Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 4)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Czw. 13.00-15.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) Pręty cienkościenne - Pręty cienkościenne o przekroju otwartym lub zamkniętym - Modelowanie pręta cienkościennego - Zginanie nierównomierne pręta cienkościennego o przekroju otwartym - Skręcanie nieswobodne pręta cienkościennego o przekroju otwartym   Rozwiązanie zadania skręcania nieswobodnego prętów cienkościennych o przekroju otwartym - Przypadek ogólny obciążenia pręta cienkościennego o przekroju otwartym W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Pręty cienkościenne Modelowanie pręta cienkościennego Rozważane przekroje otwarte i równomierna długość ścianek W pręcie cienkościennym o przekroju otwartym sposób przyłożenia statycznie równoważnych obciążeń na jego końcach może mieć decydujący wpływ na stan naprężeń i odkształcenia w całym pręcie. Pręt 2-teowy rozciągany siłą 2F Zginanie z rozciąganiem poszczególnych półek F 2F półka środnik Efekt zginania tym bardziej zauważalny, im sztywność elementu łączącego półki jest mniejsza.

Pręty cienkościenne Charakterystyki geometryczne przekroju Punkt P – biegun Elementarny łuk linii środkowej ścianki – ds Podwójne pole powierzchni trójkąta PAB [mierzone w m2] wynosi dω = rds, gdzie r jest odległością punktu P od stycznej do linii środkowej ścianki w punkcie A, którego położenie określa współrzędna s (lub współrzędne y, z w układzie głównych centralnych osi przekroju pręta). B ds A P s r x – oś pręta S y

Pręty cienkościenne Pole wycinkowe lub współrzędna wycinkowa ω [m2]: Jeśli promień r przy przejściu z położenia początkowego 0 do końcowego s dokonuje obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to ω uważamy za dodatnie. Statyczny moment wycinkowy Sω [m4]: Statyczne liniowe momenty wycinkowe względem osi y i z, Sωy i Sωz [m5] oraz wycinkowy moment bezwładności przekroju Iω [m6]: Dla stałej grubości ścianki (g = const):

Zginanie nierównomierne pręta cienkościennego o przekroju otwartym Pręty cienkościenne Współrzędna wycinkowa ω zależna zarówno od położenia bieguna P, jak i punktu 0. Biegun P, względem którego Sωy = 0 i Sωz = 0, nazywa się głównym. Najbliżej położony takiego bieguna P początek 0 odmierzania s, dla którego Sω = 0, nazywa się głównym wycinkowym punktem zerowym. Określona względem takiego bieguna P i punktu 0 współrzędna wycinkowa ω nosi nazwę głównej. Zginanie nierównomierne pręta cienkościennego o przekroju otwartym Jeśli pręt cienkościenny podlega zginaniu nierównomiernemu, to w jego przekroju działają składowe momentów gnących Mgy, Mgz oraz sił poprzecznych Ty, Tz w układzie głównych centralnych osi bezwładności y, z. Rozkład naprężeń normalnych σ w ściance przekroju określa się tak samo jak w przypadku pręta o przekroju pełnym.

Pręty cienkościenne gdzie: Iy, Iz – główne centralne momenty bezwładności przekroju pręta. Naprężenia styczne τ w ściance przekroju, odpowiadające punktowi na linii średniej, którego położenie określa współrzędna s (lub współrzędne y, z) są rozłożone równomiernie na grubości ścianki i mają kierunek stycznej do jej linii środkowej. Jeśli ściankę otwartego przekroju pręta cienkościennego potraktować jako wydłużony i skrzywiony „prostokąt” o szerokości g, to do określenia naprężeń τ można użyć wzoru Żurawskiego:

Pręty cienkościenne Wielkości Sz0 i Sy0 są momentami statycznymi względem osi z i y odciętej części przekroju zawartej w przedziale od 0 do s, określonymi wzorami: τ Ty Tz S z y Mgy Mgz g x τ zK S P yK z yP zP K s g y

Pręty cienkościenne Naprężenia styczne τ obiegają linię środkową ścianki przekroju w jednym kierunku. Obciążenia zewnętrzne działające w płaszczyznach przechodzących przez oś pręta mogą wywoływać w jego przekroju taki układ elementarnych sił stycznych τgds, których suma momentów względem środka geometrycznego S przekroju będzie różna od zera. Powoduje to dodatkowe skręcanie swobodne pręta. Istnieje punkt redukcji K, zwany środkiem ścinania przekroju, względem którego układ elementarnych sił tnących redukuje się wyłącznie do siły poprzecznej. Jeżeli obciążenie jest przyłożone w środku ścinania K, pręt cienkościenny o przekroju otwartym nie podlega dodatkowemu skręcaniu. τmax = 2T/πRg τ φ τmax dψ ψ g S R y z

Pręty cienkościenne Przykład. Pręt o przekroju w postaci niezamkniętego pierścienia podlega zginaniu ukośnemu siłami zewnętrznymi leżącymi w płaszczyźnie pionowej xz przechodzącej przez środek geometryczny S. Wyznaczyć rozkład naprężeń stycznych τ w ściance przekroju oraz położenie środka ścinania K. Rozwiązanie. Moment statyczny zakreskowanej części przekroju względem osi y: Moment bezwładności całego przekroju względem osi y: Naprężenie τ wynosi: Wykres rozkładu naprężeń τ w ściance pokazano na rysunku.

Pręty cienkościenne Suma rzutów elementarnych sił stycznych τgds = τgRdφ, działających w ściance przekroju, na oś z musi być równa sile poprzecznej T i nie ulega zmianie przy zmianie położenia bieguna redukcji: τ K T 2R S Ms y R z Suma momentów elementarnych sił stycznych τgds = τgRdφ względem środka geometrycznego przekroju S wynosi:

Pręty cienkościenne Jest to moment, który wywołuje dodatkowe skręcanie pręta, kiedy obciążenie leży w płaszczyźnie pionowej xz. Przy zmianie bieguna redukcji S na położony od niego o 2R w prawo (biegun K), suma elementarnych sił stycznych zmienia się o moment siły T przyłożonej w starym biegunie S względem nowego bieguna K, czyli o 2TR. W takim razie moment będzie równy MK = Ms – 2TR = 0. Punkt K jest środkiem ścinania rozważanego przekroju pręta. Jeśli obciążenie zewnętrzne działać będzie w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny xz, przechodzącej przez środek ścinania K, spowoduje tylko zginanie nierównomierne pręta bez dodatkowego skręcania. Współrzędne środka ścinania w przypadku ogólnym.

Pręty cienkościenne Współrzędne środka ścinania w przypadku ogólnym. Suma momentów elementarnych sił stycznych w przekroju pręta względem środka ścinania K (o współrzędnych yK, zK w układzie głównych centralnych osi bezwładności y, z) musi być równa zeru: sc – długość całkowita linii środkowej ścianki przekroju. Z warunku tego eliminujemy τ: Pierwszą całkę obliczamy przez części: Dla s = 0, Sz0 = 0 – powierzchnia „odciętej” części przekroju jest równa zeru. Dla s = sc, Sz0 = 0, jest to moment statyczny całego przekroju względem osi y, która przechodzi przez jego środek ciężkości.

Pręty cienkościenne Stąd Ponadto czyli a więc: Po analogicznym przekształceniu drugiej całki, otrzymamy: Będzie on spełniony tożsamościowo dla dowolnej wartości Ty i Tz, jeśli: i Związek między współrzędnymi wycinkowymi ωP i ω = ωK, przynależnymi odpowiednio dowolnemu biegunowi P (o współrzędnych yP, xP) i środkowi ścinania K w układzie głównych centralnych osi bezwładności y, z.

Pręty cienkościenne Wyraźmy najpierw współrzędną wycinkową ω przez wpółrzędne punktu na linii środkowej ścianki przekroju y, z, w przypadku gdy biegunem jest środek ciężkości przekroju S. Z dokładnością do małych wyższego rzędu dω jest równe różnicy podwójnych powierzchni trójkątów SAC i SBC, czyli: z z z1 z2 a B S A dz C K y2 b z P y1 S y dy S y y W takim razie w układach współrzędnych y1, z1, oraz y2, z2 można wyliczyć ωP i ωK następująco:

do wyrażenia określającego ωK otrzymujemy: Pręty cienkościenne Po wstawieniu do wyrażenia określającego ωK otrzymujemy: ale gdzie: y, z – wpółrzędne bieżącego punktu na środkowej linii ścianki przekroju, którego położenie określa współrzędna krzywoliniowa s; y0, z0 – współrzędne punktu 0, od którego odmierza się s, w układzie głównych osi centralnych y, z, dlatego:

Pręty cienkościenne Stąd: Ponieważ y, z są głównymi centralnymi osiami bezwładności: Jeżeli uwzględnimy ponadto, że b = zK – zP, otrzymamy z pierwszego warunku następujące równanie:

Pręty cienkościenne Analogicznie wyliczamy drugą współrzędną środka ścinania przekroju cienkościennego: Wielkości są statycznymi liniowymi momentami wycinkowymi względem osi y i z przynależnymi dowolnemu biegunowi P. Środek ścinania K leży na osi lub w punkcie symetrii przekroju. Pokrywa się on z tzw. punktem promieniowym, względem którego moment elementarnych sił stycznych musi być zawsze równy zeru. Dla przekroju kątownika lub teownika punkt promieniowy leży na przecięciu linii środkowych elementów przekroju. Położenie środka ścinania K, który jest biegunem głównym, wyznacza się przyjmując dowolny początek 0 odmierzania współrzędnej s na linii środkowej ścianki przekroju cienkościennego. Zmiana położenia punktu 0 przy ustalonym biegunie powoduje zmianę wartości ω dla dowolnego punktu przekroju cienkościennego. Umożliwia to wyznaczenie położenia głównego wycinkowego punktu zerowego 0 z warunku Sω = 0, a następnie współrzędnej wycinkowej ω.

Pręty cienkościenne Skręcanie nieswobodne pręta cienkościennego o przekroju otwartym Przy skręcaniu nieswobodnym pręta cienkościennego przekrój, zachowując swój kształt, obraca się wokół środka ścinania K. Na skutek różnej formy deplanacji poszczególnych przekrojów, włókna wzdłużne pręta ulegają wydłużeniu lub skróceniu. Obok naprężeń stycznych τ pojawiają się w związku z tym naprężenia normalne σx. Wyróżnia się naprężenia styczne τv wynikające ze skręcania swobodnego momentem czystego skręcania Mv oraz naprężenia styczne wycinkowe τω spowodowane momentem zginająco-skręcającym Mω. τ τv τω

Pręty cienkościenne Pierwsze z nich mają rozkład liniowy, a drugie – równomierny wzdłuż grubości ścianki. Naprężenia τ otrzymuje się w wyniku superpozycji τv i τω. Moment skręcający MK, jako rezultat redukcji elementarnych sił wewnętrznych względem środka ścinania K, spełnia wraz z Mv i Mω następujące równanie równowagi: W środkowej warstwie ścianki pręta odkształcenia postaciowe γxs = 0, co można zapisać następująco: gdzie: u, v – składowe przemieszczenia punktu warstwy środkowej w kierunku osi x i s.

Pręty cienkościenne dφ r dv K Po uwzględnieniu, że dv = rdφ, wyliczamy przemieszczenie u: czyli deplanację przekroju cienkościennego przy skręcaniu nieswobodnym, ponadto, ω, a więc i u są funkcjami s. Oznacza to, że przekrój po odkształceniu pręta przestaje być płaski. Zakładając w przybliżeniu, że w pręcie panuje jednoosiowy stan odkształcenia, a naprężenia normalne są rozłożone równomiernie wzdłuż grubości ścianki:

Pręty cienkościenne czyli naprężenia normalne przy skręcaniu nieswobodnym. Zarówno u, jak i εx oraz σx są funkcjami x, ponieważ przy skręcaniu nieswobodnym w pewnych przekrojach, np. w miejscu utwierdzenia pręta, u ma wartość niezależną od ω. Ponieważ siła normalna i moment gnący w przekroju pręta są równe zeru, układ elementarnych sił normalnych związanych z naprężeniami σx musi się sam równoważyć. Umożliwia to wyznaczenie położenia środka ścinania K. Moment zginająco-skręcający Mω jest zdefiniowany zależnością:

Pręty cienkościenne τω dx σx x g σx + dσx Suma rzutów na oś x sił działających na segment wydzielony z pręta cienkościennego, równa się zeru: Stąd:

Pręty cienkościenne A ponieważ dla skrajnych punktów linii środkowej s1 i s2: - wzór na moment zginająco-skręcający. Naprężenie styczne spowodowane momentem zginająco-skręcającym: Po uwzględnieniu momentu czystego skręcania Mv = φ’GJK, otrzymamy albo w postaci równania różniczkowego skręcania nieswobodnego:

– rozwiązanie szczególne Pręty cienkościenne – współczynnik giętno-skrętny pręta cienkościennego MK – znana funkcja współrzędnej x zależna od obciążenia siłami zewnętrznymi. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego skręcania nieswobodnego – rozwiązanie szczególne C1, C2 – stałe całkowania, zależne od warunków brzegowych.

Pręty cienkościenne Rozwiązanie zadania skręcania nieswobodnego prętów cienkościennych o przekroju otwartym. 1. Wyznaczanie środka ścinania K, jako główny biegun wycinkowy 2. Wyznaczanie głównego punktu wycinkowego 0 i obliczanie głównej współrzędnej wycinkowej  3. Wyznaczanie wycinkowego momentu bezwładności I 4. Wyznaczanie wycinkowego momentu statycznego S 5. Sformułowanie i rozwiązanie równania kątów obrotu φ’, 6. Wyznaczanie momentów sił wewnętrznych Mv i Mω jako funkcji φ’ 7. Obliczanie naprężeń:

Pręty cienkościenne Przypadek ogólny obciążenia pręta cienkościennego o przekroju otwartym. W przypadku jednoczesnego rozciągania lub ściskania, zginania i skręcania nieswobodnego, przemieszczenie u określonego punktu o współrzędnych y, z przekroju otwartego pręta cienkościennego zapiszemy w postaci: Wynika ono z przemieszczenia i obrotów przekroju traktowanego jako sztywny oraz jego deplanacji, przy czym y, z są kątami ugięcia, φ’ jest jednostkowym kątem skręcenia, ω – współrzędną wycinkową względem środka ścinania. Zważywszy, że:

Pręty cienkościenne Określamy siły wewnętrzne w przekroju cienkościennym pręta: - siła normalna [N] momenty gnące [Nm] - bimoment [Nm2] 2019-04-21 11:32:27

Pręty cienkościenne Przykład -F F Przykład Mimo, że N = 0, Mgy = Mgz = 0 i Ms = 0, to układ sił spowoduje deplanację przekrojów rozpatrywanego pręta cienkościennego. Naprężenia normalne σ w przekroju określa zależność: Pierwsze trzy człony równania są naprężeniami normalnymi określonymi przy założeniu płaskości przekroju. Czwarty człon jest naprężeniem normalnym uwzględniającym deplanację przekroju spowodowaną bimomentem. 2019-04-21 11:32:27

Dziękuję za uwagę !!! 2019-04-21 11:32:27