Dynamika układu punktów materialnych MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie geometrycznym, którym przypisane są pewne masy. Układ nazwiemy swobodnym, gdy nie istnieją żadne ograniczenia, które krępowałyby ruchy punktów. Układ nazwiemy nieswobodnym, jeżeli wystąpią jakiekolwiek ograniczenia ruchów.

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układ nieswobodny Więzy ograniczające swobodę ruchów poszczególnych punktów Szczególnym modelem układu nieswobodnego punktów materialnych jest ciało sztywne (bryła materialna), którego więzy polegają na tym, że wzajemne odległości dwu dowolnych punktów bryły nie ulegają zmianie w czasie ruchu.

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Siły działające na układ (rys. 1) dzielimy na: zewnętrzne, wewnętrzne. Siłami wewnętrznymi nazywamy wzajemne oddziaływania poszczególnych punktów układu na siebie. Siłami zewnętrznymi nazywamy siły pochodzące od działania innych ciał, nie wchodzących w skład badanego układu. Uwaga! Jedna konkretna siła może być zewnętrzna dla jednego, wewnętrzna zaś dla drugiego układu. Na przykład siła ciężkości jest dla punktu materialnego siłą zewnętrzną, natomiast będzie ona siłą wewnętrzną dla układu złożonego z Ziemi i danego punktu. Rys. 1

Dynamiczne równanie ruchu i-tego PUNKTU pod działaniem wypadkowej sił zewnętrznych działających na badany punkt oraz sił wewnętrznych układu ma postać: (1) gdzie: – masa punktu – wektor przyspieszenia masy mi – wypadkowa z sił zewnętrznych, działających na punkt – siła wewnętrzna oddziaływania masy mk na masę mi, przy czym k = 1,...,n. Układ równań (1) w postaci wektorowej można przedstawić w równoważnej postaci analitycznej np. we współrzędnych kartezjańskich (2)

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych W przypadku występowania więzów ograniczających ruch układu, obok wzajemnego oddziaływania punktów materialnych na siebie, należałoby wprowadzić po prawej stronie siły reakcji więzów. Równania (1) możemy zapisać w postaci (3) przedstawiającej zasadę bezwładności d'Alemberta w odniesieniu do układu punktów materialnych.

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Siły działające na poszczególne punkty materialne poruszającego się układu równoważą się w każdej chwili z „pomyślanymi” siłami bezwładności. Zasada d’Alemberta: Wektory nazywamy siłami bezwładności lub siłami d'Alemberta punktów materialnych o masach

Ruch środka masy układu punktów materialnych Współrzędne środka masy układu punktów materialnych: w postaci wektorowej (4) gdzie – masa całkowita b) w postaci analitycznej (np. w układzie kartezjańskim) (5) gdzie – współrzędne środka masy układu punktów materialnych

Ruch środka masy układu punktów materialnych Różniczkując równanie (4) względem czasu otrzymujemy (6) przedstawia pęd masy punktu gdzie wektor – wektor pędu ogólnego układu punktów materialnych. Twierdzenie: Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi całej masy układu, skupionej w jego środku masy.

Ruch środka masy układu punktów materialnych Różniczkując po raz drugi równanie (4) napiszemy (7) lub (8) Suma sił bezwładności punktów materialnych równa się sile bezwładności masy całkowitej, skupionej w środku masy tego układu. Wstawiając wzór do równania (8) otrzymujemy (9)

Ruch środka masy układu punktów materialnych Zauważmy jednak, że wektor główny sił wewnętrznych układu, występujących tzw. dwójkami zerowymi , jest równy zeru, czyli (10) (11) a więc Zasada ruchu środka masy układu punktów materialnych Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak samo jak punkt, w którym skupiona jest cala masa układu i na który działa suma wszystkich sił zewnętrznych.

Ruch środka masy układu punktów materialnych Zasadę ruchu środka masy układu punktów materialnych, przedstawioną w postaci wektorowej wzorem (11), możemy też opisać analitycznie (12)

Zasada pędu układu punktów materialnych Uwzględniając wzory oraz możemy napisać: (13) (14) lub też zgodnie z oznaczeniem pędu: Pęd układu punktów materialnych wynosi: (15)

Zasada pędu układu punktów materialnych Pochodna względem czasu wektora ogólnego pędu układu punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych, działających na dany układ. Zauważmy, że w przypadku gdy wektor główny sił zewnętrznych będzie równy zeru, wówczas pęd układu będzie wektorem stałym (co do modułu i co do kierunku). Jest to tzw. zasada zachowania pędu układu punktów materialnych. Wzór możemy przedstawić za pomocą równoważnych trzech równań analitycznych (16)

Zasada pędu układu punktów materialnych Wniosek Jeżeli część układu punktów materialnych zmienia w pewnej chwili swój pęd pod wpływem tylko sił wewnętrznych, wówczas pęd pozostałej części układu ulega odpowiedniej zmianie, zgodnie z warunkami gdyż

Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych Całkując równanie w przedziale czasu od do , otrzymamy (17) lub (18) Jak już wiemy z dynamiki punktu, wektor przedstawia elementarny impuls siły w czasie a więc równanie (19)

Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych możemy przedstawić również w postaci: (20) Zasada pędu i impulsu układu punktów materialnych Przyrost wektora pędu układu punktów materialnych w określonym przedziale czasu jest równy sumie impulsów sił zewnętrznych, działających na ten układ.

Kręt ogólny układu punktów materialnych Kręty (momenty wektorów pędów) poszczególnych punktów materialnych układu względem bieguna O wynoszą:

Kręt ogólny układu punktów materialnych Krętem ogólnym układu punktów materialnych względem przyjętego bieguna nazywamy sumę wektorów krętów poszczególnych punktów materialnych. ZASADA KRĘTU Pochodna wektora krętu ogólnego układu po czasie względem dowolnego bieguna jest równa wektorowi momentu głównego sił zewnętrznych, działających na ten układ względem tego samego bieguna.

Kręt ogólny układu punktów materialnych Postać analityczna tej zasady w układzie współrzędnych x, y, z: (21) W przypadku gdy suma momentów sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, czyli kręt ogólny jest wektorem stałym natomiast Jest to tzw. zasada zachowania krętu układu punktów materialnych. Warto podkreślić, że ani siły wewnętrzne, ani ich momenty nie mogą zmienić krętu ogólnego układu.

Kręt ogólny układu punktów materialnych - kręt układu, umieszczonego w początku A ruchomego układu odniesienia ξ, η, ζ względem punktu A – kręt obrotu układu ξ, η, ζ względem punktu A – kręt ruchu względnego układu punktów materialnych – kręt całej masy układu, skupionej w środku masy, poruszającej się z prędkością środka układu ruchomego, względem tego środka.

Kręt ogólny układu punktów materialnych Omówimy tu dwa charakterystyczne przypadki: a) Środek układu ruchomego pokrywa się ze środkiem masy układu punktów materialnych; układ ruchomy wykonuje ruch postępowy. – moment względem bieguna stałego O pędu ogólnego, skupionego w środku masy układu (tu założono w środku układu ruchomego); – kręt ogólny względem środka masy układu w wyniku ruchu względnego punktów materialnych.

Kręt ogólny układu punktów materialnych b) Środek układu ruchomego jest ustalony i pokrywa się ze środkiem układu stałego czyli oraz wówczas wzór sprowadza się do postaci I w tym przypadku kręt ogólny jest sumą dwu krętów: - ruchu obrotowego układ ruchomego - ruchu względnego układu punktów materialnych.

Kręt ogólny układu punktów materialnych Zakładając w szczególnym przypadku, że punkty materialne połączone są sztywno z układem ruchomym, czyli otrzymamy Jest to kręt ciała sztywnego.

Ruch układu o zmiennej masie Druga zasada dynamiki Newtona dla układu materialnych – zasada pędu:

Ruch układu o zmiennej masie Zakładając, że od układu odrywa się z prędkością bezwzględną masa , określimy elementarną zmianę wektora pędu układu przy czym – wektor pędu układu przed oderwaniem się masy – pęd układu po oderwaniu się masy

Ruch układu o zmiennej masie Uwzględniając wzór napiszemy, po pominięciu iloczynu różniczek, gdzie nazywamy siłą reakcji cząstki oddzielającej się.

Ruch układu o zmiennej masie W przypadku gdy równocześnie oddziela się lub przyczepia więcej mas , równanie napiszemy w ogólniejszej postaci (22) gdzie zaś – wektor prędkości względnej oddzielającej się lub dołączającej się masy Wzór (30) przedstawia tzw. równanie Mieszczerskiego, charakteryzujące ruch układu o zmiennej masie.