Twierdzenie Pitagorasa Anna Jaworska, Katarzyna Jaworska, Magdalena Wróblewska Publiczne Gimnazjum nr 3 w Białymstoku, ul. Spacerowa 4

Pitagoras Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e), filozof grecki. Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p.n.e. Przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego twierdzeniem Pitagorasa (znanego wcześniej jako reguła bez dowodu), odkrył niewspółmierność boku i przekątnej kwadratu, przypisywał magiczne własności liczbom. Wydaje się, że Pitagoras przekazywał swe nauki w postaci maksym, np. Zły język zdradza złe serce. Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie.

Pitagoras

Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Twierdzenie Pitagorasa Dowód: Założenie: ∆ABC jest prostokątny Teza: a2+b2=c2 Dowód:   Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten składa się z kwadratu o boku c oraz czterech przystających trójkątów prostokątnych. Jego pole możemy więc zapisać: 

Twierdzenie Pitagorasa Dowód c.d.: Porównując ze sobą oba pola otrzymamy: a2+2ab+b2= c2+2ab a2+b2= c2+2ab-2ab Ostatecznie otrzymamy: a2+b2= c2

Twierdzenie Pitagorasa Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa Dowód Garfilda: Autorem sprytnego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku 1876 i przebiega jak następuje:

Twierdzenie Pitagorasa Dowód Garfielda: na przyprostokątnej | BC | = a danego trójkąta prostokątnego ΔABC odkładamy | CD | = | AB | = b, a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy | BC | = a. Trójkąt ΔACE jest prostokątny (<ACE=180o - < ACB - < ECD= =180o - < ACB - < CAB= < ABC=90o) i równoramienny, a jego pole wynosi pola trójkątów ΔABC i ΔCDE są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE o polu (b + a)(a + b) / 2.

Twierdzenie Pitagorasa Dowód Garfielda c.d.: Stąd równości: (b+a)(a+b)=c2+2 a2+2ab+b2=c2+2 a2+b2=c2

Twierdzenie odwrotne Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta, jest równa kwadratowi długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie odwrotne Dowód: Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów. My to udowodnimy następująco: Weźmy dowolny trójkąt ABC o bokach odpowiednio: |BC|=a, |AC|=b, |AB|= c spełniający warunek: a2+b2=c2

Twierdzenie odwrotne Dowód c.d.: Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt KLM taki, że: |KL|=a, |KM|=b oraz < LKM= 90o Trójkąt KLM jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia pitagorasa i obliczyć bok LM : |LM| 2 = a2 + b2 z trójkąta ABC mamy: |LM| 2 = a2 + b2 = c2

Twierdzenie odwrotne Dowód c.d.: zatem: | LM | = c Okazało się, że: | BC | = a = | KL | , | AC | = b = | KM | , | AB | = c = | LM | Z cechy przystawania trójkątów (bbb) wnioskujemy, że trójkąty ABC i KLM są przystające. Z faktu, iż trójkąt KLM jest prostokątny wynika, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Ślimak Teodorasa Ślimak Teodorasa — konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z liczby naturalnej. Pomysł konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny.

Ślimak Teodorosa

Ciekawostki Trójkąt prostokątny, którego boki mają długość: 3,4,5 nazywamy trójkątem pitagorejskim. Pole każdego trójkąta pitagorejskiego jest liczbą całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6. Prostokąt, którego boki i przekątne mają długości całkowite można nazwać pitagorejskim. Prostopadłościan, którego krawędzie i przekątne wszystkich ścian mają długości całkowite nazywamy pitagorejskim.

Twierdzenie Pitagorasa Dziękujemy za uwagę