RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ

Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny , zwanej płaszczyzną kierującą (Rys. 1). Przez ciało sztywne prowadzimy prostą l prostopadłą do płaszczyzny .

Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej Własności: Podczas dowolnego ruchu ciała prosta l porusza się ruchem postępowym i jest stale prostopadła do . Podczas ruchu obrotowego ciała wokół prostej l punkty leżące na prostej równoległej do l mają te same prędkości i przyspieszenia. Rys.1 Wniosek! Ruch płaski jest określony, jeżeli znamy ruch przekroju bryły po płaszczyźnie kierującej.

Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej Bryła wykonuje ruch płaski. Przekrój bryły S porusza się po płaszczyźnie rysunku z położenia I do II. I sposób (linia czerwona): Ruch postępowy przekroju z położenia I do IA; Obrót przekroju dookoła A1 o kąt φ. II sposób (linia niebieska): Ruch postępowy przekroju z położenia I do IB; Obrót przekroju dookoła B1 o kąt φ. Rys. 2

Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej Twierdzenie W ruchu płaskim możemy przeprowadzić bryłę z położenia początkowego do położenia końcowego za pomocą ruchu postępowego oraz obrotowego dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny kierującej i przechodzącej przez obrany biegun.

Równania Ruchu Płaskiego Przyjmijmy układ współrzędnych x, y, związany z płaszczyzną kierującą. Na ruchomym przekroju S obierzmy dowolny biegun A jako początek ruchomego układu współrzędnych , , związanego z poruszającym się przekrojem. – wektor położenia dowolnego punktu P w układzie stałym x, y. – wektor położenia punktu P w układzie ruchomym , . – wektor położenia bieguna A w układzie stałym. Uwaga! Rys. 3

Równania Ruchu Płaskiego – kąt zawarty między osią x a osią . Położenie układu ruchomego względem układu stałego:

Równania Ruchu Płaskiego Kinematyczne RÓWNANIA RUCHU PŁASKIEGO w postaci wektorowej Uwzględniając rzuty tych wektorów otrzymamy RÓWNANIA RUCHU PUNKTU P.

Prędkość w ruchu Płaskim Prędkość punktu P przekroju poruszającego się po płaszczyźnie kierującej: – prędkość punktu P przekroju – prędkość obranego bieguna A, jednakowa w danej chwili dla wszystkich punktów przekroju. Jest to prędkość ruchu postępowego. Prędkość końca wektora wskutek obrotu przekroju wokół bieguna A:

Prędkość w ruchu Płaskim Wektor prędkości dowolnego punktu przekroju: Prędkość dowolnego punktu w ruchu płaskim jest więc sumą geometryczną prędkości ruchu postępowego i prędkości ruchu obrotowego dookoła obranego bieguna.

Przyspieszenie w Ruchu Płaskim Przyspieszenie jest równe pochodnej wektora prędkości względem czasu: czyli Iloczyn wektorowy , lecz w przypadku ruchu płaskiego wektory i są stale do siebie prostopadłe, a więc co upraszcza równanie do postaci

Przyspieszenie w Ruchu Płaskim gdzie – przyspieszenie punktu A w ruchu postępowym – przyspieszenie styczne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A. – przyspieszenie normalne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A.

Toczenie się walca po powierzchni Przykład 1 Toczenie się walca po powierzchni v v 2v v√2 v v v v v + = O O O v ω v v ω v√2 r. postępowy + = r. obrotowy r. płaski ω = v/r

Toczenie się walca po powierzchni Przykład 1 Toczenie się walca po powierzchni r1 O α vobr P v

Przykład 2 Pręt AB o długości l umocowany jest poziomo na kołach o promieniach r tak, jak na rysunku. Koło o środku O obraca się ze stałą prędkością kątową ω1. Znaleźć prędkość oraz przyspieszenie punktu B.

ROZWIĄZANIE Obieramy układ współrzędnych x i y oraz  i  tak, jak na rysunku. Oxy – układ nieruchomy; A – układ ruchomy. Wtedy