wielkościami wprost proporcjonalnymi nazywamy wielkości zmieniające się w taki sposób, że wzrost lub zmniejszenie jednej powoduje wzrost lub zmniejszenie drugiej tyle samo razy. Iloraz tych wielkości jest stały. Przykłady

Czas i droga w ruchu jednostajnym. Rowerzysta jedzie ze stałą prędkością 20 km/h. Co oznacza, że w czasie 1 godziny przejedzie 20 km, w czasie 2 godzin 40 km, a w czasie 3 godzin 60 km. Zatem w czasie t godzin przejedzie t · 20 km. Współczynnik proporcjonalności jest stały i wynosi 20.

Współczynnik proporcjonalności jest stały i wynosi 4. Masa towaru i kwota, jaką należy za ten towar zapłacić. Cena 1 kg cukru wynosi 4 zł. Jeżeli za 1 kg cukru zapłacimy 4 zł, to za 2 kg zapłacimy 8 zł, a za 7 kg 28 zł. Zatem za m kilogramów cukru zapłacimy m · 4 zł. Współczynnik proporcjonalności jest stały i wynosi 4.

Długość boku trójkąta równobocznego i obwód tego trójkąta. Bok trójkąta równobocznego wynosi 6 cm. Obwód trójkąta równobocznego o boku 6 cm wynosi 18 cm. Zatem, gdy zwiększymy bok dwa razy, obwód też zwiększy się dwa razy i będzie wynosić 36 cm. Współczynnik proporcjonalności jest stały i wynosi 3.

Czas na zadania

Zadanie 1 Mała puszka farby wystarcza do pomalowania około 4m² powierzchni. Odpowiedz, ile metrów kwadratowych można pomalować, mając do dyspozycji: * 2 puszki * 5 puszek b) Oblicz, ile puszek musisz kupić, jeśli chcesz pomalować powierzchnię: * 40 m² * 100 m² Zobacz, jak rozwiązałam pierwszy przykład, a następnie spróbuj sam rozwiązać kolejny.

Odpowiedź: Mając do dyspozycji 2 puszki farby pomalujemy Rozwiązanie: 1 puszka farby – 4 m² 2 puszki farby – x Strzałki skierowane są w tę samą stronę (rosnąco), więc zapisujemy równanie zgodnie z ich kierunkiem: Korzystając z własności proporcji, mnożymy na krzyż i otrzymujemy równanie: 1· x = 2 · 4 x = 8 Odpowiedź: Mając do dyspozycji 2 puszki farby pomalujemy około 8 m² powierzchni.

Rozwiązanie: 1· 40 = 4 · x 40 = 4x /:4 10 = x 1 puszka farby – 4 m² x puszek farby – 40 m² Strzałki skierowane są w tę samą stronę (rosnąco), więc zapisujemy równanie zgodnie z ich kierunkiem: Korzystając z własności proporcji, mnożymy na krzyż i otrzymujemy równanie: 1· 40 = 4 · x 40 = 4x /:4 10 = x Odpowiedź: Aby pomalować 40 m² powierzchni, należy kupić 10 puszek farby.

Zadanie 2 Pan Nowak kupił w hurtowni Wszystko dla nóg 350 par skarpetek i zapłacił 630 zł. a) Oblicz, ile par takich skarpetek można kupić za 450 zł? b) Oblicz, ile w tej hurtowni trzeba zapłacić za 450 par? Zobacz, jak rozwiązałam pierwszy przykład, a następnie spróbuj sam rozwiązać kolejny.

Odpowiedź: Za 450 zł można kupić 250 par skarpetek. Rozwiązanie: 350 par skarpetek – 630 zł x par skarpetek – 450 zł Strzałki skierowane są w tę samą stronę (rosnąco), więc zapisujemy równanie zgodnie z ich kierunkiem: Korzystając z własności proporcji, mnożymy na krzyż otrzymując równanie: x· 630 = 450 · 350 630x = 157500 /:630 x = 250 Odpowiedź: Za 450 zł można kupić 250 par skarpetek.

Zadanie 3 Sprawdź, czy wielkości są wprost proporcjonalne. Jeśli tak, to podaj współczynnik proporcjonalności y do x. x 20 8 30 7 2,8 y 140 56 210 49 19,6 x 1 2 3 4 5 y 9 16 25 a) b) Zobacz, jak rozwiązałam pierwszy przykład, a następnie spróbuj sam rozwiązać kolejny.

Rozwiązanie: Wielkości x i y są wprost proporcjonalne, a współczynnikiem proporcjonalności jest liczba 7.

Źródło: * Ilustracje pochodzą ze strony pixabay.com i są w domenie publicznej * Tekst i zadania zaczerpnięte z podręczników do matematyki: Matematyka Europejczyka klasa 1, autorzy: Aleksandra Grzybowska, Ewa Madziąg, Małgorzata Muchowska, Bożena Zawistowska, Wydawnictwo Helion Edukacja 2012. 2. Matematyka klasa 1, autorzy: praca zbiorowa pod redakcją Małgorzaty Dobrowolskiej, Wydawnictwo GWO 2008. 3. Policzmy to razem klasa 1, autor: Jerzy Janowicz, Wydawnictwo Nowa Era 2010.

Opracowała: Monika Kubica, nauczycielka matematyki Gimnazjum Publicznego im. Arkadego Fiedlera w Dębnie Licencja: O ile nie zaznaczono inaczej wszystkie materiały zamieszczone w tej prezentacji udostępniam na licencji Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 2014 r.