Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 9.17, 9.18 Bootstrap: rozdział 13 Slajdy 4-31 wykorzystują materiały z tego podręcznika

Literatura B. Efron (1979) Bootstrap methods: another look at the jackknife, Annals of Statistics 7, 1-26. C.F.J.Wu (1986) Jackknife, bootstrap and other resampling methods in regression analysis, Annals of Statistics 14, 1261-1295. J.Shao, C.F.J.Wu (1989) A general theory for jackknife variance estimation, Annals of Statistics 17, 1176-1197. C.F.J.Wu (1990) On the asymptotic properties of the jacknife histogram, Annals of Statistics 18, 1438-1452.

Monte Carlo Niech oznaczają obserwacje losowo wybrane z populacji Niech oznacza parametr, a niech będzie interesującą nas statystyką, np. estymatorem lub statystyką t:

Monte Carlo Dystrybuanta statystyki oznaczona będzie jako: Często rozkład statystyki nie jest znany w skończonych próbach. Metoda Monte Carlo symuluje numerycznie prawdziwy rozkład statystyki dla wybranych (w skończonych próbach, dla wybranych przypadków)

Opis metody Monte Carlo Wybieramy rozkład i wielkość próby rozkład określa lub jest bezpośrednio ustalony Losujemy niezależnie par z rozkładu (stosując generator liczb pseudolosowych) Liczymy interesującą nas statystykę:

Opis metody Monte Carlo Powtarzamy losowanie B razy (zwykle 1000, 5000) i zapamiętujemy każdy wynik: Wyniki te stanowią próbę losową o wielkości B z rozkładu: ( B – experiments, replications)

Zastosowania Monte Carlo Na podstawie próby możemy policzyć różne charakterystyki rozkładu statystyki. Na przykład: „obciążenie” (ang. bias) błąd średniokwadratowy wariancja rozkładu gdzie:

Zastosowania Monte Carlo Obliczenia błędu 1. rodzaju, np. dla ( ) dwustronnego testu t : Obliczamy Obliczenia kwantyla rozkładu : sortujemy próbę rosnąco kwantyl to liczba nr

Zastosowanie Monte Carlo Precyzja symulacji: We wcześniejszym przykładzie zmienna losowa ma rozkład zero-jedynkowy przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem: jest zatem nieobciążonym estymatorem z odchyleniem standardowym Na przykład dla testu z 5% poziomem istotności Dla B =100, 1000, 5000 0,022 ; 0,007 ; 0,003

Przykład 1 Prosty model: Testujemy hipotezę: Statystyka testowa: Teraz testujemy równoważną hipotezę:

Przykład 1 Statystyka testowa ma rozkład: Przyjmijmy dla

Zastosowanie Monte Carlo Dla różnych r mamy różne wartości statystyki Walda, a powinny być identyczne, bo hipoteza H0 jest identyczna, a r wybrane arbitralnie. Przeanalizujmy symulacyjnie błąd 1. rodzaju: 50000 wylosowanych prób obserwacji o odpowiedniej długości , odchyleniu stand. , parametrze i przy założeniu, że .

Zastosowanie Monte Carlo Najlepsze wyniki dla r = 1.

Przykład 2 Model: Testujemy hipotezę: Niech będą oszacowaniami MNK modelu, a wariancją oszacowań.

Przykład 2 Niech . Odchylenie standardowe to: gdzie: to wektor

Przykład 2 Statystyka testowa . Inny zapis hipotezy: gdzie:

Zastosowanie Monte Carlo Niech i niezależne z rozkładu N(0,1) Załóżmy , , Generujemy 50000 prób i liczymy błędy 1. rodzaju:

Bootstrap Niech oznaczają obserwacje losowo wybrane z populacji Niech oznacza parametr, a niech będzie interesującą nas statystyką, Dystrybuanta statystyki oznaczona będzie jako:

Bootstrap Próbujemy przybliżać rozkład statystyki wykorzystując zgodne oszacowanie Rozkładem bootstrap nazywamy rozkład: Niech oznaczają obserwacje losowe wybrane z rozkładu

Bootstrap Statystyka ma rozkład , czyli (bootstrap statistic) Rozkład statystyki jest zmienną losową zależną od

Empiryczna dystrybuanta Rozkład: Analogicznie, zgodnie z metodą momentów: zgodny estymator nieparametryczny dla

Bootstrap Empiryczna dystrybuanta: Funkcje obserwacji z próby:  nieparametryczna metoda bootstrap Funkcje obserwacji z próby: średnia z próby empirycznej

Opis metody bootstrrap Wielkość próby równa wielkości oryginalnej próby Losujemy niezależnie par z rozkładu empirycznego (ze zwracaniem) Liczymy interesującą nas statystykę: Liczba replikacji: B=1000 zwykle wystarcza (teoria: Andrews, Buchinsky 2000)

Bootstrap - zastosowania Obciążenie to . Niech , to Odpowiedniki „bootstrapowe”: Estymator: „Bootstrapowe” oszacowanie obciążenia:

Bootstrap - zastosowania Oszacowanie obciążenia można policzyć: Estymator z (oszacowaną) korektą obciążenia: można by , ale nieznane zatem

Bootstrap - zastosowania Niech . Wariancja Oszacowanie z symulacji bootstrap: wariancja odchylenie standardowe

Bootstrap - zastosowania Przedziały ufności dla : Niech kwantyl z oryginalnego rozkładu, a kwantyl z rozkładu bootstrapowego Można policzyć przedział ufności dla sortując i wyliczając: Lepiej jednak posortować i wstawić kwantyle do:

Bootstrap w modelach regresji Model oryginalny: Symulowanie danych metodą bootstrap prowadzi do modelu: ale

Bootstrap w modelach regresji Rozwiązanie 1: niezależne i losujemy z EDF lub losujemy z rozkładu parametrycznego lub przyjmujemy stałe w replikacjach losujemy z reszt liczonych MNK lub losujemy z rozkładu parametrycznego np.

Bootstrap w modelach regresji Rozwiązanie 2: „wild bootstrap” konstruujemy taki rozkład , że: dla każdego symulujemy z rozkładu dwupunktowego

Metoda jackknife Umożliwia próbkowanie z oryginalnego, często nieznanego rozkładu wybieramy podpróby (m<n) z próby (n) zwykle w sposób deterministyczny Bootstrap - próbkowanie z rozkładu empirycznego

„delete-1” jackknife Podpróby budujemy poprzez usunięcie 1 obsewacji (m=n-1) Nie losujemy podprób, wybieramy wszystkie n możliwych podprób Podpróba bez i-tej obserwacji: x(i)

„delete-1” jackknife pojedyncza replikacja statystyki metodą jackknife: Na przykład: replikacja średniej Wyliczenie końcowej statystyki wymaga wyliczenia wszystkich n replikacji

„delete-1” jackknife Oszacowanie średniej metodą jacknife: Oszacowanie wariancji metodą jacknife Oszacowanie obciążenia estymatora

Jackknife w modelu regresji Oszacowanie parametrów MNK Oszacowanie jacknife: w i-tej replikacji usuwamy parę xi, yi obliczamy „pseudowartości” oszacowanie parametrów (zwykle większa wariancja niż MNK) szacunek wariancji parametrów zwykle obciążony

Problem Metoda „delete-1” jackknife nie nadaje się do wyliczania mediany, kwantyli, histogramu niezgodne i asymptotycznie obciążone oszacowania dla funkcji statystyk niedostatecznie „gładkich” (ang. smooth, gdzie małe zmiany w danych powodują duże zmiany w wartości statystyki)

„delete-d” jackknife Podpróby budujemy poprzez usunięcie d obsewacji (m=n-d) Wybieramy wszystkie możliwe podpróby Do wyliczania kwantyli, histogramu wybieramy

„delete-d” jackknife Oszacowanie średniej metodą jacknife: Oszacowanie wariancji metodą jacknife

„delete-d” jackknife Możliwość zmniejszenia liczby replikacji „balanced subsampling”: m<<J Każdy i występuje w tej samej liczbie f podprób Każda para (i,j), i<j, występuje razem w tej samej liczbie podprób ewentualnie (ale gorsze własności) „grouped jacknife”: n=gh (h – rozmiar grupy usuniętej z próby w i-tej replikacji, g – liczba grup)